1、 2013 年山东高考数学理试题解析年山东高考数学理试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。符合题目要求的。 （1）复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数为( ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i 【答案】D 【解析】由(z-3)(2-i)=5，得 55(2)5(2) 333235 2(2)(2)5 ii zii iii ，所以 5zi，选 D. （2）设集合 A=0,1,
2、2,则集合 B=x-y |xA, yA 中元素的个数是( ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9 【答案】C 【解析】因为, x yA,所以2, 1,0,1,2xy ，即 2, 1,0,1,2B ,有 5 个元素，选 C. （3）已知函数 f(x)为奇函数,且当 x0 时, f(x) =x2+ 1 x ,则 f(-1)= ( ) （A）-2 （B）0 （C）1 （D）2 【答案】A 【解析】因为函数为奇函数，所以( 1)(1)(1 1)2ff ，选 A. （4）已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 9 4 ,底面积是边长为 3的正三角形，若 P 为底面 A1B1C1的中心
3、,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( ) （A） 5 12 （B） 3 （C） 4 （D） 6 【答案】B 【解析】取正三角形 ABC 的中心，连结OP,则PAO是 PA 与 平面 ABC 所成的角。因为底面边长为3，所以 33 3 22 AD , 223 1 332 AOAD.三棱柱的体积为 2 1 139 ( 3) 224 AA,解得 1 3AA ，即 1 3OPAA,所以 tan3 OP PAO OA ，即 3 PAO ，选 B. （5）将函数 y=sin（2x +）的图像沿 x 轴向左平移 8 个单位后，得到一个偶函数的图像，则的 一个可能取值为 （A） 3 4 （B） 4
4、（C）0 （D） 4 【答案】B 【解析】将函数 y=sin（2x +）的图像沿 x 轴向左平移 8 个单位，得到函数 sin2()sin(2) 84 yxx ，因为此时函数为偶函数，所以, 42 kkZ ， 即, 4 kkZ ，所以选 B. （6）在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组： 2xy20 x2y 10 3xy80 ，所表示的区域上一动点，则直 线 OM 斜率的最小值为 （A）2 （B）1 （C） 1 3 （D） 1 2 【答案】 C 【解析】作出可行域如图，由图象可知当 M 位于点 D 处时，OM 的 斜率最小。由 210 380 xy xy 得 3 1 x y ，即(3,
5、 1)D,此时 OM 的 斜率为 11 33 ，选 C. （7）给定两个命题 p、q，若p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是q 的 （A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为p 是 q 的必要而不充分条件，所以q 是 p 的必要而不充分条件，即 p 是q 的充分 而不必要条件，选 A. （8）函数 y=xcosx + sinx 的图象大致为 【答案】 D 【解析】函数 y=xcosx + sinx 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除 B，C.当x时， ( )0f ,排除 A,选 D. （9）过点（3，1）作圆（
6、x-1）2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为 （A）2x+y-3=0 （B）2x-y-3=0 （C）4x-y-3=0 （D）4x+y-3=0 【答案】A 【解析】由图象可知，(1,1)A是一个切点，所以代入选项知，,B D不成立，排除。又AB直线的斜 率为负，所以排除 C，选 A. 设切线的斜率为k，则切线方程为1(3)yk x ，即1 30kxyk （10）用 0，1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 （A）243 （B）252 （C）261 （D）279 【答案】B 【解析】有重复数字的三位数个数为9 10 10900。没有重复数字的三位数有
7、 12 99 648C A ,所以 有重复数字的三位数的个数为900648=252，选 B. （11）抛物线 C1：y= 1 2p x2(p0)的焦点与双曲线 C2： 2 2 1 3 x y的右焦点的连线交 C1于第一象 限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p= A. 3 16 B. 3 8 C. 2 3 3 D. 4 3 3 【答案】D 【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为 3 3 yx。抛物线的焦点为(0,) 2 p F,双曲线的右焦点为 2(2,0) F. 1 yx p ，所以在 2 0 0 (,) 2 x M x p 处的切线斜率为 3 3 ，即 0
