1、 函数的概念及其表示 知识讲解1. 函数的概念：一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作。2. 映射的概念：设A,B时两个非空集合，按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。称：为从集合A到集合B的一个映射。（映射的个数：若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个）3. 区别函数和映射：判断一个对应关系是否使函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值
2、都有唯一确定的函数值”这个核心点。4. 集合的定义域和值域函数中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。5. 相同函数：定义域、自变量都相同的函数。6. 函数的三要素：定义域、对应关系、值域 ；函数的表示方法：解析法、图象法、列表法。7. 区间的几何表示 8. 实数集R的区间表示： 实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”； “”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”。9. 无穷的的几何表示 10. 分段函数：在函数的定义域（在自变量x的不同取值范围）内，有着不同对应关系的函数。典型例题例1：(1
3、)求函数y的定义域(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域【答案】(1)解不等式组得故函数的定义域是x|1x5且x3(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a2x)，所以yx(a2x)x2ax，定义域为.例2：已知定义域是，求的定义域【答案】.解析：定义域为，即，则定义域为，定义域为，即的定义域为.同步练习一、 选择题1函数f(x)(3x1)0的定义域是()A. B. C. D.【答案】D由得x0,f(x+1),x0,则f(43)+f(-43)=()A.-2 B.4 C.2D.-4【答案】B7. 若函数y的定义域为R，则实数m的取值范围是()A. B
4、. C. D.【答案D【解析】要使函数的定义域为R，则mx24mx30恒成立，当m0时，显然满足条件；当m0时，由(4m)24m30，得0m，由得0m.8. 函数y=12+3x2的值域是()A.(0,12 B.(0,12)C.(0,+) D.(-,12【答案】A【解析】因为x20,所以3x20,2+3x22,所以012+3x212.所以值域为(0,12,故选A.9. 若函数y=x2-3x-4的定义域为0,m,值域为-254,-4,则m的取值范围是()A.(0,4 B.-254,-4C.32,3 D.32,+)【答案】C【解析】由题意,知二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=32,且当x=0或
5、x=3时,y=-4,当x=32时,y=-254.所以m32,3,故选C.9. 设函数f(x)若f(f(a)3，则实数a的取值范围是()A.(， B.，) C.， D.(，【答案】D【解析】令f(a)t，则f(t)3等价于或解得t3，则f(a)3等价于或解得a，则实数a的取值范围是(，故选D.二、 填空题1. 用区间表示下列数集(1)x|x2_；(2)x|31且x2_.【答案】 (1)2，)；(2)(3,4；(3)(1,2)(2，)2. 若a,3a1为一确定区间，则a的取值范围是_【答案】【解析】由题意3a1a，得a,故填3. 若函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是_.【答案】0
6、,4【解析】当m0时，f(x)的定义域为一切实数；当m0时，由得0m4，综上，m的取值范围是0,4.4. (1)已知函数f(x)的定义域为0,1,则f(x2+1)的定义域_;(2)已知f(x+1)的定义域为0,3,则f(x)的定义域_.【答案】(1)因为函数f(x2+1)中的x2+1相当于函数f(x)中的x,所以0x2+11,所以-1x20,所以x=0,所以f(x2+1)的定义域为0.(2)因为f(x+1)的定义域为0,3,所以0x3,所以1x+12,所以f(x)的定义域为1,2.5. 已知实数a0,函数f(x)=2x+a,x0时,1-a1,所以2(1-a)+a=-1-a-2a,解得a=-32
7、(舍去).当a1,1+a1,所以-1+a-2a=2+2a+a,解得a=-34.三、解答题1. 求下列函数的定义域（1）y=x+8+3-x （2）y=x2-1+1-x2x-1（3）（4）【答案】（1）-8,3；（2）-1。（3）答案：（4）答案：【解析】（1）x+803-x0可得-8x3,定义域为-8,3；（2）x2-101-x20x-10得x2=1且x1即x=-1，定义域为-1.（3）答案：解析：， （4）答案：解析：， 2. 已知函数的定义域为集合A，Bx|xa(1)求集合A；(2)若AB，求a的取值范围；(3)若全集Ux|x4，a1，求U A及A(U B)【答案】（1）Ax|22所以，这个函数的定义域是x|x3x|x2x|2x3即Ax|2x3(2)因为Ax|2x3，Bx|x3.即a的取值范围为(3，)(3)因为Ux|x4，Ax|2x3，所以U A(，2(3,4因为a1，所以Bx|x1，所以U B1,4，所以A(U B)1,3
