1、 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (山东卷山东卷) ) 文科数学文科数学 第卷第卷(共共 60 分分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. (1)若复数 z 满足(2)117i(izi为虚数单位)，则z为 (A)3+5i (B)35i (C)3+5i (D)35i 【解析】i i ii ii i i z53 5 2515 )2)(2( )2)(711( 2 711 .故选 A. 【答案】A (2)已知全集0,1,2,3,4U ，集合1,2,3A，2,4B ，则B
2、ACU）（为 (A)1,2,4 (B)2,3,4 (C)0,2,4 (D)0,2,3,4 【解析】4 , 0ACU,所以42 , 0，）（BACU,选 C. 【答案】C (3)函数 2 1 ( )4 ln(1) f xx x 的定义域为 (A) 2,0)(0,2 (B)( 1,0)(0,2 (C) 2,2 (D)( 1,2 【解析】要使函数有意义则有 04 0) 1ln( 01 2 x x x ，即 22 0 1 x x x ，即01x或20 x，选 B. 【答案】B (4)在某次测量中得到的 A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若 B 样本数 据恰好
3、是 A 样本数据都加 2 后所得数据，则 A，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 【解析】设 A 样本的数据为变量为X，B 样本的数据为变量为Y，则满足2 XY，根据方差 公式可得DXXDDY)2(，所以方差相同，标准差也相同，选 D. 【答案】D (5)设命题 p：函数sin2yx的最小正周期为 2 ；命题 q：函数cosyx的图象关于直线 2 x 对称. 则下列判断正确的是 (A)p 为真 (B)q为假 (C)pq为假 (D)pq为真 【解析】函数xy2sin的周期为 2 2 ，所以命题p为假；函数xycos的对称轴为 Zkkx,所以
4、命题q为假，所以qp 为假，选 C. 【答案】C (6)设变量, x y满足约束条件 22, 24, 41, xy xy xy 则目标函数3zxy的取值范围是 (A) 3 ,6 2 (B) 3 , 1 2 (C) 1,6 (D) 3 6, 2 【解析】做出不等式所表示的区域如图，由yxz 3得 zxy 3，平移直线xy3，由图象可知当直线经过点)0 , 2(E时，直线zxy 3的截距最小， 此时z最大为63yxz， 当直线经过C点时，直线截距最大，此时z最小，由 42 14 yx yx ， 解得 3 2 1 y x ，此时 2 3 3 2 3 3yxz，所以yxz 3的取值范围是6 , 2 3
5、 ，选 A. 【答案】A (7)执行右面的程序框图，如果输入a4，那么输出的 n 的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【解析】当4a时，第一次1, 3, 140nQP，第二次 2, 7, 441nQP， 第三次3,15,1642nQP， 此时QP 不 满足，输出3n，选 B. 【答案】B (8)函数2sin(09) 63 x yx 的最大值与最小值之和为 (A)23 (B)0 (C)1 (D)13 【解析】因为90 x，所以 6 9 6 0 x， 36 9 363 x，即 6 7 363 x，所以当 336 x时，最小值为3) 3 sin(2 ，当 236 x时，最大值为2 2 s
6、in2 ，所以最大值与最小值之和为32，选 A. 【答案】A (9)圆 22 (2)4xy与圆 22 (2)(1)9xy的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 【解析】两圆的圆心分别为)0 , 2(，) 1 , 2(，半径分别为2r，3R两圆的圆心距离为 17) 10()22( 22 ，则rRrR17，所以两圆相交，选 B. 【答案】B (10)函数 cos6 22 xx x y 的图象大致为 【解析】 函数为奇函数， 所以图象关于原点对称， 排除 A,令0y得06cosx， 所以 kx 2 6， 612 k x，函数零点有无穷多个，排除 C,且y轴右侧第一个零点为)0
7、, 12 ( ，又函数 xx y 22为增函数，当 12 0 x时，022 xx y，06cosx，所以函数 0 22 6cos xx x y，排除 B，选 D. 【答案】D (11)已知双曲线 1 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2.若抛物线 2 2: 2(0)Cxpy p的焦点到双 曲线 1 C的渐近线的距离为 2，则抛物线 2 C的方程为 (A) 2 8 3 3 xy (B) 2 16 3 3 xy (C) 2 8xy (D) 2 16xy 【解析】抛物线的焦点 ) 2 , 0( p ，双曲线的渐近线为x a b y，不妨取x a b y ，即0 aybx，
8、 焦点到渐近线的距离为2 2 22 ba p a ，即cbaap44 22 ，所以 4 p a c 双曲线的离心 率为2 a c ，所以2 4 p a c ，所以8p，所以抛物线方程为yx16 2 ，选 D. 【答案】D (12)设函数 1 ( )f x x ， 2 ( )g xxbx.若( )yf x的图象与( )yg x的图象有且仅有两个不同的公 共点 1122 (,), (,)A x yB xy，则下列判断正确的是 (A) 1212 0,0xxyy (B) 1212 0,0xxyy (C) 1212 0,0xxyy (D) 1212 0,0xxyy 【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出