8、13 3 x p ，所以 0 3 3 xp，即 三点(0,) 2 p F， 2(2,0) F， 3 (,) 36 p Mp共线，所以 0 622 023 3 ppp p ，即 4 3 3 p ，选 D. （12）设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当 xy z 取得最大值时， 212 xyz 的最大值为 （A）0 （B）1 （C） 9 4 （D）3 【答案】 B 【解析】由 22 340xxyyz，得 22 34zxxyy。 所以所以 22 1 4 34 3 xyxy xy zxxyy yx 1 1 4 23 xy yx ，当且仅当 4xy yx ，即2xy时取等号此时
9、 2 2yz ，1)( max z xy . xyyyzyx 21 2 2212 ) 2 1 1 ( 2 ) 1 1 ( 2 yyxy 1) 2 2 1 1 2 1 (4 2 yy ，故选 B. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 （13）执行右面的程序框图，若输入的的值为 0.25，则输入的 n 的值为 【答案】3 【解析】第一次循环， 10 123,3 12,2FFn ，此时 1 11 0.25 3F 不成立。第二次循环， 10 235,523,3FFn，此时 1 11 0.25 5F 成立， 输出3n 。 (14)在区间-
10、3,3上随机取一个数 x，使得 |x+1 |- |x-2 |1 成立的概率为 【答案】 1 3 【解析】设( )12f xxx，则 3, 31 ( )1221, 12 3,23 x f xxxxx x 。由 21 1x ，解得12x，即当13x时，( )1f x 。由几何概型公式得所求概率为 3 121 3( 3)63 。 （15）已知向量AB与AC的夹角为120，且| 3,| 2,ABAC若,APABAC且APBC, 则实数的值为 【答案】 7 12 【解析】向量AB与AC的夹角为120，且| 3,| 2,ABAC所以 1 cos1203 23 2 AB ACABAC 。由APBC得，0AP
11、 BC，即 () ()0AP BCABACACAB，所以 22 (1)0ACABAB AC，即 493(1)0，解得 7 12 。 （16）定义“正对数”： 0,01 ln ln ,1 x x xx ，现有四个命题： 若0,0ab，则ln ()ln b aba 若0,0ab，则ln ()lnlnabab 若0,0ab，则ln ( )lnln a ab b 若0,0ab，则ln ()lnlnln2abab 其中的真命题有： （写出所有真命题的编号） 【答案】 【解析】 当1,0ab时，1 b a ，ln ()lnln , lnln bb aaba baba ， 所以ln ()ln b aba 成
12、立。当01,0ab时，01 b a，此时ln ()0, ln0 b aba ，即ln ()ln b aba 成立。 综上ln ()ln b aba 恒成立。当 1 ,ae b e 时，ln ()ln10,lnln1,ln0abaeb ， 所以ln ()lnlnabab 不成立。讨论, a b的取值，可知正确。讨论, a b的取值，可知正确。 所以正确的命题为。 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分分. （17）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a+c=6，b=2，cosB= 7 9 . （）求 a，c 的值； （）求 sin（A-
13、B）的值. 解答： （1）由 cosB= 7 9 与余弦定理得， 22 14 4 9 acac， 又 a+c=6，解得3ac （2）又 a=3,b=2， 4 2 sin 9 B 与正弦定理可得， 2 2 sin 3 A , 1 cos 3 A ， 所以 sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB= 10 2 27 （18）（本小题满分 12 分） 如图所示，在三棱锥 P-ABQ 中，PB平面 ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ， AP，BP 的中点，AQ=2BD，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH。 （）求证：AB/GH； （
14、）求二面角 D-GH-E 的余弦值 . 解答：（1）因为 C、D 为中点，所以 CD/AB 同理：EF/AB，所以 EF/CD，EF平面 EFQ， 所以 CD/平面 EFQ，又 CD平面 PCD,所以 CD/GH，又 AB/CD，所以 AB/GH. (2)由 AQ=2BD，D 为 AQ 的中点可得，ABQ 为直角三角形，以 B 为坐标原点，以 BA、BC、BP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设 AB=BP=BQ=2，可得平面 GCD 的一个法向量为 1 (0,2,1)n ， 平面 EFG 的一个法向量为 2 (0,1,2)n ，可得 44 cos 55 5 ,所以二面角 D-GH-E
