1、 秘密启用前【考试时间：6 月 9 日 15：0017：00】 昆明市 2020 届“三诊一模”高考模拟考试 理科数学 注意事项： 1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核 准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码 2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡交回 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符合题目 要求的 1在复平面内，复数 2 1 i z i 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合2, 1,0,1,2A ， 2|BbbA，则AB （ ） A2, 1,0 B1,0,1 C 2,0,2 D0,1,2 3已知一家便利店从 1 月份至 5 月份的营业收入与成本支出的折线图如下： 关于该便利店 1 月份至 5 月份的下列描述中，正确的是（ ） A各月的利润保持不变 B各月的利润随营业收入的增加而增加 C各月的利润随成本支出的增加而增加 D各月的营业收入与成本支出呈正相关关系 4已知点(1, 3)P在双曲线 22 22 1(0,0) xy
3、 ab ab 的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ） A 2 3 3 B3 C2 D4 5已知点cos10 ,sin10A ，cos100 ,sin100B，则AB （ ） A1 B2 C3 D2 6如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ） A216 B108 C54 3 D36 7材料一：已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为()()()Sp pa pb pc，其中 2 abc p 这个公式被称为海伦-秦九韶公式 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在圆锥曲线论中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点 1 F， 2 F 的
4、距离的和等于常数（大于 12 FF）的点的轨迹叫做椭圆 根据材料一或材料二解答：已知ABC中，4BC ，6ABAC，则ABC面积的最大值为（ ） A5 B3 C2 5 D6 8已知函数( ) 2sin()(0)f xx 的图象向左平移 2 个单位后与 f x的图象重合，则的最小值 为（ ） A8 B4 C2 D1 9如图 1，已知PABC是直角梯形，ABPC，ABBC，D在线段PC上，AD PC将PAD沿 AD折起，使平面PAD 平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图 2对于图 2，下列选 项错误的是（ ） A平面PAB 平面PBC BBC 平面PDC CPDAC D 2PBAN
5、 10已知F为抛物线 2 2(0)xpy p的焦点，点P为抛物线上一点，以线段PF为直径的圆与x轴相切 于点M，且满足| |MFPM，| 2PF ，则p的值为（ ） A4 B3 C2 D1 11已知函数 22 1 ( )444 2 x f xexxk xx，2x是 f x的唯一极小值点，则实数k的取值 范围为（ ） A 2, e B 3, e C 2, e D 3, e 12在ABC中， 2 A ，2ABAC，有下述四个结论： 若G为ABC的重心，则 11 33 AGABAC 若P为BC边上的一个动点，则()APABAC为定值 2 若M，N为BC边上的两个动点，且 2MN ，则AM AN 的最
6、小值为 3 2 已知P为ABC内一点，若1BP ，且APABAC，则3的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 二、填空题：本題共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若 525 0125 (21)xaa xa xa x，则 1 a _ 14若“ 0 xR， 2 0 ln10xa”是真命题，则实数a的取值范围是_ 15在ABC中，4AB ，3BC ， 6 B ，D在线段AB上，若ADC与BDC的面积之比为 3:1，则CD_ 16某校同时提供A、B两类线上选修课程，A类选修课每次观看线上直播 40 分钟，并完成课后作业 20 分钟，可获得积分 5 分；B类选修课每次
7、观看线上直播 30 分钟，并完成课后作业 30 分钟，可获得积分 4 分每周开设 2 次，共开设 20 周，每次均为独立内容，每次只能选择A类、B类课程中的一类学习当选 择A类课程 20 次，B类课程 20 次时，可获得总积分共_分如果规定学生观看直播总时间不得 少于 1200 分钟，课后作业总时间不得少于 900 分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共 _分 （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分
8、 17 （12 分） 已知数列 n a为正项等比数列， n S为 n a的前n项和，若 3 21S ， 231 6aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）从三个条件： 3 n n n a b ；2 nn ban； 2 log 3 n n a b 中任选一个作为已知条件，求数列 n b的 前n项和 n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分） 已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 4 的正方形，PAD为正三角形，M是PC的中点，过 M的平面平行于平面PAB，且平面与平面PAD的交线为ON，与平面ABCD的交线为OE （1）在图中作出四边形MNOE（不
