1、 知识要点知识要点 数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵 常见的数阵图有以下三种：常见的数阵图有以下三种： 1.1.有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫 做辐射型数阵图填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过做辐射型数阵图填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过 对各数的分析，进行试验填数求解对各数的分析，进行试验填数求解 2.2.有
2、一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为有一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵封闭型数阵 图图”填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定 顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图 3.3.有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵复合型数阵 图图”我们在思考数阵图问题时，首先要确定
3、所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找 到相等的和与关键数字到相等的和与关键数字 数阵图的解题关键是找数阵图的解题关键是找”重复数重复数”。 解题步骤：解题步骤： 一一. 从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n S 的形式。的形式。 二二. 从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数 字字用未知数表示，全部相加，一般为题
4、目所给全部数字和用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和一般位置数字相加次数一般位置数字相加次数特殊位置特殊位置 数字和数字和多加或少加次数的形式。多加或少加次数的形式。 三三. 根据整体与个体的关系，列出等式即根据整体与个体的关系，列出等式即 数阵图数阵图 四四. 放射型放射型 老师带领同学们一起去参加数学灯谜会，同学们在里面玩的热火朝天，其中有个灯谜是这样的：老师带领同学们一起去参加数学灯谜会，同学们在里面玩的热火朝天，其中有个灯谜是这样的： 把把 51 这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之
5、和都等于 9那么应该怎么填呢？ 那么应该怎么填呢？ 【分析】1 234515 ，9 2 153 ，可见中间的重叠数为3。如此可得填法如右上图。 小猴丁丁和当当一起玩数阵游戏，他们在地上画了个如图所示的数阵，丁丁出题，它在最中间的小猴丁丁和当当一起玩数阵游戏，他们在地上画了个如图所示的数阵，丁丁出题，它在最中间的 圆圈中写了数字圆圈中写了数字5，要求当当把，要求当当把 41 这四个数填入剩下的四个这四个数填入剩下的四个里，使两条直线上的三个数之和里，使两条直线上的三个数之和 相等你能帮当当解决这道题吗？相等你能帮当当解决这道题吗？ 【分析】根据题意可知两条直线上的三个数的和为(1 23455)2
6、10 ，在剩下的四个数中 14235 ，可得填法如右上图。 把把 51 这五个数填入右图中的这五个数填入右图中的里，使每条直线上的三个数之和相等里，使每条直线上的三个数之和相等 数阵图 复合型 放射型 封闭型 四年级秋季 五年级暑假 三年级寒假 方法整除性 尝试 列出等式 个体考虑 整体考虑 数阵图 5 4 3 2 1 53 4 2 1 5 【分析】根据题意可知1 5 这几个数的和再与中间的重叠数作和结果是2的倍数，而 1234515 为奇数，那么中间的重叠数只能是奇数：1、3、5，由此可推得结果 如右上图。 将将 71 这七个自然数填入下图的七个这七个自然数填入下图的七个内，使得每条边上的三
7、个数之和都等于内，使得每条边上的三个数之和都等于10你能做到吗？你能做到吗？ 【分析】1 23456728 ，(10 3 28)21 ，可见重叠数为1，那么可得填法如右上图。 把把 71 这七个数分别填入下图的这七个数分别填入下图的内，使每条线段上三个内，使每条线段上三个内数的和相等。内数的和相等。 【分析】1 23456728 ，这几个数的和再与重叠数的两倍作和是3的倍数，那么重叠数 的取值有1 4 7 、，对应的每边三个数的和为10 12 14、 、 ，可得填法见右上图。 数学王国的大门有一把密码锁，它的形状如下，只有将数学王国的大门有一把密码锁，它的形状如下，只有将 2010 填入其中的
