1、 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学理科数学 第卷（共第卷（共 60 分）分） 参考公式：参考公式： 球的表面积公式：球的表面积公式：S4r2，其中，其中 R 是球的半径是球的半径. 如果事件如果事件 A 在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是 p，那么，那么 n 次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件 A 恰好发生恰好发生 k 次次 的概率：的概率： Pn（k）C k np k(1-p)n-k（ （k0，1，2，n）. 如果事件如果事件 A、B 互斥，那么互斥，那么 P（A+B）P（A）+P（B）. 如果事件如果事
2、件 A、B 相互独立，那么相互独立，那么 P（AB）P（A） ） P（B）. 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，分，在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）满足 Ma1, a2, a3, a4,且 Ma1 ,a2, a3= a1a2的集合 M 的个数是 （A）1 (B)2 (C)3 (D)4 （2）设 z 的共轭复数是z，或 z+z=4,zz8，则 z z 等于 （A）1 （B）-i (C)1 (D) i （3）函数 ylncosx(- 2 x 2 的图象
3、是 （4）设函数 f(x)x+1+x-a的图象关于直线 x1 对称，则 a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 （5）已知 cos（- 6 ）+sin=的值是则) 6 7 sin(, 3 5 4 （A）- 5 32 （B） 5 32 (C)- 5 4 (D) 5 4 （6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几 何体的表面积是 (A)9 （B）10 (C)11 (D) 12 （7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，18 的 18 名火炬手.若从中任 选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为 （A） 51 1 （B） 68 1
4、 （C） 306 1 （D） 408 1 (8)右图是根据山东统计年整 2007中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的茎 叶图，图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百 户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表 示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以 得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数 的平均数为 （A）304.6 （B）303.6 (C)302.6 (D)301.6 （9） （X- 3 1 x ）12展开式中的常数项为 （A）-1320 （B）1320 （C）-220 (D)220 (10)设椭圆 C1的离心率为 13
5、 5 ， 焦点在X轴上且长轴长为 26.若曲线 C2上的点到椭圆 C1的两 个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准方程为 （A）1 34 2 2 2 2 yx (B)1 513 2 2 2 2 yx (C)1 43 2 2 2 2 yx (D)1 1213 2 2 2 2 yx （11）已知圆的方程为X2+Y2-6X-8Y0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 （A）106 （B）206 （C）306 （D）406 （12）设二元一次不等式组 0142 , 08 0192 yx yx yx， 所表示的平面区域为 M，使函数 y
6、ax(a0， a1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 （A） 1,3 (B)2,10 (C)2,9 (D)10,9 29 1158 30 26 31 0247 第卷（共第卷（共 90 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分. （13） 执行右边的程序框图， 若p0.8， 则输出的n 4 . （14）设函数 f(x)=ax2+c(a0).若)()( 0 1 0 xfdxxf ，0x0 1,则 x0的值为 3 3 . （15）已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向 量 m （1, 3 ）， n （
