1、3.1.2用二分法求方程的近似解学习目标1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想知识点一二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解知识点二用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；
2、若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断1如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值()2要用二分法，必须先确定零点所在区间()3用二分法最后一定能求出函数零点()4达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值()类型一二分法的适用条件例1以下每个图象表示的函数都有零点，但不
3、能用二分法求函数零点的是()考点二分法的概念题点判断是否能用二分法求解零点答案C解析使用二分法必先找到零点所在区间a，b，且f(a)f(b)0，但C中找不到这样的区间反思与感悟运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断(2)在该零点左右函数值异号只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点跟踪训练1观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()考点二分法的概念题点判断是否能用二分法求解零点答案A类型二二分法的操作例2用二分法求函数f(x)x33的一个零点(精确度0.02)考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法求方程的近似解解由于f(0)30，f(1)20，f(2
4、)50，故可取区间(1,2)作为计算的初始区间用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数值(或近似值)(1,2)1.50.375(1,1.5)1.251.047(1.25,1.5)1.3750.400(1.375,1.5)1.437 50.030(1.437 5,1.5)1.468 750.168(1.437 5,1.468 75)1.453 1250.068(1.437 5,1.453 125)因为|1.453 1251.437 5|0.015 6250.02，所以函数f(x)x33的零点的近似值可取为1.437 5.反思与感悟用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，
5、符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算跟踪训练2借助计算器或计算机用二分法求方程2x3x7的近似解(精确度0.1)考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法求方程的近似解解原方程即2x3x70，令f(x)2x3x7，用计算器或计算机作出函数f(x)2x3x7的对应值表与图象如下：x012345678f(x)2x3x762310214075142273观察图或表可知f(1)f(2)0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x11.5，用计算器算得f(1.5)0.33.因为f(1)f(1.5)0，所以x0(1,1.5)
6、再取区间(1,1.5)的中点x21.25，用计算器算得f(1.25)0.87.因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25,1.5)同理可得，x0(1.375，1.5)，x0(1.375,1.437 5)由于|1.3751.437 5|0.062 50.1，所以原方程的近似解可取为1.437 5.类型三二分法思想的考查例3函数f(x)ln xx23的零点x0与的大小关系为_考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法判断函数零点所在的区间答案x0解析在同一坐标系内画出yln x，y3x2的图象如图由图可知，yln x与y3x2有唯一的交点x0(1，)即f(x)ln xx23有唯一的零点x
7、0(1，)代入区间中点x，则ln 1.ln 32.x0.反思与感悟在实际考查中，不一定要求把二分法进行多少次，但可以要求利用二分法缩小零点所在区间跟踪训练3函数f(x)2xx32在(0,1)内有无零点？若有，该零点是在内还是在内？考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法判断函数零点所在的区间解f(x)为R上的增函数且f(0)200320，f(x)在(0,1)内有且仅有1个零点x0.又f320，x0.1下列函数中，只能用二分法求其零点的是()Ayx7 By5x1Cylog3x Dyxx考点二分法的概念题点判断是否能用二分法求解零点答案D2下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是()考点二分法
8、的概念题点判断是否能用二分法求解零点答案C3方程2x1x5的根所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)考点用二分法求函数的近似解题点用二分法判断函数零点所在的区间答案C4定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)0，用二分法求x0时，当f0时，则函数f(x)的零点是_考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法求方程的近似解答案5用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)f(4)0，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的
9、区间是_考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法判断函数零点所在的区间答案(2,3)1二分就是平均分成两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号3求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同一、选择题1下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()考点二分法的概念题点判断是否能用二分法求解零点答案C解析只有选项C中零点左右的函数值符号相反且函数图象连续
10、，可以利用二分法求解2用“二分法”可求近似解，对于精确度说法正确的是()A越大，零点的精确度越高B越大，零点的精确度越低C重复计算次数就是D重复计算次数与无关考点二分法的概念题点二分法的概念答案B解析依“二分法”的具体步骤可知，越大，零点的精确度越低3设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程3x3x80的根落在区间()A(1.25,1.5) B(1,1.25)C(1.5,2) D不能确定考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法判断函数零点所在的区间答案A解析易知f(x)在R上是增函数由题意可知f(1.
