1、第十四章一次函数 八年级数学导学案1411变量与函数学习过程：问题一：一辆汽车以60千米小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时 请同学们根据题意填写下表：t/时12345ts/千米 在以上这个过程中，变化的量是_不变化的量是_ 试用含t的式子表示s_s=_t的取值范围是 这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程_随行驶时间_的变化过程问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元怎样用含x的式子表示y ? 请同学们根据题意填写下表：售出票数（张）早场150午场206晚场3
2、10x收入y (元)2在以上这个过程中，变化的量是_不变化的量是_试用含x的式子表示y_y=_x的取值范围是 这个问题反映了票房收入_随售票张数_的变化过程问题三：用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。设矩形的长为xm，面积为m2，怎样用含有x的式子表示呢？ 请同学们根据题意填写下表：长x（m）1234x面积s（m2）在以上这个过程中，变化的量是_不变化的量是_试用含x的式子表示s _x的取值范围是 这个问题反映了矩形的_ _ 随_ _的变化过程小结：以上这些问题都反映了不同事物的变化过程，其实现实
3、生活中还有好多类似的问题，在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的（如），有些量的数值是始终不变的（如）。得出结论： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为_； 在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为_；（一）观察探究：1、在前面研究的每个问题中，都出现了_个变量，它们之间是相互影响，相互制约的2、同一个问题中的变量之间有什么联系？（请同学们自己分析“问题一”中两个变量之间的关系，进而再分析上述所有实例中的两个变量之间是否有类似的关系）归纳：上面每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有_确定的值与其对应。3、其实，在一些用图或表格表达的问题中，也
4、能看到两个变量间有上述这样的关系我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：中国人口数统计表年份人口数亿19841034198911061994117619991252（1）下图是体检时的心电图其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？中国人口数统计表 （二）归纳概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定
5、的值与其对应，那么我们就说x是_，y是x的_如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的_举例说明：问题一问题二问题三自变量自变量的函数函数解析式【达标拓展】1、在男子1500米赛跑中，运动员的平均速度v= ，则这个关系式中变量是_、_，常量是_自变量是 ， 是 的函数,自变量的取值范围是 2、已知2x-3y=1，若把y看成x的函数，则可以表示为_其中变量是_、_，常量是_自变量是 ， 是 的函数,x的取值范围是 3、等腰ABC中，AB=AC，则顶角y与底角x之间的函数关系式为_其中变量是_、_，常量是_自变量是 ， 是 的函数,x的取值范围是 4、汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果
6、每小时耗油5升，则油箱内剩余油量升与行驶时间t小时的关系是_其中变量是_、_，常量是_自变量是 ， 是 的函数,t的取值范围是 1413函数的图象（一）【前置自学】1、小明的 爷爷吃过晚饭后，出门散步，再报亭看了一会儿报纸才回家，小明绘制了爷爷离家的路程s（米）与外出的时间t（分）之间的关系图（图二）（1）报亭离爷爷家_米；（2）爷爷在报亭看了_分钟报纸；（3）爷爷走去报亭的平均速度是_米分。 图二【达标拓展】1、一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是（）. 2、小红的爷爷饭后出去散步，从家中走
7、20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里.下面图形中表示小红爷爷离家的时间与外出距离之间的关系是（）14.1.3 函数图像（二）【前置自学】例1 画出函数yx2的图象 分析：要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些 自变量的值，并求出对应的函数值（x的取值一定要在它的取值范围内）解：（1）取x的自变量一些值，例如x=-3，-2，-1，0，1，2，3，。，并且计算出对应的函数值，为方便表达，我们列表如下：x。321 0 123。y。 。 由此，我们得到一系列的有序实数对：。，（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），