8、填入其中的内，其中内，其中15已填好，已填好， 使每条边上的三个数之和都相等才能把这把锁打开，顺利的进入数学王国，你也试试吧使每条边上的三个数之和都相等才能把这把锁打开，顺利的进入数学王国，你也试试吧 5 4 2 31 5 4 1 23 3 4 2 15 65 4 3 1 2 7 75 4 2 1 3 6 31 7 5 4 6 2 12 5 6 7 4 3 【分析】法一：每条边上的三个数之和等于 455415)201110( 剩下的十个数中， 两两之和等于 301545 的有 16,14;17,13;18,12;19,11;20,10 于是得到右上图的填法。 法二：五条边上除重叠数之外的两个数
9、的和都是相等的，(10 1120 15)530 ， 也即是说另两个数之和等于30，同样可得填法如右上图。 （第六届（第六届“中环杯中环杯”复赛）复赛）将将1到到11这这 11 个数分别填入图中是每条线上三个数的和相等个数分别填入图中是每条线上三个数的和相等. 【分析】因为 661110321 中间一个数（设为A）再重复4次，则五条边的总和为 A466 ， A466 应正好可以整除5，则 1109070466、A 经过验证， 1 6 11A 、 、 ，对应的每 条边上三个数的和为14 18 22 、 、 。可得填法如右上图。 将将 71 这七个数分别填入左下图中的这七个数分别填入左下图中的里，使
10、每条直线上的三个数之和都等于里，使每条直线上的三个数之和都等于12 【分析】 27654321 中间数 228 中间数 312 ，中间数为4，填法如右上图 将将1 9 分别填入下图的分别填入下图的中，使得横、竖五个数相加的和都等于中，使得横、竖五个数相加的和都等于25。 15 16 14 17 13 18 12 19 11 20 10 15 7 6 8 5 9 4 10 3 11 2 1 7 5 8 4 9 3 10 2 11 1 6 6 5 7 4 8 3 9 2 10 1 11 7 6 5 1 2 3 4 【分析】1 23945 ；25 2550 ；50 455 ，可见答案如右上图。（答案
11、不唯一） 将将 91 填入右图小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等填入右图小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等 【分析】1 2345678945 ，可见重叠数为奇数：1 3 5 7 9 、 、 、，那么可得答案如下图所 示： 把把1 6这这6个数填入下图的个数填入下图的内，使每条直线上内，使每条直线上3个数的和为个数的和为9，怎样填？，怎样填？ 【分析】设中间三个数为a bc、 、 ，那么有 1 23627abc ，可见 6abc 则a bc、 、 三个数分别为1 2 3 、.填法如右上图所示. 封闭型封闭型 9 8 7 65 42 3 1 6 5 1 234 周末小猪熊去小猴家里玩，过桥
12、的时候遇到了狐狸，狐狸有意刁难它，就挡住了小猪熊的去路，周末小猪熊去小猴家里玩，过桥的时候遇到了狐狸，狐狸有意刁难它，就挡住了小猪熊的去路， 狐狸狡猾的对它说：狐狸狡猾的对它说：“只要你能把只要你能把 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个 数相加的和都等于数相加的和都等于9我就让你过桥我就让你过桥”小猪熊想了一下，不慌不忙的填了出来，你知道聪明的小猪熊想了一下，不慌不忙的填了出来，你知道聪明的 小猪熊是怎么解答的吗？小猪熊是怎么解答的吗？ 【分析】根据题意，要求每边三个数的和都是9，那么三边的和
13、应为 2739 但是 61 六个数 的和等于21，三行数的和比题中六个数的和多 62127 ，也就是说三个顶点数之和是6： 1236 ，可得答案如右上图。 （2007“数学解题能力展示数学解题能力展示“三年级组初赛试题）将三年级组初赛试题）将 61 这六个自然数分别填入右图的六个这六个自然数分别填入右图的六个中中 使得三角形每条边上的三个数之和都相等使得三角形每条边上的三个数之和都相等 【分析】根据题意可知三个顶点中的数的和必为3的倍数，其中最小：1 236 ，最大： 45615 ，可见三个顶点的和只能是 12, 9 , 6 或15，对应的每条边上的三数之和就是 11,10, 9 或12填法如
14、下： 每边三数之和 9 每边三数之和 10 每边三数之和 11 每边三数之和 12 . 将自然数将自然数 71 填入右图的七个填入右图的七个中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等 【分析】三角形顶上的数重叠3次，其他数都重叠2次所以有： 2)721 ( 顶上的数 每条线上的三个数之和 5 ， 56 顶上的数每条线上的三个数之和 5 由上式等号左端 65 432 1 65 432 1 6 5 4 32 1 6 5 4 3 2 165 4 32 1 72 6 4 3 15 是5的倍数，推知“顶上的数” 4 所以每条线上的三个数之和为 125