11、25)f(1.5)0，故函数f(x)3x3x8的零点落在区间(1.25,1.5)内故选A.4用二分法求函数f(x)ln x的零点时，初始区间大致可选在()A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(e，)考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法判断函数零点所在的区间答案B解析由于f(2)ln 210，f(3)ln 30，f(2)f(3)0，故初始区间可选(2,3)5已知函数yf(x)在区间a，b上连续不断，并且在区间(a，b)内有唯一零点，当a1.2，b1.4，精确度0.1时，应将区间(a，b)等分的次数至少为()A1 B2 C3 D4考点二分法的概念题点分析二分法计算的次数答案B6若函数
12、f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.438)0.165f(1.406 5)0.052那么方程x3x22x20的一个近似根(精确度0.05)为()A1.5 B1.375 C1.438 D1.25考点用二分法求函数的近似解题点用二分法求方程的近似解答案C解析f(1.406 5)0，f(1.406 5)f(1.438)a，则f(x0)的值满足()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)a时，2x0，故f(x0)0.8函数f(x)log3x在区间1,3内有零点，则用
13、二分法判断含有零点的区间为()A. B. C. D.考点用二分法求函数的近似解题点用二分法判断函数零点所在的区间答案C解析f(1)0，f(2)log32log32log3log3log3log30，因此，函数f(x)的零点在区间内，故选C.二、填空题9用二分法求函数f(x)在区间a，b内的零点时，需要的条件是_(填序号)f(x)在a，b上连续不断；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0.考点二分法的概念题点二分法的概念答案解析由二分法适用条件直接可得10若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)0，f(1)f(2)f(4)0，而由f(1)f(2)f(4)0，知f(1)，f(2)，f(4)中至
14、少有一个小于0，函数f(x)在(0,4)内有零点11用二分法求方程x3x210的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为_考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法判断函数零点所在的区间答案解析令f(x)x3x21，则f(1)10，f(2)30，f0，所以ff(1)0，故可断定该实数根所在的区间为.三、解答题12用二分法求方程x220的一个正实数解的近似值(精确到0.1)考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法求方程的近似解解令f(x)x22，由于f(0)20，f(2)20，可确定区间0,2作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端
15、点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a00，b02f(0)2，f(2)20,2x01f(x0)101,2x11.5f(x1)0.2501,1.5x21.25f(x2)0.43801.25,1.5x31.375f(x3)0.10901.375,1.5x41.437 5f(x4)0.06601.375,1.437 5由上表的计算可知，区间1.375,1.437 5的长度为1.437 51.3750.062 50.1.故1.4可作为所求方程的一个正实数解的近似值13(2017山东莱芜期中)已知函数f(x)ax32ax3a4在区间(1,1)上有一个零点(1)求实数a的取值范围；(2)若a，用二分
16、法求方程f(x)0在区间(1,1)上的根考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法求方程的近似解解(1)若a0，则f(x)4，与题意不符，a0.由题意，得f(1)f(1)8(a1)(a2)0，即或1a0，f(0)0，f(1)0，函数f(x)的零点在区间(0,1)上，又f0，方程f(x)0在区间(1,1)上的根为.四、探究与拓展14设方程2x2x10的根为，所在区间为(n，n1)，则n_.考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法判断函数零点所在的区间答案2解析设f(x)2x2x10，则f(x)在R上为单调增函数，又f(0)9，f(1)6，f(2)2，f(3)4，f(2)f(3)0，(2,3)，
17、n2.15在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻)现只有一台天平，请问：利用二分法的思想，你至多几次就一定可以找出这枚假币？考点二分法的概念题点二分法在实际问题中的应用解利用二分法，至多四次就一定可以找出这枚假币第一次把26枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定不平衡，轻的一组(13枚金币)含假币；第二次把含假币的13枚金币分成三组，6,6,1，把6枚金币的两组放在天平上称，如果平衡，说明剩下的一枚是假币(称量结束)，如果不平衡，轻的一组(6枚金币)含假币；第三次把含假币的6枚金币分成两组，放在天平上称，天平不平衡，轻的一组(3枚金币)含假币；第四次把含假币的3枚金币中的两枚放在天平上称，如果平衡，说明剩下的一枚是假币，如果不平衡，轻的一边是假币
