1、2021年福建省莆田市高考数学第二次质检试卷（二模）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. i是虚数单位，复数z满足，则A. 10B. C. 8D. 3. “平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即如图是我国年GDP数据，根据图中数据，年我国GDP的平均增长量为A. 万亿元B. 万亿元C. 万亿元D. 万亿元4. 已知抛物线的准线与圆相切，则A. 2B. 6或C. 或10D. 2或5. 已知等差数列满足，则的值为A. B. 6C. D. 126. 甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上车，乘坐开往“黄
2、金沙滩“站方向的3路公交车线路图如图所示甲将在“供水公司”站之前的任意每一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之前的任意一站下车.假设每人自“管委会”站开始在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则A. B. C. D. 8. 若非零实数x，y，z满足，则与最接近的整数是A. 3B. 4C. 5D. 69. 在直三棱柱中，各棱长均为2，E，F分别为线段AB，的中点，则A. 平面平面B. C. 直线AF和所成角的余弦值为D. 该棱柱外接球的表面积为10. 设O为坐标原点，是双曲线的左、右焦点.在双曲线的右支上存在点P满足，且
3、线段的中点B在y轴上，则A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的方程可以是C. D. 的面积为11. 若函数，则A. 是周期函数B. 在上有4个零点C. 在上是增函数D. 的最小值为12. 看连续函数在其定义区间I上的任意n个点，恒有，则称在上满足性质设函数在区间上满足性质M，且过点，的图象与线段AD围成封闭图形的面积记为，则A. B. 可以为C. D. 13. 设，为单位向量，且，则与夹角的余弦值是_ .14. 在的展开式中，若x的奇数次幂项的系数之和为64，则_ .15. “敕勒川，阴山下.天似穹庐，笼盖四野.”的特征，诗中的“穹庐”即“毡帐”，屋顶近似圆锥，为了烘托节日气氛，计划在屋顶安装灯
4、光带.某个屋顶的圆锥底面直径长8米，母线长6米，其中一条灯光带从该圆锥一条母线的下端点开始，沿侧面经过与该母线在同一轴截面的另一母线的中点，环绕一圈回到起点，则这条灯光带的最短长度是_ 米.16. 已知函数，当_ 时，的最小值为_ .17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求的值；求的周长.18. 在，且；，成等差数列，且；为常数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列的前n项和为，_，其中求的通项公式；记，数列的前n项和为，求证：19. 已知正方形ABCD的边长为2，沿AC将折起至位置如图，G为的重心，点E在边BC上，且证明：平面PAB；若，求二面角的余
5、弦值.20. 某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A、B两个等级、三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为A级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为B级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为A级的概率如表一所示，一件产品的利润单位：万元如表二所示.表一工序第一工序第二工序第三工序概率表二等级一等品二等品三等品利润2385用表示一件产品的利润，求的分布列和数学期望；因第一工序加工结果为A级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改
6、良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加万元即每件产品利润相应减少x万元时，第一工序加工结果为A级的概率增加问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由.21. 曲线C上任意一点P到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与x轴不重合的直线l与C交于不同的两点A，求C的方程；求证：内切圆的圆心在定直线上.22. 函数，若在上存在零点，求实数a的取值范围；证明：当时，答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合，又或，所以故选：先分别求出集合A，B，然后利用集合交集的定义求解即可本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题2.【答案】B【解析】
7、解：，则，故选：利用复数的原式法则、模的计算公式即可得出本题考查了复数的原式法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.【答案】C【解析】解：当时，故选：由已知图中的数据分别求出四期的增长量，作和后除以4得答案即可本题考查函数模型的选择及应用，考查计算能力，是基础题4.【答案】D【解析】解：抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径为3，由准线与圆相切，可得，解得或，故选：求得抛物线的准线方程，圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件，可得p的方程，解方程可得所求值本题考查抛物线和圆的方程和性质，以及直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题5.【答案】A【解析】解：，解得设