8、。（2）在直角坐标系中描出这些有序实数对的对应点（3）描完点之后，用光滑的曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象。这里画函数图象的方法我们称为_，步骤为： 。【展示交流】1、在所给的直角坐标系中画出函数y=x的图象（先填写下表，再描点、连线）.x-3-2-10123y2、画出下列函数的图像 （1） （2）14.1.3 函数图像（三）【前置自学】例1：拖拉机开始工作时，邮箱中有油30L，每小时耗油5L。（1） 写出邮箱中的余油量Q（L）与工作时间t（h）之间的函数关系式；（2） 求出自变量t的取值范围；（3） 画出函数图象；（4） 根据图像回答拖拉机工作2小时后，邮箱余油是多少？若余油1
9、0L，拖拉机工作了几小时？【展示交流】例2：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度。t / 时012345y / 米1010.510.1010.1510.2010.25（1） 由记录表推出这5小时中水位高度y（单位：米）岁时间t（单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图像；（2） 据估计按这种上涨规律还会持续上涨2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？【达标拓展】1、正方向边长为3，若边长增加x则面积增加y，则y随x变化的函数解析式为_，若面积增加了16 ，则变成增加了_；3、甲车速度为20米/秒，乙车速度为25米/秒，现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的
10、距离为y米，则y随x变化的函数解析式为_,自变量x的取值范围是_；4、某学校组织学生到炬力千米的博物馆无参观，小红因事没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去博物馆，车租车的收费标准如下：里程收费3千米及3千米以下7.003千米以上，每增加1千米2.00（1） 请写出出租车行驶的里程数x（千米）与费用y（元）之间的函数关系式；（2） 小红同学身上仅有14元钱，乘出租车到博物馆的车费够不够，请说明理由。14.2.1 正比例函数【学习目标】1、理解正比例函数的概念2、会画正比例函数的图像，理解正比例函数的性质。【学习重难点】1、理解正比例函数意义及解析式的特点2、掌握正比例函数图象的性质
11、特点。【前置自学】按下列要求写出解析式（1）一本笔记本的单价为2元，现购买x本与付费y元的关系式为_；（2）若正方形的周长为P，边长为a，那么边长a与周长p之间的关系式为_；（3）一辆汽车的速度为60 km / h ，则行使路程s与行使时间t之间的关系式为_；（4）圆的半径为r，则圆的周长c与半径r之间的关系式为_。一般地，形如 （k是常数，k0)的函数，叫做 ，其中k叫做比例系数。练习：1、下列函数钟，那些是正比例函数？_ （1） （2） （3） （4） （5）（6） （7） （8）2、关于x的函数是正比例函数，则m_【展示交流】画出下列正比例函数 （1） （2）x-2-1012yx-2-1
12、012y 比较上面两个图像，填写你发现的规律：（1）两个图像都是经过原点的 _，（2）函数的图像经过第_象限，从左到右_，即y随x的增大而_；（3）函数的图像经过第_象限，从左到右_，即y随x的增大而_；【合作探究】总结：正比例函数的解析式为_相同点图像所在象限图像大致形状增减性【达标拓展】1、关于函数，下列结论中，正确的是（ ）A、函数图像经过点（1，3） B、函数图像经过二、四象限C、y随x的增大而增大 D、不论x为何值，总有y02、已知正比例函数的图像过第二、四象限，则（ ）A、y随x的增大而增大 B、y随x的增大而减小C、当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减少；D、不论x如
13、何变化，y不变。3、当时，函数的图像在第（ ）象限。A、一、三 B、二、四 C、二 D、三4、函数的图像经过点P（-1，3）则k的值为（ ）A、3 B、3 C、 D、5、若A（1，m）在函数的图像上，则m=_，则点A关于y轴对称点坐标是_；6、若B（m，6）在函数的图像上，则m=_，则点A关于x轴对称点坐标是_；7、y与x成正比例，当x=3时，则y关于x的函数关系式是_8、函数的图像在第_象限，经过点（0，_）与点（1，_），y随x的增大而_9、一个函数的图像是经过原点的直线，并且这条直线经过点（1，-3），求这个函数解析式。14.2.2 一次函数（一）【学习目标】1. 理解一次函数的特点及意