7、 cosA,sinA ） . 若 m n ， 且 acosB+bcosA=csinC，则角 B 6 . （16）若不等式3x-b4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则 b 的取值范围为（5，7）. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分分. （17） （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)0,0)(cos()sin(3xx为偶函数，且函数 yf(x) 图象的两相邻对称轴间的距离为. 2 （）美洲 f（ 8 ）的值； （）将函数 yf(x)的图象向右平移 6 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长 到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x
8、)的图象，求 g(x)的单调递减区间. 解： （）f(x)cos()sin(3xx )cos( 2 1 )sin( 2 3 2xx 2sin(x- 6 ) 因为 f(x)为偶函数， 所以 对 xR,f(-x)=f(x)恒成立， 因此 sin（-x- 6 ）sin(x- 6 ). 即-sinxcos(- 6 )+cosxsin(- 6 )=sinxcos(- 6 )+cosxsin(- 6 ), 整理得 sinxcos(- 6 )=0.因为 0，且 xR,所以 cos（- 6 ）0. 又因为 0，故 - 6 2 .所以 f(x)2sin(x+ 2 )=2cosx. 由题意得 . 2, 2 2 2
9、 所以 故 f(x)=2cos2x. 因为 . 2 4 cos2) 8 ( f （）将 f(x)的图象向右平移个 6 个单位后，得到) 6 ( xf的图象，再将所得图象横坐标 伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到) 64 ( f的图象. ). 32 (cos2) 64 (2cos2) 64 ()( ffxg所以 当 2k 32 2 k+ (kZ), 即 4k 3 2 x4k+ 3 8 (kZ)时，g(x)单调递减. 因此 g(x)的单调递减区间为 3 8 4 , 3 2 4 kk (kZ) （18） （本小题满分 12 分） 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为
10、本队赢得一分， 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为 3 2 ，乙队中 3 人答对的概率分别为 2 1 , 3 2 , 3 2 且各人正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分. （）求随机变量分布列和数学期望； ()用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于乙 队总得分”这一事件，求 P(AB). ()解法一：由题意知，的可能取值为 0，1，2，3,且 所以的分布列为 0 1 2 3 . 27 8 ) 3 2 ()3(, 9 4 ) 3 2 1 () 3 2 ()2( , 9 2 ) 3 2 1 ( 3 2 ) 1(, 27 1 ) 3 2 1
11、 ()0( 3 3 332 3 2 2 3 13 3 0 CPCP CPCP P 27 1 9 2 9 4 27 8 的数学期望为 E=. 2 27 8 3 9 4 2 9 2 1 27 1 0 解法二：根据题设可知) 3 2 , 3(B 因此的分布列为 2 3 2 3), 3 2 , 3( . 3 , 2 , 1 , 0, 3 2 ) 3 2 1 () 3 2 ()( 3 3 2 3 EB kCCkP k k kk k 所以因为 （）解法一：用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件，用 D 表示“甲得 3 分乙得 0 分” 这一事件，所以 AB=CD,且 C、D 互斥，又 , 3 4
12、 ) 2 1 3 1 3 1 () 3 2 ()( , 3 10 2 1 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 1 3 2 ) 3 2 1 () 3 2 ()( 5 2 3 2 4 2 3 2 CDP CCP 由互斥事件的概率公式得 243 34 3 34 35 4 3 10 )()()( 54 DPCPABP . 解法二： 用 Ak表示 “甲队得 k 分”这一事件， 用 Bk表示“已队得 k 分”这一事件，k=0,1,2,3 由于事件 A3B0,A2B1为互斥事件，故事 P(AB)=P(A3B0A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1). . 243 34 ) 3 2 2 1
13、3 1 2 1 ( 3 2 ) 2 1 3 1 () 3 2 ( 2 2 1 23 2 3 2 2 3 CC (19)(本小题满分本小题满分 12 分分) 将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 记表中的第一列数 a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前 n 项 和，且满足 n Nn n SSb b 2 2 1=（n2）. ()证明数列 n S 1 成等差数列，并求数列bn的通项公式； （）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公 比为同一个