15、的余弦值为 4 5 （19）（本小题满分 12 分） 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获 胜的概率是 1 2 外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 2 3 .假设每局比赛结果互相独立. （1）分别求甲队以 3：0，3：1，3：2 胜利的概率 （2）若比赛结果为 3：0 或 3：1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3：2，则胜利方得 2 分、对方得 1 分，求乙队得分 x 的分布列及数学期望. 解答：（1） 33 13 28 ( ) 327 pC， 22 23 21 28 ( ) 33 327 pC， 222 34 2114 (
16、 ) ( ) 33227 pC （2）由题意可知 X 的可能取值为：3,2,1,0 相应的概率依次为： 14416 , 9 27 27 27 ，所以 EX= 7 9 （20）（本小题满分 12 分） 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1 （1） 求数列an的通项公式； （2） 设数列bn的前 n 项和 Tn，且 Tn+ 1 2 n n a = （为常数），令 cn=b2n，（nN）. 求数列cn的前 n 项和 Rn. 解答：（1）由 S4=4S2，a2n=2an+1，an为等差数列，可得， 1 1,2ad 所以21 n an （2） 由 Tn+ 1 2 n
17、 n a = 可得，11b， Tn-1+ 2 2n n = 两式相减可得， 当2n 时， 1 2 2 n n n b ， 所以当0时，cn=b2n= 1 1 4n n ，错位相减法可得，Rn= 1 431 99 4n n 当0时，cn=b2n= 1 11 1 2 4n n n n ，可得 Rn= 1 531 99 4n n （21）（本小题满分 13 分） 设函数 2 ( )(2.71828 x x f xc e e 是自然对数的底数，)cR. （1）求( )f x的单调区间，最大值； （2）讨论关于 x 的方程|ln|( )xf x根的个数. 解答：（1） 2 1 2 ( ) x x fx
18、e ，令 ( ) 0fx 得， 1 2 x ， 当 1 (, ),( )0, 2 xfx 函数单调递增； 1 (),( )0, 2 xfx，函数单调递减；所以当 1 2 x 时，函数取得最的最大值 max 1 ( ) 2 fxc e （2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到 1 2 c e ，然后递减到 c，而函数|lnx|是（0,1）时 由正无穷递减到 0，然后又逐渐增大。 故令 f(1)=0 得， 2 1 c e ， 所以当 2 1 c e 时，方程有两个根； 当 2 1 c e 时，方程有一两个根； 当 2 1 c e 时，方程有无两个根. （22）（本小题满分 13 分）
19、椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 3 2 ，过 F1且垂直 于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. （）求椭圆 C 的方程； （）点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1、PF2,设F1PF2的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M（m，0），求 m 的取值范围； （）在（）的条件下，过点 p 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共 点， 设直线 PF1,PF2的斜率分别为 k1，k2，若 k0，试证明 12 11 kkkk 为定值，并求出这个定值. 解答：（1）由已知得， 3 2 c
20、 a ， 2 222 2 1, b abc a ，解得 22 4,1ab 所以椭圆方程为： 2 2 1 4 x y （2）由题意可知： 1 1 | PF PM PFPM = 2 2 | PFPM PFPM , 1 1 | PF PM PF = 2 2 | PFPM PF ,设 00 (,)P xy其中 2 0 4x ，将 向量坐标代入并化简得：m（ 23 000 416)312xxx，因为 2 0 4x ， 所以 0 3 4 mx，而 0 ( 2,2)x ，所以 3 3 (, ) 2 2 m （3）由题意可知，l 为椭圆的在 p 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为： 0 0 1 4 x x y y，所以 0 0 4 x k y ，而 00 12 , 33 yy kk xx ，代入 12 11 kkkk 中得： 00 1200 3311 4()8 xx kkkkxx 为定值.