14、义2. 知道一次函数与正比例的函数关系【学习重难点】1. 一次函数与正比例函数的关系2. 一次函数的结构特点。【前置自学】根据题意写出下列函数的解析式（1） 有人发现，在2025时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t（单位：）有关，即c的值约是t的7倍与35的差；_（2） 一种计算成年人标准体重G（单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得的差是G的值；_（3） 某城市的市内电话的月收费为y（单位：元）包括：月租22元，拨打电话x分的计时费（按0.1元/分收取）；_（4） 把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm2）随x的值而变化。_
15、一般地，形如（k，b是常数，）的函数，叫做一次函数，特别地，当时，即，即正比例函数是一种特殊的一次函数。【展示交流】1、 下列函数中，是一次函数的有_，是正比例函数的有_ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）2、若函数是正比例函数，则b = _3、在一次函数中，k =_，b =_4、若函数是一次函数，则m_5、在一次函数中，当时，_；当_时，。6、下列说法正确的是（ ）A、是一次函数 B、一次函数是正比例函数C、正比例函数是一次函数 D、不是正比例函数就一定不是一次函数7、仓库内原有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，则仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系式是_，
16、它是_函数。8、今年植树节，同学们中的树苗高约1.80米。据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米，则树高y与年数x之间的函数关系式是_，它是_函数，同学们在3年之后毕业，则这些树高_米。9、随着海拔高度的升高，大气压下降，空气的含氧量也随之下降，已知含氧量y与大气压强x成正比例，当x=36时，y=108，请写出y与x的函数解析式_，这个函数图像在第_象限，同时经过点（0，_）与点（1，_）14.2.2 一次函数（二）【学习目标】1、懂得画一次函数的图像，清楚知道一次函数之间的关系2、理解一次函数图像的性质，了解中的k，b对函数图像的影响【学习重难点】1.一次函数的图象的画法。2.一次
17、函数的图象特征与解析式联系。【前置自学】例1：在同一个直角坐标系中画出函数，的图像-2-1012y=2xy=2x+3y=2x-3【展示交流】 观察这三个图像，这三个函数图像形状都是_，并且倾斜度_。函数的图像经过原点，函数与y轴交于点_，即它可以看作由直线向_平移_个单位长度得到；同样的，函数与y轴交于点_，即它可以看作由直线向_平移_个单位长度得到。 猜想：一次函数的图像是一条_，当时，它是由向_平移_个单位长度得到；当时，它是由向_平移_个单位长度得到。 练习：1、 在同一个直角坐标系中，把直线向_平移_个单位就得到的图像；若向_平移_个单位就得到的图像。2、 （1）将直线向下平移2个单位
18、，可得直线_；（2）将直线向_平移_个单位可得直线。例2 ：分别画出下列函数的图像 （1） （2） （3） （4）分析：由于一次函数的图像是直线，所以只要确定两个点就能画出它，一般选取直线与x轴，y轴的交点。（1） （2） （3） （4）x0y0 观察上面四个图像，（1）经过_象限；y随x的增大而_，函数的图像从左到右_；（2）经过_象限；y随x的增大而_，函数的图像从左到右_；（3）经过_象限；y随x的增大而_，函数的图像从左到右_；（4）经过_象限；y随x的增大而_，函数的图像从左到右_。【合作探究】1、由此可以得到直线中，k ，b的取值决定直线的位置：（1）直线经过_象限；（2）直线经过
19、_象限；（3）直线经过_象限；（4）直线经过_象限；2、一次函数的性质：（1）当时，y随x的增大而_，这时函数的图像从左到右_；（2）当时，y随x的增大而_，这时函数的图像从左到右_；【达标拓展】1、一次函数的图像不经过（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、 第三想象限 D、 第四象限2、已知直线不经过第三象限，也不经过原点，则下列结论正确的是( )A、 B、 C、 D、3、下列函数中，y随x的增大而增大的是（ ）A、 B、 C、 D、4、对于一次函数，函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、5、一次函数的图像一定经过（ ）A、（3，5） B、（-2，3） C、（
20、2，7） D、（4、10）6、已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图像大致是（ ） 7、已知一次函数的图像经过点（0，1），且y随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式_8、已知一次函数图像（1）不经过第二象限，（2）经过点（2，-5），请写出一个同时满足（1）和（2）这两个条件的函数关系式：_14.2.2 一次函数（三）【学习目标】 学会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式【前置自学】例1：已知一次函数的图像经过点（3，5）与（2，3），求这个一次函数的解析式。分析：求一次函数的解析式，关键是求出k，b的值，从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组
