1、 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学文科数学 第卷（共 60 分） 参考公式： 锥体的体积公式： 1 3 VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高 球的表面积公式： 2 4SR，其中R是球的半径 如果事件A B，互斥，那么()( )( )P ABP AP B 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1满足 1234 Maaaa， ， ，且 12312 Maaaaa， ，的集合M的个数是 （ ） A1 B2 C3 D4 2设z的共轭复数是z，若4
2、zz，8z z ，则 z z 等于（ ） Ai Bi C1 Di 3函数 lncos 22 yxx 的图象是（ ） 4给出命题：若函数( )yf x是幂函数，则函数( )yf x的图象不过第四象限在它的 逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A3 B2 C1 D0 5设函数 2 2 11 ( ) 21 xx f x xxx ， ， 则 1 (2) f f 的值为（ ） A 15 16 B 27 16 C 8 9 D18 6右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A9 B10 y y x x 2 2 O O y y x x 2 2 O O y
3、y x x 2 2 O O y y x x 2 2 O O A A B B C C D D 俯视图俯视图 正正( (主主) )视图视图 侧侧( (左左) )视图视图 2 2 3 3 2 2 2 2 C11 D12 7不等式 2 5 2 (1) x x 的解集是（ ） A 1 3 2 ， B 1 3 2 ， C 1 113 2 ， D 1 113 2 ， 8 已 知abc， ，为ABC的 三 个 内 角ABC， ，的 对 边 ， 向 量 (31 )( c o ss i n)AA， ，mn若mn，且coscossinaB bAcC，则角A B， 的大小分别为（ ） A 6 3 ， B 2 36 ，
4、 C 3 6 ， D 3 3 ， 9 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩， 统计如表， 则这 100 人成绩的标准差为 （ ） 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A3 B 2 10 5 C3 D 8 5 10已知 4 cossin3 65 ，则 7 sin 6 的值是（ ） A 2 3 5 B 2 3 5 C 4 5 D 4 5 11若圆C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线430xy和x轴相切，则该圆的标 准方程是（ ） A 2 2 7 (3)1 3 xy B 22 (2)(1)1xy C 22 (1)(3)1xy D 2 2 3 (1)1 2 xy 1
5、2已知函数( )log (21)(01) x a f xbaa，的图象如图所示，则ab，满足的关系 是（ ） A 1 01ab B 1 01ba C 1 01ba D 11 01ab 第卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 1 O O y y x x 13已知圆 22 :6480C xyxy以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦 点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 14执行右边的程序框图，若0.8p ， 则输出的n 15已知 2 (3 )4 log 3233 x fx， 则 8 (2)(4)(8)(2 )ffff的 值等于 16设xy，
6、满足约束条件 20 5100 0 0 xy xy x y ， ， ， ， 则2zxy的最大值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 17（本小题满分 12 分） 已知函数( )3sin()cos()f xxx（0，0）为偶函数，且函数 ( )yf x图象的两相邻对称轴间的距离为 2 （）求 8 f 的值； （） 将函数( )yf x的图象向右平移 6 个单位后， 得到函数( )yg x的图象， 求( )g x的 单调递减区间 18（本小题满分 12 分） 现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 123 AAA， ，通晓日语， 123 BBB， ，通晓俄语， 12 CC， 通晓韩语从中选
7、出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组 （）求 1 A被选中的概率； （）求 1 B和 1 C不全被选中的概率 开始开始 10nS， Sp? ? 是是 输入输入p p 结束结束 输出输出n 1 2n SS 否否 1nn 19（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，ABDC，PAD是等边三 角形，已知28BDAD，24 5ABDC （）设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD； （）求四棱锥PABCD的体积 20（本小题满分 12 分） 将数列 n a中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 1 a 2 a 3 a 4
8、a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 记表中的第一列数 1247 aaaa， ， ， ，构成的数列为 n b， 11 1ba n S为数列 n b的前 n项和，且满足 2 2 1(2) n nnn b n b SS （）证明数列 1 n S 成等差数列，并求数列 n b的通项公式； （）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为 同一个正数当 81 4 91 a 时，求上表中第(3)k k行所有项的和 21（本小题满分 12 分） 设函数 2132 ( ) x f xx eaxbx ，已知2x和1x 为( )f x的极值点 （）求a和b的值； A