15、)456( 经 试验可得如上填法(填法不唯一)。 （第七届小机灵杯复赛第（第七届小机灵杯复赛第6题）将题）将1，4，7，10，13，16，19，22，25这这9个数分别填入下图个数分别填入下图 的的9个个中，使三条边上中，使三条边上中的四个数的和都相等，每条边上四个数的和最大是中的四个数的和都相等，每条边上四个数的和最大是 。 【分析】这些数的和为1 471013 16192225117 ，而三条边上数的和的和等于这些数 的和再加上三个顶点上的数的和，那么若要每条边上的四个数的和最大，则只需保证三 个顶点上的数最大，那么三个顶点上的数应该为25，22，19，由此可知最大的和为 (1172522
16、19)361 。 用用 19 这九个数字填入下图中，使得每条边上的四个数的和都等于这九个数字填入下图中，使得每条边上的四个数的和都等于 A，问，问 A 可可以等于哪些数以等于哪些数? ?给出给出 你的填法你的填法 【分析】 91 这九个数的和是45，于是顶点上的数之和应为 453 A ，这个和是3的倍数，它最 小是 6321 ，最大是7 8924 ，从而A可以取 23,22,21,20,19,18,17 但是，当A 为18或22时，都得不出一个合乎题目要求的解答，所以A只能为 23,21,20,19,17 这五个 数图(1)、(2)、(3)、(4)、(5)给出了这五种填法 （1） A=17 6
17、 5 98 7 4 3 2 1 （2） A=19 6 5 98 74 3 2 1 （3） A=20 6 59 87 4 3 2 1 （4） A=21 6 5 9 87 4 3 2 1 （5） A=23 65 9 8 7 4 3 2 1 将将1 8这八个数分别填入下图的这八个数分别填入下图的中，使两个大圆上的五个数之和都等于中，使两个大圆上的五个数之和都等于21 【分析】1 234567836 ，21 2 366 ，可见两个重叠数之和为6：1 56 、 246 ，可得填法如右上图： 班上进行民主选举，谁能在图中班上进行民主选举，谁能在图中 ZYX, 三个小圆圈内各填上一个数，使得每条直线上三个数
18、的和三个小圆圈内各填上一个数，使得每条直线上三个数的和 都等于大三角形三个顶点上三个数的和，谁就是数学课代表，你也来试一试吧都等于大三角形三个顶点上三个数的和，谁就是数学课代表，你也来试一试吧 【分析】如图，我们把三条直线上的三个和相加，相当于把4算了三遍， 6 , 5 , 1 算了一遍，三个顶点 上的数各算了一遍根据题意，这三个和应该是相等的，并且和三个顶点上的和也相 等 那 么 5134 6 + 三 个 顶 点 和三 个 顶 点 和 3 。 那 么 很 明 显 ， 这 个 4 3 15624 就是我们最关心的这个和的两倍，那么这个和就是12所以，图中x处 的数是 35412 ；图中 y 处
19、的数是 71412 ；图中z处的数是 26412 答案如 右上图所示。 如图如图 “学、而、思、未、来、命、运学、而、思、未、来、命、运”这这7个汉字分别代表个汉字分别代表1至至7这这7个数字。已知个数字。已知3条直线上的条直线上的 3个数相加、 个数相加、2个圆周上的个圆周上的3个数相加，所得的个数相加，所得的5个和相同。那么，个和相同。那么，“学学”字代表多少？字代表多少？ 【分析】计算5个和的和，这个和一定是5的倍数，其中“学”字计算了三遍，其它数只是被计算 了2遍，因此这个和等于 12345672 “学” 56 “学”，这个“学” 只能是4才能保证这个和能被5整除。 92 这八个数分别
20、填入下图的这八个数分别填入下图的里，使每条边上的三个数之和都等于里，使每条边上的三个数之和都等于18 7 2 8 64 3 1 5 7 2 8 6 4 3 1 5 z y x 6 5 4 1 7 6 5 4 3 2 1 运 命 来 未 思 而 学 【分析】四个角上的数是重叠数，重叠次数为1所以四个重叠数之和等于 28)932(418 而在已知的八个数中，四数之和为28的只有： 289874 或 289865 又由于 18918 ，1不是已知的八个数之一，所以， 8和9只能填对角处由此得到上面中间两图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果， 只有右上图的填法符合题意 把把1，2，3，4，5，6，
21、7，8，这，这8个数分别填入下图的个数分别填入下图的8个空格中，使正方形每条边上三个个空格中，使正方形每条边上三个 数的和都等于数的和都等于13。 【分析】因为每边上的和为13，那么四条边上的数字之和为13 452 ，而1 2836 ，所 以四个角上的四个数之和等于52 3616 。在1 8 中选四个数，四数之和等于16，且其 中任意三个的和不等于13的只有：16 126712581456 。经试验， 只有右上图的两种填法。 20 以内共有以内共有 10 个奇数，去掉个奇数，去掉 9 和和 15 还剩八个奇数，将这八个奇数填入下图的八个还剩八个奇数，将这八个奇数填入下图的八个中中(其其 中中