14、正数.当 91 4 81 a时，求上表中第 k(k3)行所有项和的和. ()证明：由已知，当 n2 时 ).1( 22 1 2 2 . 1 2 , 2 1 1 2 1 1 1 . 2 1 1 1 . 1 , 2 111 , 1 2 , 1 )( 2 , , 1 2 1 111 1 1 1 2 1 1 21 2 nnhn Sbn n S n n S S abS SS SS SS SSSS SS bbbS SSb b nn n n n n n nn nn n nnn nn nn nnn n 时，所以 当 即 ）（由上可知 的等差数列，公差为是首项为所以数列 又 所以 ）（ 即 ）（ 所以 又 n
15、b 1 n=1 - ) 1( 2 nn n2 （）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为 q,且 q0. 因为 12 13 121278, 2 所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列an的前 78 项， 故 a82在表中第 13 行第三列， 因此 2 8213 4 . 91 abq 又 13 2 , 13 14 b 所以 q=2. 记表中第 k(k3)行所有项的和为 S， 则 (1)2(1 2 )2 (1 2 ) 1(1)1 2(1) kk k k bq S qk kk k （k3）. (20)(本小题满分本小题满分 12 分分) 如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，P
16、A平面 ABCD，60ABC,E，F 分别是 BC, PC 的中点. （）证明：AEPD; （） 若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正 切值为 6 2 ，求二面角 EAFC 的余弦值. （）证明：由四边形 ABCD 为菱形，ABC=60，可得 ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点，所以 AEBC. 又 BCAD，因此 AEAD. 因为 PA平面 ABCD，AE平面 ABCD，所以 PAAE. 而 PA平面 PAD，AD平面 PAD 且 PAAD=A， 所以 AE平面 PAD，又 PD平面 PAD. 所以 AEPD. （）解：设 AB=2，H 为 PD 上
17、任意一点，连接 AH，EH. 由（）知 AE平面 PAD， 则EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 RtEAH 中，AE=3， 所以 当 AH 最短时，EHA 最大， 即 当 AHPD 时，EHA 最大. 此时 tanEHA= 36 , 2 AE AHAH 因此 AH=2.又 AD=2，所以ADH=45， 所以 PA=2. 解法一：因为 PA平面 ABCD，PA平面 PAC， 所以 平面 PAC平面 ABCD. 过 E 作 EOAC 于 O，则 EO平面 PAC， 过 O 作 OSAF 于 S，连接 ES，则ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角， 在 RtAOE 中，EO=AE
18、sin30= 3 2 ，AO=AEcos30= 3 2 , 又 F 是 PC 的中点，在 RtASO 中，SO=AOsin45= 3 2 4 , 又 22 3830 , 494 SEEOSO 在 RtESO 中，cosESO= 3 2 15 4 , 530 4 SO SE 即所求二面角的余弦值为 15 . 5 解法二：由（）知 AE，AD，AP 两两垂直，以 A 为 坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又 E、F 分别 为 BC、PC 的中点，所以 E、F 分别为 BC、PC 的中点，所以 A（0，0，0） ，B（3，-1，0） ，C（C，1，0） ， D （0， 2， 0） ， P （0
19、， 0， 2） ， E （3， 0， 0） ， F （ 3 1 ,1 22 ） ， 所以 3 1 ( 3,0,0),(,1). 22 AEAF 设平面 AEF 的一法向量为 111 ( ,),mx y z 则 0, 0, m AE m AF 因此 1 111 30, 31 0. 22 x xyz 取 1 1,(0,2, 1),zm 则 因为 BDAC，BDPA，PAAC=A， 所以 BD平面 AFC， 故 BD为平面 AFC 的一法向量. 又 BD=（-3,3,0） ， 所以 cosm, BD= 2 315 . 5| |512 m BD mBD 因为 二面角 E-AF-C 为锐角， 所以所求二
20、面角的余弦值为 15 . 5 （21） （本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( )ln(1), (1)n f xax x 其中 nN*,a 为常数. （）当 n=2 时，求函数 f(x)的极值； （）当 a=1 时，证明：对任意的正整数 n,当 x2 时，有 f(x)x-1. （）解：由已知得函数 f(x)的定义域为x|x1， 当 n=2 时， 2 1 ( )ln(1), (1) f xax x 所以 2 3 2(1) ( ). (1) ax f x x （1）当 a0 时，由 f(x)=0 得 1 2 1x a 1， 2 2 1x a 1， 此时 f（x）= 12 3 ()() (1)