9、 A B B C C M M P P D D （）讨论( )f x的单调性； （）设 32 2 ( ) 3 g xxx，试比较( )f x与( )g x的大小 22（本小题满分 14 分） 已知曲线 1 1(0) xy Cab ab ：所围成的封闭图形的面积为4 5， 曲线 1 C的内切圆半径 为 2 5 3 记 2 C为以曲线 1 C与坐标轴的交点为顶点的椭圆 （）求椭圆 2 C的标准方程； （）设AB是过椭圆 2 C中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线M是l上异于椭圆中 心的点 （1）若MOOA（O为坐标原点），当点A在椭圆 2 C上运动时，求点M的轨迹方 程； （2）若M是l与椭圆 2
10、 C的交点，求AMB的面积的最小值 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学（答案） 一、选择题 1 1B B 2 2D D 3 3A A 4 4C C 5 5A A 6 6D D 7 7D D 8 8C C 9 9B B 1010C C 1111B B 1212A A 二、填空题 1313 22 1 412 xy 14144 151520082008 161611 11 三、解答题 1717解：（解：（）( )3sin()cos()f xxx 31 2sin()cos() 22 xx 2sin 6 x 因为因为( )f x为偶为偶函数函数， 所以对所以对xR，()( )f
11、xf x恒成立，恒成立， 因此因此 sin()sin 66 xx 即即 sincoscossinsincoscossin 6666 xxxx ， 整理得整理得 sincos0 6 x 因为因为0，且，且xR， 所以所以 cos0 6 又因为又因为0， 故故 62 所以所以 ( )2sin2cos 2 f xxx 由题意得由题意得 2 2 2 ，所以，所以2 故故( )2cos2f xx 因此因此 2cos2 84 f （）将）将( )f x的图象向右平的图象向右平移移 6 个单位后，得到个单位后，得到 6 fx 的图象，的图象， 所以所以 ( )2cos 22cos 2 663 g xfxxx
12、 当当 2 22 3 kxk（kZ），）， 即即 2 63 kxk （kZ）时，）时，( )g x单调递减，单调递减， 因此因此( )g x的单调递减区间为的单调递减区间为 2 63 kk ，（kZ） 1818解：（解：（）从）从 8 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 1 名，其一切可能的结果组成的名，其一切可能的结果组成的 基本事件空间基本事件空间 111112121 () () ()ABCABCABC， ， ， ， ， ， 122131 () ()ABCABC， ， ， ， 132 ()ABC， ， 211212221 () () ()ABCABCA
13、BC， ， ， ， ， ， 222 ()ABC， ， 231 ()ABC， ， 232 ()ABC， ， 311312321 () () ()ABCABCABC， ， ， ， ， ， 322331332 () () ()ABCABCABC， ， ， ， ， ， 由由 1818 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生 是等可能的是等可能的 用用M表示“表示“ 1 A恰被选中”这一事件，则恰被选中”这一事件，则 M 111112121 () () ()ABCABCABC， ， ， ， ， ，
14、122131132 () () ()ABCABCABC， ， ， ， ， ， 事件事件M由由 6 6 个基本事件组成，个基本事件组成， 因而因而 61 () 183 P M （）用）用N表示“表示“ 11 BC，不全被选中”这一事件，则其对立事件不全被选中”这一事件，则其对立事件N表表示“示“ 11 BC，全被选全被选 中”这一事件，中”这一事件， 由于由于N 111211311 () () ()ABCABCABC， ， ， ， ， ， ，事件，事件N有有 3 3 个基本事件组成，个基本事件组成， 所以所以 31 () 186 P N ，由对立事件的概率公式得，由对立事件的概率公式得 15 (
15、)1()1 66 P NP N 1919（）证明：在）证明：在ABD中，中， 由于由于4AD ，8BD，4 5AB ， 所以所以 222 ADBDAB 故故ADBD 又平面又平面PAD 平面平面ABCD，平面，平面PAD平面平面ABCDAD， BD 平面平面ABCD， 所以所以BD 平面平面PAD， A A B B C C M M P P D D O O 又又BD 平面平面MBD， 故平面故平面MBD 平面平面PAD （）解：过）解：过P作作POAD交交AD于于O， 由于平面由于平面PAD 平面平面ABCD， 所以所以PO平面平面ABCD 因此因此PO为四棱锥为四棱锥PABCD的高，的高， 又
16、又PAD是边长为是边长为 4 4 的等边三角形的等边三角形 因此因此 3 42 3 2 PO 在底面四边形在底面四边形ABCD中，中，ABDC，2ABDC， 所以所以四边形四边形ABCD是梯形，在是梯形，在RtADB中，斜边中，斜边AB边上的高为边上的高为 4 88 5 54 5 ， 此即为梯形此即为梯形ABCD的高，的高， 所以四边形所以四边形ABCD的面积为的面积为 2 54 58 5 24 25 S 故故 1 24 2 316 3 3 P ABCD V 2020（）证明：由已知，当）证明：由已知，当2n时，时， 2 2 1 n nnn b b SS ， 又又 12nn Sbbb， 所以所
