1、 高考总复习第12讲：直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率 学习目标 1理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2掌握过两点的直线斜率的计算公式；3能用公式和概念解决问题. 学习过程 一、课前准备复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 二、新课导学 学习探究新知1：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angle of inclination）.关键：直线向上方向；轴的正方向；小于平角的正角.注意:当直线与轴平行或
2、重合时,我们规定它的倾斜角为0度.试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为.试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为当时，则 ；当时，则 ；当时，则 ；当时，则 .新知3：已知直线上两点的直线的斜率公式：.探究任务三：1.已知直线上两点运用上述公式计算直线的斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？2当直线平行于轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？ 典型例题例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：；变式：已知直线的斜
3、率，求其倾斜角.；不存在例2 求经过两点的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角. 动手试试练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.；.练2画出斜率为且经过点的直线.练3判断三点的位置关系，并说明理由.三、总结提升 学习小结1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是.2.直线斜率的求法：利用倾斜角的正切来求；利用直线上两点的坐标来求；当直线的倾斜角时，直线的斜率是不存在的3直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：直线的倾斜角直线的斜率直线的斜率公式定 义取值范围 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好
4、 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列叙述中不正确的是（ ）.A若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B每一条直线都惟一对应一个倾斜角C与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或D若直线的倾斜角为，则直线的斜率为2. 经过两点的直线的倾斜角（ ）.A B C D3. 过点P(2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ).A.1 B.4 C.1或3 D.1或44. 直线经过二、三、四象限，的倾斜角为，斜率为，则为 角；的取值范围 .5 已知直线l1的倾斜角为1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角为_. 课后作业 1. 已知点，若直线l过点且与线段相交
5、，求直线l的斜率的取值范围.2. 已知直线过两点，求此直线的斜率和倾斜角. 3.2两直线平行与垂直的判定 学习目标 1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；2通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力；3通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣 学习过程 一、 课前准备：复习1：1已知直线的倾斜角，则直线的斜率为 ；已知直线上两点且，则直线的斜率为 .2.若直线过(2,3)和(6，5)两点，则直线的斜率为 ,倾斜角为 .3斜率为2的直线经过(3，5)、(a,
6、7)、(1,b)三点，则a、b的值分别为 .4已知的斜率都不存在且不重合，则两直线的位置关系 .5已知一直线经过两点，且直线的倾斜角为，则 .复习2：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?二、新课导学： 学习探究问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ，两直线位置关系是 .(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 ，两直线的位置关系是 .问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直设直线和的斜率为和.两条直线平行的情形如果，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知
7、1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立两条直线垂直的情形.如果，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即 典型例题例1 已知，试判断直线与的位置关系, 并证明你的结论.例2 已知三点，求点D的坐标，使直线，且.变式：已知，试判断三角形的形状. 动手试试练1. 试确定的值，使过点的直线与过点的直线平行； 垂直练2. 已知
8、点，在坐标轴上有一点，若，求点的坐标.三、总结提升： 学习小结：1或的斜率都不存在且不重合.2或且的斜率不存在，或且的斜率不存在. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（ ）.A若，则B若直线，则两直线的斜率相等C若直线、的斜率均不存在，则D若两直线的斜率不相等，则两直线不平行2. 过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）.A相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对3. 经过与的直线与斜率为的直线互助垂直，则值为（ ）.A B C D4. 已知三点在同一直线上，则的