21、a xxxx x . 当 x（1，x1）时，f（x）0,f(x)单调递减； 当 x（x1+）时，f（x）0, f(x)单调递增. （2）当 a0 时，f（x）0 恒成立，所以 f(x)无极值. 综上所述，n=2 时， 当 a0 时，f(x)在 2 1x a 处取得极小值，极小值为 22 (1)(1 ln). 2 a f aa 当 a0 时，f(x)无极值. （）证法一：因为 a=1,所以 1 ( )ln(1). (1)n f xx x 当 n 为偶数时， 令 1 ( )1ln(1), (1)n g xxx x 则 g（x）=1+ 11 12 (1)11(1) nn nxn xxxx 0（x2）
22、. 所以当 x2,+时，g(x)单调递增， 又 g(2)=0 因此 1 ( )1ln(1) (1)n g xxx x g(2)=0 恒成立， 所以 f(x)x-1 成立. 当 n 为奇数时， 要证( )f xx-1,由于 1 (1)nx 0，所以只需证 ln(x-1) x-1, 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 h（x）=1- 12 11 x xx 0（x2）, 所以 当 x2，+时，( )1 ln(1)h xxx 单调递增，又 h(2)=10， 所以当 x2 时，恒有 h(x) 0,即 ln（x-1）x-1 命题成立. 综上所述，结论成立. 证法二：当 a=1 时， 1 ( )ln
23、(1). (1)n f xx x 当 x2，时，对任意的正整数 n，恒有 1 (1)nx 1， 故只需证明 1+ln(x-1) x-1. 令( )1 (1 ln(1)2 ln(1),2,h xxxxxx 则 12 ( )1, 11 x h x xx 当 x2 时，( )h x0，故 h(x)在2,上单调递增， 因此 当 x2 时，h(x)h(2)=0，即 1+ln(x-1) x-1 成立. 故 当 x2 时，有 1 ln(1) (1)n x x x-1. 即 f（x）x-1. (22)(本小题满分 14 分) 如图，设抛物线方程为 x2=2py(p0),M 为 直线 y=-2p 上任意 一点，
24、过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B. （）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列； （）已知当 M 点的坐标为（2，-2p）时，4 10AB ， 求此时抛物线的方程； （）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在 抛物线 2 2(0)xpy p上，其中， 点 C 满足OCOA OB （O 为坐标原点） .若存在， 求出所有适合题意的点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由. （）证明：由题意设 22 12 12120 ( ,), (,),(, 2 ). 22 xx A xB xxx M xp pp 由 2 2xpy得 2 2 x y p ，则, x y p 所以 1
25、2 ,. MAMB xx kk pp 因此直线 MA 的方程为 1 0 2(), x ypxx p 直线 MB 的方程为 2 0 2(). x ypxx p 所以 2 11 10 2(), 2 xx pxx pp 2 22 20 2(). 2 xx pxx pp 由、得 2 12 120, 2 xx xxx 因此 2 12 0 2 xx x ，即 012 2.xxx 所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列. （）解：由（）知，当 x0=2 时， 将其代入、并整理得： 22 11 440,xxp 22 22 440,xxp 所以 x1、x2是方程 22 440xxp的两根， 因此 2 1212
26、 4,4,xxx xp 又 22 21 012 21 22 , 2 AB xx xxxpp k xxpp 所以 2 . AB k p 由弦长公式得 222 1212 2 4 1()4116 16.ABkxxx xp p 又4 10AB ， 所以 p=1 或 p=2， 因此所求抛物线方程为 2 2xy或 2 4 .xy （）解：设 D(x3,y3)，由题意得 C(x1+ x2, y1+ y2), 则 CD 的中点坐标为 123123 (,), 22 xxxyyy Q 设直线 AB 的方程为 0 11 (), x yyxx p 由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点 1212 (,) 22 xxy
27、y 也在直线 AB 上， 代入得 0 33. x yx p 若 D（x3,y3）在抛物线上，则 2 3303 22,xpyx x 因此 x3=0 或 x3=2x0. 即 D(0，0)或 2 0 0 2 (2,). x Dx p （1）当 x0=0 时，则 120 20xxx，此时，点 M(0,-2p)适合题意. （2）当 0 0x ，对于 D(0，0)，此时 22 12 2222 1212 0 00 2 (2,), 224 CD xx xxxxp Cxk pxpx 又 0 , AB x k p ABCD， 所以 2222 01212 2 0 1, 44 ABCD xxxxx kk ppxp 即 222 12 4,xxp 矛盾. 对于 2 0 0 2 (2,), x Dx p 因为 22 12 0 (2,), 2 xx Cx p 此时直线 CD 平行于 y 轴， 又 0 0, AB x k p 所以 直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾， 所以 0 0x 时，不存在符合题意的 M 点. 综上所述，仅存在一点 M(0，-2p)适合题意.