17、以 1 2 1 2() 1 () nn nnnn SS SSSS ， 即即 1 1 2() 1 nn nn SS SS ， 所以所以 1 111 2 nn SS ， 又又 111 1Sba 所以数列所以数列 1 n S 是首项为是首项为 1 1，公差为，公差为 1 2 的等差数列的等差数列 由上可知由上可知 111 1(1) 22 n n n S ， 即即 2 1 n S n 所以当所以当2n时，时， 1 222 1(1) nnn bSS nnn n 因此因此 11 2 2 (1) n n b n n n ， ， ， （）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为）解：设上表中从第三行起，每行的公
18、比都为q，且，且0q 因为因为 12 13 121278 2 ， 所以表中第所以表中第 1 1 行至第行至第 1212 行共含有数列行共含有数列 n a的前的前 7878 项，项， 故故 81 a在表中第在表中第 1313 行第三列，行第三列， 因此因此 2 8113 4 91 abq 又又 13 2 13 14 b ， 所以所以2q 记表中第记表中第(3)k k行所有项的和为行所有项的和为S， 则则 (1)2(1 2 )2 (1 2 )(3) 1(1)1 2(1) kk k k bq Sk qk kk k 2121解：（解：（）因为）因为 122 ( )e(2)32 x fxxxaxbx 1
19、 e(2)(32 ) x xxxaxb ， 又又2x和和1x 为为( )f x的极值点，所以的极值点，所以( 2)(1)0ff， 因此因此 620 3320 ab ab ， ， 解方程组得解方程组得 1 3 a ，1b （）因为）因为 1 3 a ，1b， 所以所以 1 ( )(2)(e1) x fxx x ， 令令( )0fx，解得解得 1 2x ， 2 0x ， 3 1x 因为当因为当(2)x ，(01)，时，时，( )0fx； 当当( 2 0)(1)x ，时，时，( )0fx 所以所以( )f x在在( 2 0) ，和和(1)，上是单调递增的；上是单调递增的； 在在(2) ，和和(01)
20、，上是单调递减的上是单调递减的 （）由（）由（）可知）可知 2132 1 ( )e 3 x f xxxx ， 故故 21321 ( )( )e(e) xx f xg xxxxx ， 令令 1 ( )exh xx ， 则则 1 ( )e1 x h x 令令( )0h x，得，得1x ， 因为因为1x ，时，时，( )0h x， 所以所以( )h x在在1x ，上单调递减上单调递减 故故1x ，时，时，( )(1)0h xh； 因为因为1x，时，时，( )0h x， 所以所以( )h x在在1x，上单调递增上单调递增 故故1x，时，时，( )(1)0h xh 所以对任意所以对任意()x ，恒有，恒
21、有( )0h x，又，又 2 0x， 因此因此( )( )0f xg x， 故对任意故对任意()x ，恒有，恒有( )( )f xg x 2222解：（解：（）由题意得）由题意得 22 24 5 2 5 3 ab ab ab ， 又又0ab， 解得解得 2 5a ， 2 4b 因此所求椭圆的标准方程为因此所求椭圆的标准方程为 22 1 54 xy （） （） （1 1）假设）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为所在直线方程为(0)ykx k， () AA A xy， 解方程组解方程组 22 1 54 xy ykx ， ， 得得 2 2 20 4
22、5 A x k ， 2 2 2 20 45 A k y k ， 所以所以 22 2 22 222 202020(1) 454545 AA kk OAxy kkk 设设()M xy，由题意知，由题意知(0)MOOA， 所以所以 22 2 MOOA，即，即 2 222 2 20(1) 45 k xy k ， 因为因为l是是AB的垂直平分线，的垂直平分线， 所以直线所以直线l的方程为的方程为 1 yx k ， 即即 x k y ， 因此因此 2 2 22 2222 222 2 20 1 20() 45 45 x yxy xy xyx y ， 又又 22 0xy， 所以所以 222 5420xy， 故
23、故 22 2 45 xy 又当又当0k 或不存在时，上式仍然成立或不存在时，上式仍然成立 综上所述，综上所述，M的轨迹方程为的轨迹方程为 22 2( 0) 45 xy （2 2）当）当k存在且存在且0k 时，由（时，由（1 1）得）得 2 2 20 45 A x k ， 2 2 2 20 45 A k y k ， 由由 22 1 54 1 xy yx k ， ， 解得解得 2 2 2 20 54 M k x k ， 2 2 20 54 M y k ， 所以所以 2 2 22 2 20(1) 45 AA k OAxy k ， 2 22 2 80(1) 4 45 k ABOA k ， 2 2 2
24、20(1) 54 k OM k 解法一：由于解法一：由于 22 2 1 4 AMB SABOM 22 22 180(1)20(1) 44554 kk kk 22 22 400(1) (45)(54) k kk 22 2 22 400(1) 4554 2 k kk 2 22 22 1600(1)40 81(1)9 k k ， 当且仅当当且仅当 22 4554kk时等号成立， 即时等号成立， 即1k 时等号成立， 此时时等号成立， 此时AMB面积的最小值面积的最小值 是是 40 9 AMB S 当当0k ， 140 2 522 5 29 AMB S 当当k不存在时，不存在时， 140 542 5
25、29 AMB S 综上所述，综上所述，AMB的面积的最小值为的面积的最小值为 40 9 解法二：因为解法二：因为 2222 22 1111 20(1)20(1) 4554 kk OAOM kk 22 2 45549 20(1)20 kk k ， 又又 22 112 OA OM OAOM ， 40 9 OA OM， 当且仅当当且仅当 22 4554kk时等号成立，即时等号成立，即1k 时等号成立，时等号成立， 此时此时AMB面积的最小值是面积的最小值是 40 9 AMB S 当当0k ， 140 2 522 5 29 AMB S 当当k不存在时，不存在时， 140 542 5 29 AMB S 综上所述，综上所述，AMB的面积的最小值为的面积的最小值为 40 9
