1、直线与平面垂直直线与平面垂直问题情境问题情境如何定义一条直线与一个平面垂直？如何定义一条直线与一个平面垂直？ABB1C1过点过点B B的直线的直线 不过点不过点B B的直线的直线B B1 1C C1 1B1C1ABAB与平面内任意一条与平面内任意一条垂直垂直任意一条直线任意一条直线 你认为直线与平面垂直该怎样定义才恰当？你认为直线与平面垂直该怎样定义才恰当？lP 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的内的任意一条直线任意一条直线都垂直，都垂直，我们说我们说直线直线 l 与平面与平面 互相垂直互相垂直，记作记作 l平面平面 的垂线的垂线直线直线 l 的垂面的垂面垂足垂足线面垂直线面垂直 线线垂
2、直线线垂直由定义知：由定义知：建构数学建构数学Pl注：画直线与平面垂直时，要把直线画成和表 示平面的平行四边形横边垂直。2.,()lblb 1.1.如果一条直线如果一条直线 l 和一个平面内的和一个平面内的无数条无数条直线都垂直线都垂直，则直线直，则直线 l 和平面和平面 互相垂直互相垂直.（）ll1、直线和平面垂直的定义、直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这条直线和这个平面垂直这个平面垂直.其中直线叫做其中直线叫做平面的垂线平面的垂线，平面叫，平面叫
3、做做直线的垂面直线的垂面.交点叫做交点叫做垂足垂足.A A平面的垂线平面的垂线直线的直线的垂面垂面垂足垂足过空间一点有几条直线和已知平面垂直？过空间一点有几条直线和已知平面垂直？想一想想一想答：答：有且只有一条有且只有一条A.点点A A到平面到平面 的距离的距离A.B Aa过空间一点有几个平面与已知直线垂直？过空间一点有几个平面与已知直线垂直？aA答：答：有且只有一个有且只有一个想一想想一想4.常用结论：常用结论：若直若直线线l垂直平面垂直平面,直直线线a a在平面在平面内内,则则la a(3)(3)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(4)(4)过一点有且
4、只有一个平面与已知直线垂直过一点有且只有一个平面与已知直线垂直al laal l（2）若直线若直线l垂直平面垂直平面内任意直线内任意直线,则直线则直线l垂直平面垂直平面。a是是内任一条直线内任一条直线5.点到平面的距离点到平面的距离:过平面外一点过平面外一点A向平面向平面 引垂线，则点引垂线，则点A和垂足和垂足B之间的之间的距离叫做点距离叫做点A平面平面 的距离。的距离。AB若若 那么直线那么直线 吗？吗？例例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。已知：已知：a/b，a 求证；求证
5、；b ab证明：设证明：设m是是 内的任意一内的任意一 条直线条直线mmamambba/bm说说 明明本题结论可直接用来判定线面垂直，作判定定理本题结论可直接用来判定线面垂直，作判定定理用用/abab，提出问题提出问题:H G F E D C B A假设书有无数页假设书有无数页,竖竖立在桌面上立在桌面上,书脊所书脊所在直线与桌面给人在直线与桌面给人以垂直的印象以垂直的印象.思考思考 书脊所在直线和各页面与桌面书脊所在直线和各页面与桌面的交线的位置关系的交线的位置关系?书脊所在直线与桌面中任意书脊所在直线与桌面中任意一条的位置关系一条的位置关系?垂直垂直垂直垂直m问题问题:如图如图，使使书脊书脊
6、AB与与桌面垂直，可否将若干书桌面垂直，可否将若干书页取掉，但至少保留几页？页取掉，但至少保留几页？三定理探索三定理探索 H G F E D C B A F E B A猜想：猜想：如果一条直线和平面如果一条直线和平面内内两相交直线两相交直线都垂直，那么都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面这条直线就垂直于这个平面两页 如果一条直线和一个平面内的如果一条直线和一个平面内的两条相交直线两条相交直线垂直，那么这条垂直，那么这条直线垂直于这个平面直线垂直于这个平面。2 2、线面垂直的判定定理、线面垂直的判定定理mnaAma na Amnnma建构数学线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直线不在多，线不在多，
7、相交相交则行则行二、直线和平面垂直的判定定理二、直线和平面垂直的判定定理1 定理：定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。直，那么这条直线就垂直于这个平面。3 符号语言：符号语言：2 图形语言：图形语言：aAnmmnmnAaaman，4 线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直强调强调:(1)两条相交直线两条相交直线;(2)要判断一条直线与一个平面是否垂直要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直两条相交直线和已知直线垂直.练习：判断下列命题是否真命题判断下列