21、，并求出k，b。解： 一次函数经过点（3，5）与（2，3） 解得一次函数的解析式为_ 像例1这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。【展示交流】1、已知一次函数，当x = 5时，y = 4，（1）求这个一次函数。 （2）求当时，函数y的值。2、已知直线经过点（9，0）和点（24，20），求这条直线的函数解析式。【合作探究】例2：已知一次函数的图象如图所示，求出它的函数关系式 练习：已知一次函数的图象如图所示，求出它的函数关系式例3：地表以下岩层的温度t（）随着所处的深度h（千米）的变化而变化，t与h之间在一定范围内近似地成一次函数关系
22、。深度（千米）。246。温度（）。90160300。（1） 根据上表，求t（）与h（千米）之间的函数关系式；（2） 求当岩层温度达到1700时，岩层所处的深度为多少千米？【达标拓展】1、A（1，4），B（2，m），C（6，1）在同一条直线上，求m的值。2、已知一次函数的图像经过点A（2，2）和点B（2，4）（1）求AB的函数解析式；（2）求图像与x轴、y轴的交点坐标C、D，并求出直线AB与坐标轴所围成的面积；（3）如果点M（a，）和N（4，b）在直线AB上，求a，b的值。3、某市推出电脑上网包月制，每月收费y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图 所示：（1） 当时，求y与x之间的函数关系式
23、；（2） 若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？（3） 若小李5月份上网费用为75元，则他在该月分的上网时间是多少？例4：某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准。居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示：（1） 分别写出和时，y与x的函数解析式；（2） 若某用户居民该月用水3.5吨，问应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？14.3.1 一次函数与一元一次方程【学习目标】 1、进一步认识和理解一次函数，同时进一步巩固一元一次方程的解法。 2、弄通一次函数与x轴的交点与一元一次方程的解的关系。【前置学习】1、解方程2x+4=0 2、自变量x为
24、何值时函数y=2x+4的值为0？ 3、以上方程2x+4=0与函数y=2x+4有什么关系？ 4、是不是任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a、b是常数，a0）？ 5、当某个一次函数y=ax+b的值为0时，求相应的自变量x的值。从图像上看，相当于确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标的值。 【展示交流】 1、解方程ax+b=0（a、b为常数，a0）2、自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0，这句话与解方程ax+b=0（a、b为常数）到底有什么关系？【合作探究】 一个物体现在的速度是3m/秒，其速度每秒增加2m/秒，再过几秒它的速度为11m/秒？1）、此问题用方程来解如何去解？ 2
25、）、画出y=2x-8的函数图象如果速度y是时间x的函数，则上述问题与y=2x+3有什么关系？如何去解上述问题？整体感知 如何理解一次函数与x轴交点的横坐标与解方程的关系？14.3.2 一次函数与一元一次不等式【学习目标】、 1、会用一次函数的图像解一元一次不等式，理解一次函数与一元一次不等式的关系， 2、经历从“数”与“形”两个角度解决问题的过程，体会数形结合的思想。 3、利用一次函数的图像确定一元一次不等式的解集【前置学习】 1、什么是一元一次不等式？它的解集是什么？ 2、看下面两个问题有什么关系 (1)、解不等式5x+63x+10 (2)、自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0？ 3
26、、由上面两个问题的关系，能进一步得到“解不等式ax+b0与求自变量x在什么范围内一次函数y=ax+b的值大于0”有什么关系？ 4、一元一次不等式与一次函数有什么联系？任何一元一次不等式都可以转化为_或_(a、b为常数，a0） 的形式，所以解一元一次不等式可以看作是：当一次函数值大（小）于0时，求_相应的_【展示交流】用画函数图像的方法解不等式5x+42x+10解法1：原不等式化为3x-60，画出直线y=3x-6，可以看出，当x2时_，即y=3x-60，所以不等式的解集为x2.解析解法2：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，分别为：y=5x+4与直线y=2x+10，在同一坐标系内画出图像如图所
