1、福建中考添加辅助线（一）压轴题复习入门测试1.如图，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与O交于点F，延长BA到点G，使得BGFGBC，连接FG（1）求证：FG是O的切线；（2）若O的径为4当OD3，求AD的长度；当OCD是直角三角形时，求ABC的面积考情分析最近四年中考添加辅助线压轴题型2017年考察的是矩形中作垂直和连接对角线等问题，2018年A卷考察的是圆中连接半径问题，2018年B卷考察的是圆中作直径和连接问题，2019年考察的是圆中作垂直问题，2020年考察的是三角形中作平行线问题。从以上可以判断今年中考几何压轴题考察圆的问题概率是
2、比较大的，解决这类问题要抓住转化思想来添加适当辅助线，再利用相关的解题方法来解题。注：线段长度问题，勾股定理不行，就从相似入手，相似不行，就从勾股定理入手。重点和难点初中数学常见辅助线添加方法我们在解数学几何题时经常会用到辅助线。如果题目给出的条件不够，则需要通过添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题。这便是辅助线的作用。一条巧妙的辅助线能够使一道难题迎刃而解。添辅助线的2种情况一、按定义添辅助线如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。二、按基本图形
3、添辅助线每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：1.平行线是个基本图形。当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线。2.等腰三角形是个简单的基本图形。当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。3.等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形。出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角
4、的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。4.直角三角形斜边上中线基本图形。出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。5.三角形中位线基本图形。几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本
5、图形。6.全等三角形。全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线7.相似三角形。相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型。当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向。这类题目中往往有多种浅线方法。8.特殊角直
6、角三角形。当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形。9.半圆上的圆周角。出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦直径。4类基本图形的添辅助线方法一、三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。方法4：
7、结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。二、平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：1.连对角线或平移对角线。2.过顶点作对边的垂线构造直角三角形。3.连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中
8、位线。4.连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。5.过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。三、梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：1.在梯形内部平移一腰。2.梯形外平移一腰。3.梯形内平移两腰。4.延长两腰。5.过梯形上底的两端点向下底作高。6.平移对角线。7.连接梯形一顶点及一腰的中点。8.过一腰的中点作另一腰的平行线。9.作中位线。当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定
9、是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。四、圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决。因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。1.见弦作弦心距。有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。2.见直径作圆周角。在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题。3.见切线
10、作半径。命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题。4.两圆相切作公切线。对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。5.两圆相交作公共弦。对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。添加辅助线一、巧作三线合一构造全等三角形【专题说明】三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。【模型展示】如右图，在中，若AB=AC,则,若AB=AC, ,则,;
11、若AB=AC, ,则,;若, ,则AB=AC, ;若, ,则, AB=AC;若, ,则AB=AC,;等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或的倍分关系。在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时需要作高或中线，这要视具体情况而定。例1.已知：三角形ABC中,A=90，AB=AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是A
12、B，AC上的点，且BE=AF，求证：DEF为等腰直角三角形。变式1-1.如图，ABC中，AC=2AB，AD平分BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EBAB.变式1-2.如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，BAC=90，BF平分ABC，CDBF交BF的延长线于点D.求证：BF=2CD.二、一次函数中的构造等腰直角三角形如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过A作ADED于点D，过B作BEED于点E例2.【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90，CACB，直线ED经过点C，过A作ADED于点D，过B作BEED于点E
13、求证：CDABEC【模型运用】（2）如图2，直线l1：yx+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90至直线l2，求直线l2的函数表达式【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，OCB30，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标变式2-1.如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+b与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（m，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DEx轴于点E（1）求m和b的
14、数量关系；（2）当m1时，如图2，将BCD沿x轴正方向平移得BCD，当直线BC经过点D时，求点B的坐标及BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由变式2-2.一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则AOE的面积为 ；（2）如图2，将AOD沿AD翻折得AED，若点E在直线yx图象上，求出E点坐标；（3）如图3，将AOD沿AD翻折得AED，DE和射
15、线BC交于点F，连接AF，若DAO75，平面内是否存在点Q，使得AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由三、四边形中的辅助线问题例3.如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证DGBE；（2）连接FC，求tanFCN的值；（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB3，BC8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上当点E由B向C运动时，判断tanFCN的值是否为定值？若是
16、，求出该定值；若不是，请说明理由变式3-1.【操作发现】如图，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MNMAN45，将AMD绕点A顺时针旋转90，点D与点B重合，得到ABE易证：ANMANE，从而得DM+BNMN【实践探究】（1）在图条件下，若CN3，CM4，则正方形ABCD的边长是 （2）如图，点M、N分别在边CD、AB上，且BNDM点E、F分别在BM、DN上，EAF45，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由【拓展】（3）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知MAN45，BN1，求
17、DM的长变式3-2.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且ABCE（1）如图1，连接BG、DE求证：BGDE；（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CGBD，BGBD求BDE的度数；若正方形ABCD的边长是，请求出BCG的面积四、圆中的辅助线问题例4.如图1，AB为O的弦，弧AC弧BC，G为弧BC上一点，连接AG交BC于点D，连接CG、BG（1）求证：GCB+GBCCBA；（2）如图2，若AB为O的直径，求证：AGCG+BG；（3）如图3，在（2）的条件下，F为圆上一点，连接CF交AB于点E，若CD：DB5：7，ACFCAG，AE，求线段CG的长变式4-1.如图
18、，在RtABC中，ABBC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE（1）求证：DE是O的切线；（2）设O的半径为r，证明r2ADOE；（3）若DE4，sinC，求AD之长变式4-2.如图，AB、CE是O的直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P，ADPC于D，连接AC、OD、PE（1）求证：AC是DAP的角平分线；（2）求证：PC2PAPB；（3）若AD3，PE2DO，求O的半径变式4-3.已知：在O中，弦AC弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DEBC于点E，DE交AC于点F（1）如图1，求证：BD平分ADF；（2）如图2，连接OC，若ACBC，求证：OC平分ACB；（3）如
19、图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DNAC交O于点N，若AB3，DN9求sinADB的值学情分析1.已知：如图，在ABD中，BCAD于点C，E为BC上一点，AE=BD，EC=CD，延长AE交BD于点F求证：AFBD2.如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90，CBCA，直线DE经过点C，过A作ADDE于点D，过B作BEDE于点E，则BECCDA，我们称这种全等模型为“K型全等”（不需要证明）【模型应用】若一次函数ykx+4（k0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点（1）如图2，当k1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；（2）如图3，当k时，
20、点M在第一象限内，若ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值课堂回顾1.您觉得本堂课吸收情况如何?（ ）A.理解 B.理解和掌握 C.部分理解和部分掌握 D.不理解 课后作业1.如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQAP，交CD于点Q，将BQC沿BQ所在的直线对折得到BQC，延长QC交AD于点N（1）求证：BPCQ；（2）若BPPC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BPx（0x8），BMC的面积为S，求S与x之间的函数关系式2.如图，已知AB为O的直径，AD、BD是O的弦，BC是O的切线，切点为B，OCAD，BA、CD的延长线相交于点E（1）求证：DC是O的切线；（2）若AE1，ED3，求O的半径（3）在（2）中的条件下，ABD30，将ABD以点A为中心逆时针旋转120，求BD扫过的图形的面积（结果用表示）