9、两个函数的图象，要想满足条件，则有如图 ，做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为),( 11 yx ，由图象知 , 2121 yyxx即0, 0 2121 yyxx，故答案选 B. 方法二： 设 32 ( )1F xxbx， 则方程( )0F x 与( )( )f xg x同解， 故其有且仅有两个不同零点 12 ,x x. 由( )0F x得0x 或 2 3 xb.这样，必须且只须(0)0F或 2 ()0 3 Fb ，因为(0)1F，故必有 2 ()0 3 Fb 由此得 3 3 2 2 b .不妨设 12 xx，则 3 2 2 2 3 xb.所以 23 1 ( )()(2)F xx
10、xx，比较 系数得 3 1 41x，故 3 1 1 2 2 x . 3 12 1 20 2 xx，由此知 12 12 1212 11 0 xx yy xxx x ，故答 案为 B. 【答案】B 第卷第卷(共共 90 分分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. (13)如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，E 为线段 1 B C上的一点，则三棱锥 1 ADED的体积 为. 【解析】以 1 ADD为底面，则易知三棱锥的高为 1，故 1 11 1 1 1 3 26 V . 【答案】 6 1 (14)右图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位：)数据
11、得到的样本频率分布直方图，其中 平均气温的范围是20.5，26.5 ，样本数据的分组为20.5,21.5)，21.5,22.5)，22.5,23.5)， 23.5,24.5)，24.5,25.5)，25.5,26.5.已知样本中平均气温低于 22.5的城市个数为 11，则样 本中平均气温不低于 25.5的城市个数为. 【解析】最左边两个矩形面积之和为 0.101+0.1210.22，总城市数为 110.2250，最右面 矩形面积为 0.1810.18，500.189. 【答案】9 (15)若函数( )(0,1) x f xa aa在 1， 2 上的最大值为 4， 最小值为 m， 且函数( )(
12、14 )g xmx 在0,)上是增函数，则 a. 【解析】当1a 时，有 21 4,aam ，此时 1 2, 2 am，此时( )g xx 为减函数，不合题意. 若01a，则 12 4,aam ，故 11 , 416 am，检验知符合题意. 【答案】 1 4 （16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点 P 的位 置在(0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为. 【解析】因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧2PA，即圆心角 2PCA,则 2 2 PCA,所以2cos) 2 2sin( PB， 2sin) 2 2
13、cos( CB，所以2sin22CBxp，2cos11PByp，所以 )2cos1 , 2sin2(OP. 另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为 sin1 cos2 y x ，且 2 2 3 , 2 PCD，则点 P 的坐标为 2cos1)2 2 3 sin(1 2sin2)2 2 3 cos(2 y x ，即 )2cos1 , 2sin2(OP. 【答案】)2cos1 , 2sin2( 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. (17)(本小题满分 12 分) 在ABC 中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知sin (tantan)tanta
14、nBACAC. ()求证：, ,a b c成等比数列； ()若1,2ac，求ABC的面积 S. 【答案】【答案】(17)(I)由已知得： sin (sincoscossin)sinsinBACACAC， sinsin()sinsinBACAC， 2 sinsinsinBAC， 再由正弦定理可得： 2 bac， 所以, ,a b c成等比数列. (II)若1,2ac，则 2 2bac， 222 3 cos 24 acb B ac ， 2 7 sin1cos 4 CC， ABC的面积 1177 sin1 2 2244 SacB . (18)(本小题满分 12 分) 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张
15、，标号分别为 1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为 1，2. ()从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率； ()现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且 标号之和小于 4 的概率. 【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种：红1红2，红1红3，红1蓝1， 红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且 标号之和小于 4 的有 3 种情况，故所求的概率为 3 10 P . (II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除
