1、 1999 年全国高中数学联赛试题 第一试第一试 一、选择题一、选择题 本题共有 6 小题，每题均给出（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）四个结论，其中有且仅有一 个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不选、 选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分。 1 给 定 公 比 为q(q1) 的 等 比 数 列 an ， 设b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6, , bn=a3n2+a3n1+a3n,，则数列bn 【答】 （ ） (A) 是等差数列 (B) 是公比为 q 的等比数列 (C) 是公比为 q3的等比数列 (
2、D) 既非等差数列也非等比数列 2 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|x|1)2+(|y|1)22 的整点(x,y)的个数是 【答】 （ ） (A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 25 3 若(log23)x(log53)x(log23) y (log53) y ，则 【答】 （ ） (A) xy0 (B) x+y0 (C) xy0 (D) x+y0 4 给定下列两个关于异面直线的命题： 命题：若平面上的直线 a 与平面上的直线 b 为异面直线，直线 c 是与的交 线，那么，c 至多与 a,b 中的一条相交； 命题：不存在这样的无穷多条直线，它
3、们中的任意两条都是异面直线。 那么 【答】 （ ） (A) 命题正确，命题不正确 (B) 命题正确，命题不正确 (C) 两个命题都正确 (D) 两个命题都不正确 5 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有 3 名选手各比赛了 2 场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了 50 场。那么，在上述 3 名选手之间 比赛的场数是 【答】 （ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 6 已知点 A(1,2)，过点(5,2)的直线与抛物线 y2=4x 交于另外两点 B,C，那么，ABC 是 (A) 锐角三角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D) 不确定 【答】 （
4、 ） 二、填空题二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横 线上。 7. 已知正整数 n 不超过 2000，并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和，那么，这 样的 n 的个数是_. 8. 已知=arctg 12 5 ，那么，复数 i i z 239 2sin2cos 的辐角主值是_. 9. 在ABC中， 记BC=a， CA=b， AB=c， 若9a2+9b219c2=0， 则 BA C c t gc t g c t g =_. 10. 已知点 P 在双曲线1 916 22 yx 上，并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到 这条双曲线的
5、两个焦点的距离的等差中项，那么，P 的横坐标是_. 11. 已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合3,2,1,0,1,2,3中的 3 个不同的元素， 并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_. 12. 已知三棱锥 SABC 的底面是正三角形，A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是SBC 的垂 心，二面角 HABC 的平面角等于 30, SA=23。那么三棱锥 SABC 的体积为 _. 三、解答题三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分) 13. 已知当 x0,1时，不等式0sin)1 ()1 (cos 22 xxxx恒成立，试求的取值 范围。 14. 给
6、定 A(2,2)，已知 B 是椭圆1 1625 22 yx 上的动点，F 是左焦点，当|AB|+ 3 5 |BF|取 最小值时，求 B 的坐标。 15. 给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件 2 1 2 1 n aaM 的所有等差数列 a1,a2,a3,.， 试求 S=an+1+an+2+a2n+1的最大值。 第二试试题第二试试题 一、(满分 50 分) 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分BAD。在 CD 上取一点 E，BE 与 AC 相交于 F，延长 DF 交 BC 于 G。求证：GAC=EAC. 二、 (满分 50 分) 给定实数 a, b, c， 已知复数 z1 , z
