1、 1994 年全国高中数学联赛试题 第一试 一、选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1、设 a，b，c 是实数，那么对任何实数 x， 不等式 asinx+bcosx+c0 都成立的充要条件是 (A) a，b 同时为 0，且 c0 (B) a2+b2=c (C) a2+b2c 2、给出下列两个命题： 设 a，b，c 都是复数，如果 a2+b2c2，则 a2+b2c20；设 a，b，c 都是 复数，如果 a2+b2c20，则 a2+b2c2那么下述说法正确的是 (A)命题正确，命题也正确 (B)命题正确，命题错误 (C)命题错误，命题也错误 (D)命题错误，命题正确 3、已知数列an满足 3a
2、n+1+an=4(n1)，且 a1=9，其前 n 项之和为 Sn，则满足不等式|Snn6| 1 125的 最小整数 n 是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 4、已知 00 (B) a2+b2=c (C) a2+b2c 解：asinx+bcosx+c= a2+b2sin(x+)+c a2+b2+c， a2+b2+c故选 C 2、给出下列两个命题：(1)设 a，b，c 都是复数，如果 a2+b2c2，则 a2+b2c20(2)设 a，b，c 都是 复数，如果 a2+b2c20，则 a2+b2c2那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错
3、误 (C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确 解：正确，错误；理由：a2+b2c2，成立时，a2+b2与 c2都是实数，故此时 a2+b2c20 成立； 当 a2+b2c20 成立时 a2+b2c2是实数，但不能保证 a2+b2与 c2都是实数，故 a2+b2c2不一定成 立故选 B 3、已知数列an满足 3an+1+an=4(n1)，且 a1=9，其前 n 项之和为 Sn，则满足不等式|Snn6| 1 125的 最小整数 n 是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解：(an+11)=1 3(an1)，即 an1是以 1 3为公比的等比数列， an=8
4、(1 3) n1+1 S n=8 1(1 3) n 1+1 3 +n=6+n6(1 3) n，61 3n 1 125，n7选 C 4、已知 00 (sina)logbsina23(5 2) 2，则点集 AB 中的整 点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 解：如图可知，共有 7 个点，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3， 2)，(4，2)共 7 点 4设 00 取 2m95=11得 a1a2+a1a3+a94a95=13为所求最小正值 . 第二试 一、(本题满分 25 分) x 的二次方程 x2+z1x+z2+m=0 中,z1，z2，m 均是复数，且 z214z
5、2=16+20i，设这个方 程的两个根 、，满足|=2 7,求|m|的最大值和最小值. 解：设 m=a+bi(a，bR)则=z124z24m=16+20i4a4bi=4(4a)+(5b)i设的平方根为 u+vi(u，vR) 即(u+vi)2=4(4a)+(5b)i A B C D D C B A (4,5) (3,4) O3 2 1 3 2 1 x y |=2 7，|2=28，|(4a)+(5b)i|=7，(a4)2+(b5)2=72， 即表示复数 m 的点在圆(a4)2+(b5)2=72上， 该点与原点距离的最大值为 7+ 41， 最小值为 7 41 二、(本题满分 25 分) 将与 105
6、 互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第 1000 项。 解：由 105=3 5 7；故不超过 105 而与 105 互质的正整数有 105 (11 3)(1 1 5)(1 1 7)=48 个。 1000=48 20+488， 105 20=2100.而在不超过 105 的与 105 互质的数中第 40 个数是 86 所求数为 2186。 三、 (本题满分 35 分) 如图， 设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I， B=60, AC,A 的外角平分线交圆 O 于 E 证明:(1) IO=AE； (2) 2RIO+IA+ICOH=2R 设OHI=，则 030 IO+IA+
7、IC=IO+IH=2R(sin+cos)=2R 2sin(+45 ) 又 +45 75 ，故 IO+IA+ICnk+1即 nk+11nk+1则C 3 ni+1+ C 3 ni+11( C 3 ni+ C 3 ni+1)= C 2 niC 2 ni+10这就是说，当 nk+1与 nk 的差大于 1 时，可用 nk+11 及 nk+1 代替 nk+1及 nk，而其余的数不变此时，m(G)的值变小 于是可知，只有当各 ni的值相差不超过 1 时，m(G)才能取得最小值 1994=8324+2故当 81 组中有 24 个点，2 组中有 25 个点时，m(G)达到最小值 m0=81C 3 24+2C 3 25=812024+22300=168544 取 5 个点为一小组，按图 1 染成 a、b 二色这样的五个小 组，如图 2，每个小圆表示一个五点小组同组间染色如图 1，不 O B A C F D E I H 图1 图2 c d c dc d a b a bd b ca d b a b ca A B C O I E 同组的点间的连线按图 2 染成 c、d 两色这 25 个点为一组，共得 83 组染色法相同其中 81 组去掉 1 个点及与此点相连的所有线即得一种满足要求的染色
