1、第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解1讨论函数在上的单调性。【解法一】由于，得上恒成立，而等号仅在和两个孤立点上成立，可知，函数在上单调增加。【解法二】因为在上恒成立，可知，函数在上单调增加，亦即在上单调增加。2求下列函数的单调区间：；【解】函数的定义域为，由于，得函数有两个驻点和，无不可导点，作图表分析： 可知，函数分别在和内单调增加，在内单调减少。【课本答案漏了在内单调增加】；【解】函数的定义域为，由于，得函数有一个驻点和一个不可导点，作图表分析： 可知，函数分别在和内单调增加，在内单调减少。【课本答案漏了在内单调增加】；【解】函数的定义域为，由于，得函数
2、有两个驻点和，无不可导点，作图表分析： 可知，函数分别在和内单调增加，在内单调减少。；【解】函数的定义域为，由于，得函数在定义域上只有一个驻点，无不可导点，作图表分析（注意定义域） 可知，函数在内单调减少，在内单调增加。；【解】函数的定义域为，由于，得函数有两个驻点和，无不可导点，作图表分析： 可知，函数分别在和内单调增加，在内单调减少。【解】函数的定义域为，由于，得函数有三个驻点，无不可导点，作图表分析： 因为是函数连续点，且是的孤立点，可知，函数分别在，内单调增加，在内单调减少。3证明下列不等式：当时，；【解】令，由于当时恒成立，知函数在上单调增加，而，从而，当时，亦即。证毕。当时，；【解
3、】令，由于当时恒成立，知函数在上单调增加，而，从而，当时，亦即。证毕。当时，；【解】令，由于， - ，显见恒成立，知函数在上单调增加，有，而，可知当时恒成立，由此知函数在上单调增加，有，再因，再知当时恒成立，有，这说明函数在上单调增加，又再因，最终确定当时恒成立，亦即，当时，证毕。当时，。【解】令，由于而因知函数是增函数，即当时，有，再因，可知当时恒成立，从而知函数在上单调增加，即当时，有，而，从而，当时，亦即。证毕。4证明方程在区间内有且只有一个实根。【证明】令，则由于恒成立，知函数是增函数，因为，可知曲线在区间内，从单调增加到+1，亦即曲线在区间内仅穿过轴一次，亦即，方程在区间内有且只有一
4、个实根。5求下列函数的凹凸区间以及拐点：；【解】函数的定义域为，由，得，知函数有两个二阶导数的零点和，无二阶不可导点，作图表分析： 可知，曲线分别在和内是凹的，在内是凸的，由于，又知曲线有两个拐点和。可知，曲线分别在和内是凹的，在内是凸的，【解】函数的定义域为，由，得，知函数无二阶导数的零点，有一个二阶不可导点，易见，当时，当时，可知，曲线在上是凸的，在上是凹的，由于，又知曲线有一个拐点。；【解】函数的定义域为，由，得，知函数有一个二阶导数的零点，无二阶不可导点，易见，当时，当时，可知，曲线在上是凸的，在上是凹的，由于，又知曲线有一个拐点。；【解】函数的定义域为，由，得恒成立，知曲线是凹的，无
5、拐点。；【解】函数的定义域为，由，得，知函数有三个二阶导数的零点，无二阶不可导点，作图表分析： 可知，曲线分别在和上是凸的，分别在和上是凹的，由于，又知曲线有三个拐点，和。【解】函数的定义域为，由，得，知函数有一个二阶导数的零点，无二阶不可导点，易见，当时，当时，可知，曲线在上是凹的，在上是凸的，由于，知曲线的拐点是。6利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：（，）【证明】研究函数（），由于，当时，恒成立，可知曲线（）在上是凹的，即由曲线凹凸定义，凹曲线在上的任意相异两点，恒有，亦即 ，即为 （，）成立，证毕。（）。【证明】研究函数（），由于，当时，恒成立，可知曲线在内是凸的，即由曲线凹凸定义，凸曲线在上的任意相异两点，恒有 ，亦即 ，即为 （）成立，证毕。7.问及为何值时，点为曲线的拐点？【解】函数的定义域为，由于，得函数有一个二阶导数零点，无二阶不可导点，于是，要使点为曲线的拐点，利用拐点定义，以及拐点是曲线上的点的要求，应使，亦即。8试确定曲线中的，使得在处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲线上【解】函数的定义域为，由于，要使曲线在处有水平切线，应使，要使曲线以为拐点，应使且，要使点在曲线上，应使，联立方程组即为，解得，。11