8、命题是否真命题 (1)(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就垂直如果一条直线垂直于一个平面，那么它就垂直于这个平面内的任何一条直线。于这个平面内的任何一条直线。(2)(2)一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么它就垂直于这个平面。么它就垂直于这个平面。(3)(3)一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么它垂直于这个平面。么它垂直于这个平面。(4)(4)过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个(5)(5)过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条。过一点和一个平面垂直的直
9、线有且只有一条。【例例1】已知已知 是平行四边形是平行四边形 两对角线的交两对角线的交点，点，且且 .求证：求证：oABCDPABCD平面，PA PC PBPD，POABCD平面PODCBA四四.典例分析典例分析.例例2.求求证证:与与三角形的三角形的两边两边同同时时垂直的直垂直的直线线必必与与第第三三边边垂直垂直.ABCl已知已知:如图如图,aAC,aBC,aAC,aBC,求证求证:aABaAB.证明证明:aAC,aBC,AC:aAC,aBC,ACBCBC=C.=C.aa面面ABC.ABAB面面ABC,aABaAB.思考思考:此例为此例为”线线垂直线线垂直”的判断提供了一种什么方法？的判断提
10、供了一种什么方法？如果已知一直线垂直于一平面如果已知一直线垂直于一平面,你能得你能得到一些什么结论到一些什么结论?如果两条直线都垂直于一个平面呢如果两条直线都垂直于一个平面呢?ab如图，若 b,/.aab设设b与与a不平行不平行.bo三、三、直线和平面垂直的性质定理直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。,.a/b,b.ob,b.,b/a.bo boaa设是经过点 与直线 平行的直线经过同一点 的两条直线都垂直于平面 是不可能的因此.【例【例3】已知直线已知直线 平面平面/l求证：直线求证：直线 上各点到平面上
11、各点到平面 的距离相等。的距离相等。lABAB 如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。练习、在空间，下列命题练习、在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行；）平行于同一直线的两条直线互相平行；（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；）平行于同一平面的两条直线互相平行；（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。）垂直于同一平面的两条直线互相平行。正确的是（正确
12、的是（）A.(1)(3)(4)B.(1)(4)C.(1)D.四个命题都正确。四个命题都正确。例例2：已知：空间四边形，：已知：空间四边形，连接，连接求证：求证：BDCAO练习：练习：在正方体在正方体ABCD-ABCD中中求证：求证：BD平面平面ACCA.ADBBCDCA O C B A P练习练习2.如图如图,PA垂直于圆垂直于圆O所在面所在面,AB是圆是圆O的直径的直径,C是圆周上一点是圆周上一点,那么图那么图中有几个直角三角形中有几个直角三角形?焦点焦点:PBCPBC是不是是不是直角三角形直角三角形?答案：个答案：个例例2.2.如图如图,已知已知:l,l,PAPA于于,PB,PB于于B,A
13、QB,AQl l于于Q,Q,求证求证:BQ:BQl l.l Q B A P六课堂小结六课堂小结线面垂直线面垂直线线线线垂直垂直线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理注意：注意：要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条至于这两条相交直线与已知直线是否有公共点，无关紧要。相交直线与已知直线是否有公共点，无关紧要。4.过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直个平面和已知直
14、线垂直5、点到平面的距离及直线到平面的距离、点到平面的距离及直线到平面的距离小结小结直线与平面直线与平面垂直的判定垂直的判定定义法定义法间接法间接法直接法直接法 如果两条如果两条平行直线中的平行直线中的一条垂直于一一条垂直于一个平面，那么个平面，那么另一条也垂直另一条也垂直于同一个平面。于同一个平面。如果一条直线垂于一个如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线平面内的任何一条直线此直线垂直于这个平面此直线垂直于这个平面判定定理判定定理 如果一条直如果一条直线垂直于一个线垂直于一个平面内的平面内的两条两条相交相交直线，那直线，那么此直线垂直么此直线垂直于这个平面。于这个平面。引入引入 PP1QP