27、示，它们交点的横坐标为2，当x2时，对于同一个x，直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10的下方，所以不等式的解集为x2.【合作探究】 用画图像法解不等式，首先要把不等式转化为函数的形式，根据图像判断不等式的解集，两种解法都把不等式转化为比较_的高低如图：直线y=kx+b经过点A（-3，-2），B（2，4），根据图像解答下列问题： （1）、求k，b的值 （2）、指明不等式0的解集 （3）、求不等式4的解 （4）、解不等式6x+8-10 1、从函数值的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的 _的取值范围。 2、从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上方（或下方
28、）部分所 3、理解y0，y0，y0的几何意义： 一次函数y=kx+b，图像在x轴上方时，y_0，图像在x轴上时，y_0，图像在轴下方时，y_0.【达标拓展】1、已知一次函数y=kx+b的图像如图，当x时，y的取值范围是（ ） A、y0 B、y0 C、-2y0 D、y-22、一次函数的图像如图，则它的解析式是_. 当x=_时，y=0 当x_时，y0 当y_时，x03、利用函数图象解不等式 （1）、5x-12x+5 （2）、x-43x+11433一次函数与二元一次方程（组）学习目标：1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系。2.会利用函数图象解二元一次方程组。3.通过学习了解变量问题利用函数方法
29、的优越性。重点：探索一次函数与二元一次方程（组）的关系难点：综合运用方程（组）不等式和函数的知识解决实际问题。学习过程：学习准备：1.已知2xy=1，用含x的代数式表示y，则y= 。2.方程 2xy=1的解有 个。x=1y=1是方程2xy=1的一个解吗？3. 4.（1，1）是否是直线y=2x1上的一个点？综合以上几个问题，你能得到哪些启示？通过上述问题的讨论，你认为一次函数与二元一次方程有何关系？探究新知：1.3x+5y=8对应的一次函数（以x为自变量）是 。2.直线y=x+上任取一点（x，y）则（x，y）一定是方程3x+5y=8的解吗？为什么？3.在同一直角坐标系中画出直线y=2x1与y=x
30、+的图象，并思考：2xy=13x+5y=8（1）它们有交点吗？ 的解有何关系？（2）交点的坐标与方程组（3）当自变量x取何值时，函数y=2x1与y=x+的值相等？这时的函数值是多少？问题一：一家电信公司给顾客提供上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按网时间计费。上网时间为多少分，两种方式的计费相等？如何选择收费方式能使上网者更合算。问题二：下面有两处移动电话计费方式全球通神州行月租费50元/月0本地通话0.40元/分0.60元/分你知道如何选择计费方式更省钱吗？共同归纳：1.二元一次方程（组）与一次函数的关系。2.从“数”和“
31、形”两个方面去看二元一次方程组。3.方法：从函数的观点来认识问题、解决问题，图象法解二元一次方程组。运用新知：1、 求直线 y=3x+9 与直线 y=2x-7 的交点坐标 .你有哪些方法？2、 已知直线 y=2x 十与直线 y=x-2 的交点横坐标2, 求的值和交点纵坐标 .3、以方程的解为坐标的所有点都在一次函数_的图象上。4、方程组 的解是_,由此可知,一次函数与的图象必有一个交点,且交点坐标是_。5、 A 、 B 两地相距 100 千米 , 甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地相向而行 .假设他们都保持匀速行驶 , 则他们各自离A地的距离 s( 千米 ) 都是骑车时间 t( 时 ) 的一次
32、函数 .1 小时后乙距离 A 地 80 千米 ；2 小时后甲距离 A 地 30 千米 .问经过多长时间两人将相遇 ? 反馈练习：1.在同一坐标系中画出一次函数y1=-2x+1与y2=2x-3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)直线y1=-2x+1、y2=2x-3与y轴分别交于点A、B，请写出A、B两点的坐标(2)写出直线y1=-2x+1与y2=2x-3的交点P的坐标(3)求PAB的面积2.(2006年河北)甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：乙队开挖到30m时，用了 h，开挖6h时甲队比乙队多挖了 m；请你求出：甲队在0x6的时段内，y与x之间的函数关系式；乙队在2x6的时段内，y与x之间的函数关系式；当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？- 17 -