8、等差数列的公差为d，则故选：利用等差数列的通项公式及其性质即可得出本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.【答案】C【解析】解：甲、乙下车的所有可能情况有：，若乙在管委会站下车，则甲在兴海池至北埭东环站任意一站下车，共有7种可能；若乙在地税分局站下车，则甲在兴海池至北埭东环站任意一站下车，共有6种可能；乙在管委会站下车，则甲在兴海池至北埭东环站任意一站下车，共有7种可能；莲池沙滩站下车，则甲在兴海池至北埭东环站下车，共有1种可能甲比乙后下车的概率为：故选：先求出基本事件总数，再分类讨论乙的下车情况，由此能求出甲比乙后下车的概率本题考查概率的求法，考查古典概
9、型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.【答案】A【解析】解：设，则，由图象可知，函数先递增，再递减，然后再增，且当时，取的极小值，函数既有即大值，也有极小值，有两个根，即，且，又，则，又，故选：设，利用导数判断函数的单调性，以及结合图象中的函数单调性的可得a，b，c的大小关系本题考查了导数和函数的单调性和极值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题8.【答案】B【解析】解：设，则，所以，故选：设，则，然后利用对数的运算性质结合基本不等式进行求解即可本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质以及基本不等式的运用，考查了逻辑推理能力，属于中档题9.【答案】ABD【解析】解：在直
10、三棱柱中，各棱长均为2，E，F分别为线段AB，的中点，对于A，平面平面，故A正确；对于B，AB，平面，平面，平面，故B正确；对于C，以E为坐标原点，EA为x轴，EC为y轴，EF为z轴，建立空间直角坐标系，设直线AF和所成角为，则，直线AF和所成角的余弦值为，故C错误；对于D，过的重心G作平面ABC的垂线GO，在GO上取，则O是该棱柱外接球的球心，连接OC，球半径，该棱柱外接球的表面积为，故D正确故选：对于A，由，得平面平面；对于B，由，得平面，从而；对于C，以E为坐标原点，EA为x轴，EC为y轴，EF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线AF和所成角的余弦值为；对于D，过的重心G作平面
11、ABC的垂线GO，在GO上取，则O是该棱柱外接球的球心，连接OC，求出球半径，由此能求出该棱柱外接球的表面积本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力等数学核心素养，是中档题10.【答案】AC【解析】解：如图，为线段的中点，O为的中点，由双曲线定义可得，设，则，即，又，则，故A正确；，则，双曲线的渐近线方程为，选项B的渐近线方程为，故B错误；对于C，为的中点，则，即，即，而，两边平方并整理得，联立可得，即，故C正确；，故D错误故选：由已知可得，设，再由已知结合双曲线定义可得a，b，c与m的关系，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程，
12、从而判断A与B；由O为的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得判断C；进一步求出的面积判断本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题11.【答案】BC【解析】解：函数，对于A：函数不是周期函数，故A错误；对于B：，令，在上，求得，故B正确；对于C：当时，所以，由于，所以且，故，故函数在上单调递增，故C正确；对于D：由于，当时，故D错误故选：直接利用函数的性质，函数的周期性，单调性，函数的导数，二次函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，函数的零点和函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基
13、础题12.【答案】AC【解析】解：根据函数在区间上满足性质M，且过点，如图所示：所以：，故A正确，由于函数的图像比线段AB要低，第一条边比线段CD要低，就是凹形，所以的图象与线段AD围成的封闭图形面积要大于梯形ABCD的面积，即，故C正确；在上有单调递增部分，故B错误；由于函数的图象比线段BC低，是凹的，所以不一定小于2，故D错误故选：直接利用信息关系式，函数的性质，凹函数的图象和性质判断A、B、C、D的结论本题考查的知识要点：主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题13.【答案】【解析】解：根据题意，设与的夹角为，若，则有，变形可得：，则有，故答案为：根据题意，设与的夹角为，由，变形
14、可得，变形可得的值，即可得答案本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题14.【答案】5【解析】解：在的展开式中，若x的奇数次幂项的系数之和为64，设，令，则，令，则；-得，解得，故答案为：设出解析式，给展开式中的x分别赋值1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案本题考查了二项式展开式的系数问题，可设出解析式，用赋值法代入特殊值，相加或相减即可，属于中档题15.【答案】【解析】解：将侧面沿母线SA展开，A点对应于点，轴截面对应的另一条母线为SB，SB的中点为C，连接AC、，则为灯光带的最短长度，如图所示：因为，底面圆的直径为8，则半径为4，所以，所以，又，由余弦定理得，解得，