15、Q呢呢?PQ是平面是平面的斜线，的斜线，Q叫斜足。叫斜足。与一个平面相交，但不和这个平面垂直的直线叫与一个平面相交，但不和这个平面垂直的直线叫这个平面的斜线这个平面的斜线P1Q呢呢?过平面外一点过平面外一点P向平面向平面引斜线和垂线，引斜线和垂线，那么过斜足那么过斜足Q和垂足和垂足P1的直线就是斜线在平面内的正投影的直线就是斜线在平面内的正投影 （简称射影）（简称射影）11，垂足为PPP1叫做在平面 上的射影PQPQPO点点O称为点称为点P在平面在平面内的内的射影射影线段线段PO称为点称为点P到平面到平面的的垂线段垂线段（一）（一）点的射影点的射影新课新课 PABPA，垂足为，垂足为APB呢呢
16、?PB是平面是平面的斜线，的斜线，B叫斜足。叫斜足。与一个平面相交，但不和这个平面垂直的直线叫与一个平面相交，但不和这个平面垂直的直线叫这个平面的斜线这个平面的斜线AB呢呢?AB叫叫PB在平面在平面上的射影上的射影 过平面外一点过平面外一点P向平面向平面引斜线和垂线，引斜线和垂线，那么过斜足那么过斜足Q和垂足和垂足P1的直线就是斜线在平面内的正投影的直线就是斜线在平面内的正投影 （简称射影）（简称射影）表示什么？表示什么？PB与平面与平面所成的角所成的角直线与平面所成的角直线与平面所成的角1 1定义：定义：（1 1）直线和平面平行或直线在平面内）直线和平面平行或直线在平面内 直线与平面所成的角
17、是直线与平面所成的角是0 0度的角度的角（2 2）直线和平面垂直）直线和平面垂直 直线与平面所成的角是直角直线与平面所成的角是直角.（3 3）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角叫做这条直线和平面所成的角直线和平面成角的范围是直线和平面成角的范围是0 09090 1.点点P是是ABC所在平所在平面外一点，且面外一点，且P点到点到ABC三个顶点距离三个顶点距离相等，则相等，则P点在点在ABC所在平面上的射影是所在平面上的射影是ABC的的 心。心。PCBAO练习练习外外练习练习2.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正
18、确（1）两条平行直线在同一平面内的射影）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线一定是平行直线 （）（2）两条相交直线在同一平面内的射影）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线一定是相交直线 （）（3）两条异面直线在同一平面内的射影）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线要么是平行直线，要么是相交直线（）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等的射影长也相等 （）X XX XX XX X两个点两个点练习练习4.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？3.已知斜线段的长是它已知斜
19、线段的长是它在平面在平面上射影的上射影的2倍，倍，求斜线和平面求斜线和平面所成的所成的角。角。ABO 如图，斜线段如图，斜线段AB是其射影是其射影OB的两倍，求的两倍，求AB与平面与平面所成的角。所成的角。如果两条直线与一个平面所成的角相如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？等，它们平行吗？X X 5、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（）。）。A.平行平行 B.相交相交 C.平行或相交。平行或相交。6、在空间，下列命题在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行；）平行于同一直线的两条直线互相平行；（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；）平行于同一平面的两条直线互相平行；（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。）垂直于同一平面的两条直线互相平行。正确的是（正确的是（）A.(1)(3)(4)B.(1)(4)C.(1)D.四个命题都正确。四个命题都正确。CB练习练习例例3、如图，已知、如图，已知BAC在平面在平面内，内，P不在不在上，上，PAB=PAC，求证：点求证：点P在平面在平面上的射影在上的射影在BAC的平分线的平分线上PAB OEDC