9、必说出作法和理由） ； （2）若 2PCAB ，求平面与平面PBC形成的锐二面角的余弦值 19 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 左焦点为 1( 1,0) F ，经过点 1 F的直线l与圆 22 2:( 1)8Fxy相交 于P，Q两点，M是线段 2 PF与C的公共点，且 1 |MFMP （1）求椭圆C的方程； （2）l与C的交点为A，B，且A恰为线段PQ的中点，求 2 ABF的面积 20 （12 分） 近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业某高校毕业生小张 自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售为了做好苹果的品控，小张从
10、自己果园的苹果树上，随 机摘取 150 个苹果测重（单位：克） ，其重量分布在区间100,400内，根据统计的数据得到如图 1 所示的 频率分布直方图 （1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了 30 个苹果，求这 30 个苹果中重量在 (300,400内的个数X的数学期望； （2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福 袋的游戏该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子， ，每次抛掷的结果为 1 或 2，且这两种结果 的概率相同；从出发格（第 0 格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图 2 所示的路径向前行进一次， 若掷
11、出 1 点，即从当前位置向前行进一格（从第k格到第1k格，kN） ，若掷出 2 点，即从当前位置向 前行进两格（从第k格到第2k 格，kN） ，行进至第 3l 格（获得福袋）或第 32 格（谢谢惠顾） ，游戏 结束设买家行进至第i格的概率(0,1,2,32) i p i ， 0 1p （）求 1 p、 2 p，并写出用 2i p 、 1i p 表示(2,3,31) i p i 的递推式； （）求 32 p，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家 21 （12 分） 已知( )sinf xx，( )lng xx， 2 ( )1h xxax （1）若10,x，证明：
12、( )(1)f xg x； （2）对任意0,1x，都有 ( ) e( )( )0 f x h xg x，求整数a的最大值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选 的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l过点1,0P，倾斜角为a以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线C的极坐标方程 2 sin2cos （1）写出直线l的参数方程及曲线C的直角坐标方程； （2）若l与C相交于A，B两点，M为线段AB的中点，且 2 | 3 PM ，求sin 23选
13、修 4-5：不等式选讲（10 分） 设函数( )lg(|1|2|)f xxxa （1）当5a时，求函数 f x的定义域； （2）设( ) |1|2|g xxxa，当 2,1x 时，( ) |2 |g xxa成立，求a的取值范围 昆明市 2020 届“三诊一模”高考模拟考试 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D C B B C B A C D A 二、填空题 1310 140,) 151 16180 190 三、解答题： 17解： （1）因为： 231 6aaa，所以 2 111 6a qa qa，故： 2 60qq
14、， 解得：2q 或3q （舍去） ，故2q 3 分 由： 3 21S ，得： 2 1 121aqq，将2q 代入得： 1 3a ， 所以数列 n a的通项公式为： 1 3 2n n a ； 6 分 （2）选择 3 n n n a b ： 1 1 3 22 333 n n n n nn a b ， 数列 n b是首项为 1 1b ，公比为 2 3 的等比数列， 8 分 所以 2 1 23 3 1 2 3 1 3 n n n T ， 12 分 选择2 nn ban： 1 23 22 n nn bann ， 8 分 所以 2 3 1 2 (22 ) 321 1 22 n n n nn Tnn 12
15、分 选择 2 log 3 n n a b ： 1 1 222 3 2 logloglog 21 33 n n n n a bn ， 数列 n b是首项为 0，公差为 1 的等差数列 8 分 所以 (1) 2 n n n T 12 分 18解： 解： （1）如图，四边形MNOE即为所求，其中N为PD中点，O为AD中点，E为BC中点； 5 分 （2）连接OP，依题意： 22PCDCPD ， 所以 222 PCDCPD，则DCPD， 又因为DCAD且PDADD， 所以DC 平面PAD，则DCPO， 因为PAD为正三角形且O为AD中点， 所以PO平面ABCD， 则POOA，POOE，OAOE， 以O为
16、原点建立如图坐标系Oxyz， 7 分 因为4AB ，所以(2,4,0)B，(0,4,0)E，( 1,0, 3)N ，( 1,2, 3)M ， 则(0,2,0)NM ，(1,2,3)ME ，(2,0,0)EB ， 8 分 设平面的一个法向量为 111 ,mx y z，则 1 111 20 230 y xyz ，解得( 3,0,1)m ， 9 分 设平面NME的一个法向量为 222 ,nxy z， 则 2 222 20 230 x xyz ，解得(0, 3,2)n 10 分 则 27 cos, 7|2 7 m n m n m n ， 所以平面与平面PBC形成的锐二面角的余弦值为 7 7 12 分