7、2 , z3 满足： 1 1| 1 3 3 2 2 1 321 z z z z z z zzz ，求|az1+bz2+cz3|的值。 三、(满分 50 分) 给定正整数 n，已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可 以称出质量为 1,2,3,n 克的所有物品。 （1）求 k 的最小值 f(n)； A B C D E F G （2）当且仅当 n 取什么值时，上述 f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你 的结论。 1999 年全国高中数学联合竞赛答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B D B C 提示： 1.(C). 由题设， 1 1 n n qaa， 因此
8、， n b是公比为 3 q的等比数列. 2.(A) 由21|1| 22 yx,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0， -1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有 16 个. 3.(B) 记 f(t)= t t 3log3log 52 ，则 f(t)在 R 上是严格增函数.原不等式即 f(x)f(-y). 故 x-y，即 x+y0. 4.(D). 易知命题不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直 线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题 也不正确. 5.(B) 设这三名选手之间的比赛场数是 r，共 n 名选
9、手参赛.由题意，可得 506 2 3 rCn，即 2 43nn =44+r.由于 0r3，经检验可知，仅当 r=1 时， n=13 为正整数. 6.(C) 设 B(t 2,2t),C(s 2,2s),st,s1,t1， 则直线 BC 的方程为， 化得 2x-(s+t)y+2st=0. 由于直线 BC 过点(5，-2)，故 2 5-(s+t)(-2)+2st=0，即(s+1)(t+1)= - 4. 因此， 1 11 4 st kk ACAB ,所以，BAC=90，从而ABC 是直角三角形. 二、填空题 题号 7 8 9 10 11 12 答案 6 5 64 43 提示：7. 6. 首项为 a 为
10、的连续 k 个正整数之和为 2 1 2 12 kkkka Sk 由 Sk2000，可得 60k62. 当 k=60 时，Sk=60a+3059，由 Sk2000，可得 a3，故 Sk=1830,1890,1950； 当 k=61 时，Sk=61a+3061，由 Sk2000，可得 a2，故 Sk=1891，1952； 当 k=62 时，Sk=62a+3161，由 Sk2000，可得 a1，故 Sk=1953. 于是，题中的 n 有 6 个. 8. 4 z 的辐角主值 argz=arg(12+5i) 2 (239-i) =arg(119+120i) (239-i) =arg28561+28561
11、i= 4 9. . 10.记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为 a、b、c，离心率为 e，点 P 到右准线 l 的距离为 d，则 a=4, b=3, c=5, ,右准线 l 为. 如果 P 在双曲线右支，则 |PF1 |=|PF2 |+2a=ed+2a. 从而，|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a2d， 这不可能；故 P 在双曲线的左支，则 |PF2|PF1|=2a , |PF1|+|PF2|=2d. 两式相加得 2|PF2|=2a+2d. 又|PF2|=ed,从而 ed=a+d. 故16 1 e a d. 因此，P 的横坐标为 5 64 2 d c a x. 11. 43
12、 设倾斜角为 ，则 tg=-0.不妨设 a0，则 b0, sin=f(0)0. (1) 取 x (0，1)，由于 xxxxxf1cossin12， 所以， 0xf恒成立，当且仅当 01cossin2 (2 ) 先在0,2中解(1)与(2)：由 cos0,sin0，可得 00,sin =f(0)0. (1) 取 x0= (0， 1)， 则 由 于 +2x(1-x)， 所 以 ， 00 (2) 反 之 ， 当 (1)， (2)成 立 时 ， f(0)=sin 0， f(1)=cos 0， 且 x (0， 1)时 ， f(x) 2x(1-x)0 先 在 0,2 中 解 (1)与 (2)： 由 cos
13、 0,sin 0， 可 得 0 , sin2 , sin2 , 注 意 到 02 ， 故 有 2 , 所 以 ， . 因 此 ， 原 题 中 的 取 值 范 围 是 2k + 2k + ,k Z 14. 记椭圆的半长轴、 半短轴、 半焦距分别为a、 b、 c， 离心率为e.则a=5,b=4,c=3,e= 5 3 ， 左准线为 x= 3 25 , 过点 B 作左准线 x= 3 25 的垂线， 垂足为 N， 过 A 作此准线的垂线， 垂足为 M.由椭圆定义，|BN|= 3 5 |BF| . 于是，|AB|+ 3 5 |BF|=|AB|+|BN|AM|(定值)，等号成立当且仅当 B 是 AM 与椭圆
14、的 交点时，此时 B( 2 35 ，2) , 所以，当|AB|+ 3 5 |BF|取最小值时，B 的坐标为( 2 35 ， 2). 15. 设公差为 d, 1n a=,则 S= 1221 nnn aaa =(n+1)+ 2 1nn d. 故 . 则 因 此 |S|(n+1)， 且 当 =,d= 时 ， S=(n+1)+ =(n+1) =(n+1) 由 于 此 时 4 =3nd,故 所 以 ， S 的 最 大 值 为(n+1) 19991999 年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准 一 、 解 析 ： 连 结BD交AC于H 对 BCD用 塞 瓦