16、上面的 10 种情况外，多出 5 种情 况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有 15 种情况，其中颜色不同且标号之 和小于 4 的有 8 种情况，所以概率为 8 15 P . (19) (本小题满分 12 分) 如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形， ,CBCD ECBD. ()求证：BEDE； ()若120BCD ，M 为线段 AE 的中点， 求证：DM平面BEC. 【答案】(19)(I)设BD中点为 O，连接 OC，OE，则由BCCD知 ， COBD， 又已知CEBD，所以BD 平面 OCE. 所以BDOE，即 OE 是 BD 的垂直平分线， 所以BEDE
17、. (II)取 AB 中点 N，连接,MN DN， M 是 AE 的中点，MNBE， ABD是等边三角形，DNAB. 由BCD120知，CBD30，所以ABC60+3090，即 BCAB， 所以 NDBC， 所以平面 MND平面 BEC，故 DM平面 BEC. (20) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 n a的前 5 项和为 105，且 205 2aa. ()求数列 n a的通项公式； ()对任意 * mN，将数列 n a中不大于 2 7 m的项的个数记为 m b.求数列 m b的前 m 项和 m S. 【答案】 (I)由已知得： 1 11 510105, 92(4 ), ad ada
18、d 解得 1 7,7ad, 所以通项公式为7(1) 77 n ann. (II)由 2 77 m n an，得 21 7 m n ， 即 21 7 m m b . 21 1 21 7 49 7 m k m k b b ， m b是公比为 49 的等比数列， 7(149 )7 (491) 14948 m m m S . (21) (本小题满分 13 分) 如图，椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 的离心率为 3 2 ，直线xa 和yb 所围成的矩形 ABCD 的 面积为 8. ()求椭圆 M 的标准方程； () 设直线:()l yxm mR与椭圆 M 有两个不同的交点,P Q l与
19、矩 形 ABCD 有两个不同的交点,S T.求 | | PQ ST 的最大值及取得最大值时 m 的值. 【答案】(21)(I) 22 2 33 24 cab e aa 矩形 ABCD 面积为 8，即228ab 由解得：2,1ab， 椭圆 M 的标准方程是 2 2 1 4 x y. (II) 22 22 44, 58440 , xy xmxm yxm ， 设 1122 (,),(,)P x yQ xy，则 2 1212 844 , 55 m xxm x x ， 由 22 6420(44)0mm得55m. 2 2 2 8444 2 |245 555 m PQmm . 当l过A点时，1m ，当l过C
20、点时，1m . 当51m 时，有(1, 1), (2,2),|2(3)SmTmSTm， 2 22 |45446 1 |5(3)5 PQm STmtt ， 其中3tm，由此知当1 3 4t ，即 45 ,(5, 1) 33 tm 时， | | PQ ST 取得最大值 2 5 5 . 由对称性，可知若15m，则当 5 3 m 时， | | PQ ST 取得最大值 2 5 5 . 当11m 时，| 2 2ST ， 2 |2 5 |5 PQ m ST ， 由此知，当0m 时， | | PQ ST 取得最大值 2 5 5 . 综上可知，当 5 3 m 和 0 时， | | PQ ST 取得最大值 2 5
21、 5 . (22) (本小题满分 13 分) 已知函数 ln ( )( ex xk f xk 为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线( )yf x在点(1, (1)f处 的切线与 x 轴平行. ()求 k 的值； ()求( )f x的单调区间； ()设( )( )g xxfx，其中( )fx为( )f x的导函数.证明：对任意 2 0, ( )1 exg x . 【答案】(I) 1 ln ( ) ex xk x fx ， 由已知， 1 (1)0 e k f ，1k . (II)由(I)知， 1 ln1 ( ) ex x x fx . 设 1 ( )ln1k xx x ，则，即( )
22、k x在(0,)上是减函数， 由(1)0k知，当01x时( )0k x ，从而( )0fx， 当1x 时( )0k x ，从而( )0fx. 综上可知，( )f x的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,). (III)由(II)可知，当1x 时，( )( )g xxfx01+ 2 e，故只需证明 2 ( )1 eg x 在01x时成立. 当01x时，ex1，且( )0g x ， 1ln ( )1ln ex xxx g xxxx . 设( )1lnF xxxx ，(0,1)x，则( )(ln2)F xx ， 当 2 (0,e )x 时，( )0F x，当 2 (e ,1)x 时，( )0F x， 所以当 2 ex 时，( )F x取得最大值 22 ()1 eF e . 所以 2 ( )( )1 eg xF x . 综上，对任意0x ， 2 ( )1 eg x .