17、19 解： （1）由圆 22 2:( 1)8Fxy可得 2 2 2PF ， 1 分 因为 1 |MFMP， 所以 1222 2|2 2aMFMFMPMFPF， 即 2a ，又1c，故1b， 4 分 所以椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 6 分 （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y， A为线段PQ的中心，则 12 AFAF， 8 分 所以 22 1 211 10AFAFxy ，又 2 2 1 1 1 2 x y， 解得 1 0x ， 1 1y ， 若 1 1y ，则(0,1)A，直线l的方程为1yx， 由 2 2 1 1 2 yx x y ，解得 2 2 4 3 1 3 x y
18、 ，即 41 , 33 B ， 所以 2 ABF的面积 1212 1144 2 2233 SFFyy 若1y ，同理可求得 2 ABF的面积 4 3 S 综上， 2 ABF的面积为 4 3 12 分 20解： （1）由图可知，苹果的重量在300,400内的频率为：(0.00360.002) 500.28 一顾客从该果园购买的 30 个苹果中重量在300,(400内的个数为X，则(30,0.28)XB，所以 ()30 0.288.4E X （个） （2） （i）买家要行进至第 1 格的情况只有一种：买家第一次抛掷骰子，结果为 1，行进至第一格，其概率 为 1 2 ，则 1 1 2 p ； 5 分
19、 买家要行进至第 2 格的情况有以下两种： 当前格在第 0 格，第一次抛掷骰子，结果为 2，行进至第 2 格，其概率为 1 2 ； 当前格在第 1 格，第二次抛掷骰子，结果为 1，行进至第 2 格，其概率为 111 224 ； 所以 2 113 244 p 6 分 买家要行进至第i格(0,1,2,31)i 的情况有以下两种： 当前格在第2i格，抛掷一次骰子，结果为 2，行进至第i格，其概率为 2 1 2 i p ； 当前格在第1i格，抛掷一次骰子，结果为 1，行进至第i格，其概率为 1 1 2 i p ； 所以 12 11 22 iii ppp (0,1,2,31)i 8 分 （ii）由（i）
20、得， 112 1 2 iiii pppp ，即 1 12 1 2 ii ii pp pp (0,1,2,31)i ， 所以数列 1ii pp(0,1,2,31)i 是首项为 10 1 2 pp ，公比为 1 2 的等比数列 所以 1 1 2 i ii pp (0,1,2,31)i ， 所以 112100iiiii pppppppp 1 111 1 222 ii 1 1 1 11 2 21 1 132 1 2 i i ， 即 1 21 1 32 i i p (0,1,2,31)i 所以买家行进至第 31 格（获得福袋）的概率为 3232 31 2121 11 3232 p ； 又买家行进至第 3
21、2 格（谢谢惠顾）的概率为 3131 3230 112111 11 223232 pp ， 由于 323130 3132 211111 1110 323232 pp ， 所以买家行进至第 31 格的概率大于行进至第 32 格的概率，即小张网店推岀的此款游戏活动是更有利于买 家 12 分 21解： （1）设( )sinln(1)(01)F xxxx，则 1 ( )cos 1 F xx x ， 注意到(0)0 F ，因为0,1x， 因为 2 1 ( )sin (1) Fxx x ， 则( )Fx 在0,1单调递减，所以 1 ( )(1)sin10 4 FxF，( )(0)10FxF ， 所以存在唯
22、一零点 0 (0,1)x ，使得 0 0Fx， 则 Fx 在 0 0,x时单调递增，在 0,1 x上单调递减， 又 11 (1)cos1cos0 223 F ，(0)0 F ， 所以(0)0 F 在0,1上恒成立，所以 F x在0,1上单调递增， 则( )(0)0F xF，即( )0F x 所以( )(1)f xg x 6 分 （2）因为对任意的0,1x，不等式 ( ) ( )( )0 f x eh xg x， 即 sin2 1 ln0 x exaxx 恒成立， 令1x ，则 sin1 ea， 由（1）知sin1ln2，所以 ln2sin11 23eee， 由于a为 sin2 1 ln0 x
23、exaxx 整数，则2a， 9 分 因此 sin2sin2 1 ln21 ln xx exaxxexxx 下面证明 sin2 ( )21 ln0 x H xexxx 在区间(0,1恒成立即可 由（1）知sinln(1)xx，则 sin 1 x ex， 故 22 ( )121 lnlnH xxxxxxxx ， 设 2 ( )lnG xxxx，(0,1x，则 1(21)(1) ( )210 xx G xx xx ， 所以 G x在(0,1上单调递减， 所以( )(1)0G xG，所以 0H x 在(0,1上恒成立 综上所述，a的最大值为 2 12 分 22解： （1）直线l的参数方程为 1cos
24、, sin, xt yt （t为参数） ， 3 分 曲线C的直角坐标方程为 2 2yx 5 分 （2）将 1cos , sin , xt yt 代入 2 2yx整理得： 22 sin2 cos20tt ， 设 1 t， 2 t分别为A，B对应的参数，则 12 2 2cos (sin0) sin tt ， 7 分 因为M为线段AB的中点，所以 12 2 |cos|2 | 2sin3 tt PM ， 解得 2 3 sin 4 ，因为0，从而 3 sin 2 10 分 23解： （1）当5a时，要使函数 f x有意义，需满足|1|2| 50xx ， 2, |1|2| 50 260, x xx x 或 21, 20, x 或 1, 240, x x 3 分 3x或2x 所以函数的定义域为(, 3)(2,) 5 分 （2）当 2,1,|1|2|2 |xxxaxa 成立， 即3 |2 |axa成立，所以3a且323axaa ， 可得13 3 x ax ，而 2,1x ， 52 1, 333 x ，31,4x ， 所以a的取值范围是 2 ,1 3