9、值为 .5 顺次连结，所组成的图形是 . 课后作业 1. 若已知直线上的点满足，直线上的点满足，试求为何值时，；.2 已知定点，以为直径的端点，作圆与轴有交点，求交点的坐标. 3.2.1直线的点斜式方程 学习目标 1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 学习过程 一、 课前准备：复习1已知直线都有斜率，如果，则 ；如果，则 .2若三点在同一直线上，则的值为 .3已知长方形的三个顶点的坐标分别为，则第四个顶点的坐标 .4直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?二、新课导学： 学习
10、探究问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新知1：已知直线经过点，且斜率为，则方程为直线的点斜式方程.问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题3：轴所在直线的方程是 ，轴所在直线的方程是 .经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是 .经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是 .问题4：已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程. 新知2：直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距（intercept）.直线叫做直线的斜截式方程.注意：截距就是函数图象与轴交点的纵坐标.问题5：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出
11、什么结论. 典型例题例1 直线过点，且倾斜角为，求直线的点斜式和斜截式方程，并画出直线.变式：直线过点，且平行于轴的直线方程 ；直线过点，且平行于轴的直线方程 ；直线过点，且过原点的直线方程 .例2 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形： 斜率是，在轴上的距截是2； 斜角是，在轴上的距截是0 变式：已知直线的方程，求直线的斜率及纵截距. 动手试试练1. 求经过点，且与直线平行的直线方程.练2. 求直线与坐标轴所围成的三角形的面积.三、总结提升： 学习小结1.直线的方程：点斜式；斜截式；这两个公式都只能在斜率存在的前提下才能使用. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好
12、 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 过点，倾斜角为的直线方程是（ ）.ABCD2. 已知直线的方程是，则（ ）.A直线经过点，斜率为B直线经过点，斜率为C直线经过点，斜率为D直线经过点，斜率为3. 直线，当变化时，所有直线恒过定点（ ）.A B（3，1）C D4. 直线的倾斜角比直线的倾斜角大，且直线的纵截距为3，则直线的方程 .5. 已知点，则线段的垂直平分线的方程 . 课后作业 1. 已知三角形的三个顶点，求这个三角形的三边所在的直线方程.2. 直线过点且与轴、轴分别交于两点，若恰为线段的中点，求直线的方程. 3.2.3直线的一般式方程
13、学习目标 1.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. 学习过程 一、课前准备：复习1：已知直线经过原点和点，则直线的方程 .在轴上截距为，在轴上的截距为3的直线方程 .已知点，则线段的垂直平分线方程是 .复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？二、新课导学： 学习探究新知：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么
14、优点？问题4：在方程中，为何值时，方程表示的直线平行于轴；平行于轴；与轴重合；与重合. 典型例题例1 已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.例2 把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.变式：求下列直线的斜率和在轴上的截距，并画出图形；. 动手试试练1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： 斜率是，经过点； 经过点，平行于轴； 在轴和轴上的截距分别是； 经过两点.练2.设A、B是轴上的两点，点P的横坐标为2，且PAPB，若直线PA的方程为，求直线PB的方程三、总结提升： 学习小结1通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直
15、线方程的一般形式：（A、B不全为0）；2点在直线上 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1 斜率为，在轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）.A BC D2. 若方程表示一条直线，则（ ）. A BC D3. 已知直线和的夹角的平分线为，如果的方程是，那么的方程为（ ）.A BC D4. 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则 .5. 直线与直线平行，则 . 课后作业 1. 菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于轴和轴上，求菱形各边所在的直线的方程.2光线由点射出，在直线上进行
16、反射，已知反射光线过点，求反射光线所在直线的方程. 3.1两条直线的交点坐标 学习目标 1掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；2.体会判断两直线相交中的数形结合思想. 学习过程 一、课前准备：1经过点，且与直线垂直的直线 .2点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、新课导学： 学习探究问题1：已知两直线方程，如何判断这两条直线的位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ 典型例题例1 求下列两直线，的交点坐标.变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.，；，；，.
17、例2 求经过两直线和的交点且与直线平行的直线方程.变式：求经过两直线和的交点且与直线垂直的直线方程.例3 已知两点，求经过两直线和的交点和线段中点的直线的方程. 动手试试练1. 求直线关于直线对称的直线方程.练2. 已知直线的方程为，直线的方程为，若的交点在轴上，求的值.三、总结提升： 学习小结1两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.2直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B.