15、所以，所以灯光带的最短长度为米故答案为：将侧面沿母线SA展开，A点对应于点，轴截面对应的另一条母线为SB，SB的中点为C，连接AC、，为灯光带的最短长度，结合图形计算即可本题考查了圆锥的侧面展开图以及余弦定理的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题16.【答案】 8【解析】解：设：，所以，所以，令，整理得，解得或，当时，故函数单调递减，当时，故函数单调递增，所以，即，解得时，函数的最小值为故答案为：首先利用换元法，对函数的关系式进行变换，再利用函数的导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的最值本题考查的知识要点：换元法，函数的导数和函数的单调性的关系，利用函数的导数求函数的极值，主要考查学生
16、的运算能力和数学思维能力，属于中档题17.【答案】解：由，得，故，则；，解得：，由得：，故，由，解得：，由余弦定理得：，则，故，故的周长是【解析】根据A，B的关系求出，根据同角的基本关系求出，从而求出的值；根据正弦定理以及余弦定理求出三角形的三边长，从而求出三角形的周长即可本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查平面向量问题，是中档题18.【答案】解：若选条件：由可得：，即，又，数列是首项、公比均为的等比数列，；若选条件：，成等差数列，即，即，即，又，数列是首项、公比均为的等比数列，；若选条件：为常数，当时，有，两式相减整理得：，又，数列是首项、公比均为的等比数列，；证明：由可得：，又，两式
17、相减得：，整理得：，又，故在上单调递增，【解析】若选条件：先由所选条件推导出：，再由即可说明数列是首项、公比均为的等比数列，从而求得其通项公式；若选条件：先由所选条件推导出：，然后求得，从而有，即可说明数列是首项、公比均为的等比数列，从而求得其通项公式；若选条件：先由所选条件推导出：，进而有数列是首项、公比均为的等比数列，从而求得其通项公式；先由求得，进而求得，再利用错位相减法求得其前n项和，最后利用单调性证明结论即可本题主要考查等差、等比数列的定义及基本量的计算、错位相减法在数列求和中的应用、单调性在不等式证明中的应用，属于中档题19.【答案】证明：连结CG交AP于点F，连结GE，BF，因为
18、G为的重心，所以，又因为，所以，故，又平面PAB，平面PAB，故平面PAB；解：因为，所以，又在中，F为AP的中点，所以为等腰三角形，所以，延长PG交AC于点O，则，所以，所以，又因为，所以OB，OC，OP互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，则，因为E为BC上靠近点B的三等分点，所以，因为G为的重心，故，设平面GEC的法向量为，因为，故，则，令，则，同理可得平面AEC的法向量为，则有故二面角的余弦值为【解析】连结CG交AP于点F，连结GE，BF，利用重心的性质以及相似比的性质，可得，由线面平行的判定定理证明即可；利用等腰三角形、正方形的性质以及勾股定理，可证明OB，OC，OP互相垂直，建立空
19、间直角坐标系，求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题20.【答案】解：依题意，一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，所以的分布列如下： 2385P的数学期望万元；由题意，改良过程中，每件产品检测成本增加，第一工序加工结果为A级的概率增加，一等品概率为，二等品概率为，三等品概率为，而一件一等品利润变为万元，二等品利润变为万元，三等品利润变为万元，所以，因为，所以万元，所以改良方案对一件产
20、品利润的期望会产生影响，降低了利润期望【解析】分别求出一等品、二等品、三等品的概率，然后列出分布列，求出数学期望即可；求出改良后一等品、二等品、三等品的概率，求出改良后产品利润的数学期望，由此得到答案本题考查了离散型随机变量及其分布列以及数学期望，考查了逻辑推理能力与计算能力，属于中档题21.【答案】解：设，因为动点P到点F的距离与它到直线的距离之比等于，所以，平方得，化简得，所以C的方程；证明：设直线l的方程为，联立得，由得，设直线AF与BF的斜率为，则，所以，所以，所以直线平分，而三角形内心在的角平分线上，所以内切圆的圆心在定直线上【解析】设，根据动点P到点F的距离与它到直线的距离之比等于
21、，建立等式，化简变形即可；设直线l的方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可求出，设直线AF与BF的斜率为，可得则，从而可证得结论本题主要考查了椭圆的定义和几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证的能力、运算求解的能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学等核心素养，体现基础性、综合性与创新性22.【答案】解：设，在上，与都单调，故在上若有零点，则仅有1个，故，得到，解得：；证明：设，易知，且，故，则在递增，在恒成立，则在递增，而，且，故，故恒成立，故当时，【解析】设，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可；设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可本题考查了函数的单调性，最值问题，考查函数的零点以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题