15、 定 理 ， 可 得 因 为 AH 是 BAD 的 平 分 线 ， 由 角 平 分 线 定 理 ， 可 得 故 过 点 C 作 AB 的 平 行 线 AG 的 延 长 线 于 I， 过 点 C 作 AD 的 平 行 线 交 AE 的 延 长 线 于 J 则 . 所 以 ， 从 而 ， CI=CJ. 又 因 为 CI AB， CJ AD， 故 ACI= - ABC= - DAC= ACJ 因 此 ， ACI ACJ 从 而 ， IAC= JAC， 即 GAC= EAC 二 、 解 析 ： 记 e i =cos +isin 可 设 ， 则 )( 3 1 i e z z 由 题 设 ， 有 e i
16、+e i +e - i ( + )=1. 两 边 取 虚 部 ， 有 0=sin +sin -sin( + ) 故 =2k 或 =2k 或 + =2k ， k Z 因 而 ， z1=z2或 z2=z3或 z3=z1 如 果 z1=z2， 代 入 原 式 即 故 这 时 ， |az1+bz2+cz3|=|z1|a+bci| = 类 似 地 ， 如 果 z2=z3,则 |az1+bz2+cz3|=; 如 果 z3=z1,则 |az1+bz2+cz3|= 所 以 ， |az1+bz2+cz3|的 值 为 或 或 三 、 解 析 ： (1)设 这 k 块 砝 码 的 质 量 数 分 别 为 a1,a2
17、, ,ak， 且 1 a1 a2 ak， ai Z， 1 i k 因 为 天 平 两 端 都 可 以 放 砝 码 ， 故 可 称 质 量 为 xiai,xi -1， 0， 1 若 利 用 这 k 块 砝 码 可 以 称 出 质 量 为 1， 2， 3， ,n 的 物 品 ， 则 上 述 表 示 式 中 含 有 1， 2， ， n， 由 对 称 性 易 知 也 含 有 0， -1， -2， ， -n， 即 xiai|xi -1， 0， 1 0,1， ， n 所 以 ， 2n+1=| 0， 1， ， n | |xiai|xi -1， 0， 1 | 3 k， 即 n 设 n (m 1,m Z)， 则
18、 k m 且 k=m 时 ， 可 取 a1=1,a2=3, ,am=3 m - 1 由 数 的 三 进 制 表 示 可 知 ， 对 任 意 0 p 3 m-1,都 有 p= yi3 i - 1， 其 中 yi 0， 1， 2 则 p-=yi3 i - 1- 3 i - 1= (yi-1)3 i - 1 令 xi=yi-1， 则 xi -1， 0， 1 故 对 一 切 -l 的 整 数l， 都 有l=xi3 i - 1 ,其 中 x i -1， 0， 1 由 于 n， 因 此 ， 对 一 切 -nl n 的 整 数l， 也 有 上 述 表 示 综 上 ， 可 知 k 的 最 小 值 f(n)=m
19、(n) . (2) .当n3 时 ， 由 (1)可 知 1， 3， ， 3 m - 1， 3m 就 是 一 种 砝 码 的 组 成 方 式 下 面 我 们 证 明 1， 3， ， 3 m - 1,3m-1 也 是 一 种 方 式 若 1l ， 由 (1)可 知 l=xi3 i - 1， x i -1， 0， 1 则 l=xi3 i - 1+0(3m-1)； 若 l n3 ， 则 l+1 由 (1)可 知 l+1=， 其 中 xi -1， 0， 1 易 知 xm + 1=1 (否 则l3 i - 1-1= -1,矛 盾 )则 l=(3 m -1) 所 以 ， 当 n时 ， f(n)块 砝 码 的
20、 组 成 方 式 不 惟 一 .下 面 我 们 证 明 ： 当 n=时 ， f(n)=m 块 砝 码 的 组 成 方 式 是 惟 一 的 ， 即 ai=3 i - 1(1 i m) 若 对 每 个 -l,都 有l=xiai， xi -1， 0， 1 即 xiai|xi -1， 0， 1 0,1， ， 注 意 左 边 集 合 中 至 多 有 3m 个 元 素 故 必 有 xiai|xi -1， 0， 1 = 0,1， ， 从 而 ， 对 每 个l， -l ,都 可 以 惟 一 地 表 示 为 l=xiai， 其 中 xi -1,0,1 因 而 ，ai= 则 (xi+1)ai=xiai+ai=xi
21、ai+ 令 yi=xi+1,则 yi 0， 1， 2 由 上 可 知 ， 对 每 个 0l 3 m-1， 都 可 以 惟 一 地 表 示 为 l=yiai， 其 中 yi 0， 1， 2 特 别 地 ， 易 知 1 a1a2 am 下 面 用 归 纳 法 证 明 ai=3 i - 1 (1 i m) 当 i=1 时 ， 易 知yiai中 最 小 的 正 整 数 是 a1,故 a1=1 假 设 当 1 i p 时 ， ai=3 i - 1 由 于yiai=yi3 i - 1, y i 0， 1， 2 就 是 数 的 三 进 制 表 示 ， 易 知 它 们 正 好 是 0，1，2， ,3 p-1，故 a p + 1应 是 除 上 述 表 示 外yiai|yi 0,1,2 中 最 小 的 数 ， 因 此 ， ap + 1=3 p 由 归 纳 法 可 知 ， ai=3 i - 1(1 i m) 综 合 ， 可 知 ，当 且 仅 当 n=时 ，上 述 f(n)块 砝 码 的 组 成 方 式 是 惟 一 确 定 的