18、 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 两直线的交点坐标为（ ）.A B C D2. 两条直线和的位置关系是（ ）.A平行 B相交且垂直 C相交但不垂直 D与的值有关3. 与直线关于点对称的直线方程是（ ）.A BC D4. 光线从射到轴上的一点后被轴反射，则反射光线所在的直线方程 .5. 已知点，则点关于点的对称点的坐标 . 课后作业 1. 直线与直线的交点在第四象限，求的取值范围.2. 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上. 3.3.2两点间的距离 学习目标 1掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2通
19、过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题. 学习过程 一、课前准备：1直线，无论取任意实数，它都过点 .2若直线与直线的交点为，则 .3当为何值时，直线过直线与的交点?二、新课导学： 学习探究问题1：已知数轴上两点，怎么求的距离？问题2：怎么求坐标平面上两点的距离？及的中点坐标？新知：已知平面上两点，则.特殊地：与原点的距离为. 典型例题例1 已知点求线段的长及中点坐标.变式：已知点，在轴上求一点，使,并求的值. 动手试试练1.已知点，求证：是等腰三角形.练2.已知点，在轴上的点与点的距离等于13，求点的坐标.三、总结提升： 学
20、习小结1.坐标法的步骤：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；进行有关的代数运算；把代数运算结果“翻译”成几何关系. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 两点之间的距离为（ ）.A B C D 2. 以点为顶点的三角形是（ ）三角形. A等腰B等边C直角D以上都不是3. 直线20，4310和210相交于一点，则的值（ ）.A B C D4. 已知点，在轴上存在一点，使，则 .5. 光线从点M(2，3）射到轴上一点P(1，0)后被轴反射，则反射光线所在的直线的方程 . 课后
21、作业 1. 经过直线和3的交点，且垂直于第一条直线.2. 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上. 3.3点到直线的距离及两平行线距离 学习目标 1理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2会用点到直线距离公式求解两平行线距离3认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题 学习过程 一、课前准备：复习1已知平面上两点，则的中点坐标为 ，间的长度为 .复习2在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢?二、新课导学： 学习探究新知1：已知点和直线，则点到直线的距离为：.注意：点到直线的距
22、离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线方程中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢并画出图形来.例 分别求出点到直线的距离. 问题3：求两平行线：，：的距离.新知2：已知两条平行线直线，则与的距离为注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使的系数相等. 典型例题例1 已知点，求三角形的面积. 例2 求两平行线：，：的距离. 动手试试练1. 求过点，且到原点的距离等于的直线方程.练2求与直线平行且到的距离为2的直线方程.三、总结提升： 学习小结
23、1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1 求点到直线的距离（ ）A B C D2. 过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）.A. B.C. D.3. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）. A BC D4. 两条平行线3210和3x210的距离 5. 在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有 条. 课后作业 1已知正方形的中心为，一边所在直线的方程为，求其他三边所在的直线方程
24、.2两个厂距一条河分别为和，两厂之间距离，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供两厂用水，要使提水站到两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？ 3.3.3章未复习提高 学习目标 1 掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式；2 掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用；3 掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用. 学习过程 一、课前准备：复习知识点：一 直线的倾斜角与斜率1倾斜角的定义 ，倾斜角的范围 ，斜率公式 ，或 .二 直线的方程1 点斜式：2 斜截式：3 两点式：4 截距式：5 一般式：三 两直线的位置关系1 两直线平行2 两直线相交.两直线垂直，两直线相交3 两直线重合四 距离1 两点之间的距离公式 ，2 点线之间的距离公式 ，3 两平行直线之间的距离公式 . 课后作业 1. 点关于直线对称的点的坐标是（ ）.A B.C D2方程所表示的直线（ ）.A恒过定点 B恒过定点C恒过点和 D都是平行直线 3已知点到直线的距离等于1，则（ ）. A B C D或4已知在过和的直线上，则 .5 将直线绕点按顺时针方向旋转，所得的直线方程是 . 课后作业 1已知直线.若，试求的值；若，试求的值2两平行直线分别过点和，若与的距离为5，求两直线的方程；设与之间的距离是，求的取值范围.