22、3 3 已经填好已经填好) )，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等 【分析】题中所给的数有 1、5、7、11、13、17、19，这八个数的和为76，这个和再加上两个重 叠数的两倍应该为3的倍数，设另一个重叠数为A,那么有82 23A 的倍数，A的取值 有1 7 1319 、 ，对应的每条线上四个数的和为28 32 36 40 、 、 、 ，其中当A取7 13 、 的时候不合题 意，那么可得填法见右上图。 已知已知 3ab ， 5bc ， 7cd ， 9de ， 11ef ， 13fg ， 15gh ， 9ha ， 那么这个圆上所有的数字之和是多少
23、？那么这个圆上所有的数字之和是多少？ 9 87 4 9 86 59 87 6 54 3 2 2 38 64 571 62 5 3 7 48 1 3 117 191353 171 13 17 11 7 1195 3 【分析】每个数都被加了两次，所以圆上所有数字的和 (357911 13159)236 。 在下图中的在下图中的10个个内填入内填入0 9 这这10个数字，使得循环式成立：个数字，使得循环式成立： 【分析】五个等式中有五个和式，其中两式的和大于另外三式的和，设较大的和为a，较小的和为 b，则有：2301945ab ，由上式知b必为奇数，又由b最小为5，最大为7， 可得如右上图两解。 在
24、下列各图中，分别从在下列各图中，分别从1 8 中选择六个数填入中选择六个数填入内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立：内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立： 【分析】能被2和4整除的数有4与8，左上角的数为4或8，如果为8，为一种情况，如果是4 是另一种情况，答案见右上图。 h g f e d c b a 将将1，2，3，4，5，6，7，8，这，这8个数分别填入下图的个数分别填入下图的8个空格中，使四边正好组成加、减、个空格中，使四边正好组成加、减、 乘、除乘、除4个正确的等式。个正确的等式。 【分析】小于10且能表示成两个不同的数的乘积的数只有6和8，如此可确定左下角的数为2，左 上角和右
25、下角的数可以是6或8,左边和下边对应填上3和6，剩下1、5、7，如此即可试 出结果。 19 分别填入小三角形内分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加 和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？（只需填写一种）和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？（只需填写一种） 【分析】1 2345678945 用s表示靠近大三角形三条边的五个数的和。因为有三个 小三角形所填的数在求和时只用了一次(用a，b，c来表示这三个数)，其余均用了两次。 于是 4523abcs
26、 。要使s尽可能大，只要a bc 尽可能小。所以， 1236abc 。于是90 63s ， 28s 。剩下的六个数分成三组，并且每组中两 数的和是三个连续自然数，那么：4 812 ；6 713 ；5 914 。经过调配可得到几 十种填法，右上图是填法之一。 请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的 两个圆圈中所填数的和，最下面的数是两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20。 【分析】如果第一行填入的是x、 y 、z、w，则 203()xwyz ，所以 yz 不超过6 且
27、最 小为3，如果 3yz 时， 1147xw ，（x、w不能取1、2、3），第一行有两 b ca 7 1 2 6 5 9 3 4 8 20 11 20 9 8 6 7 4 3 21 12 20 9 8 5 7 4 3 21 11 20 9 6 574 3 21 种情况：7，1，2，4与4，1，2，7，分别对应不同的第二行；当 413yz 时， 826xw ，其中2不能与1相邻，所以第一行只有一种情况，即2，3，1，6；当 51423yz 时， 5xw ，不论怎样排列，都有重复，所以只有三种填法，如 右上图。 能否将数能否将数0 9 分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的分别填入下图的各个
28、圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等？个顶点上的数之和相等？ 【分析】0 12945 ，45中心数 3 个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心 数必须是3的倍数，只能是0，3，6，9。枚举法试验，中心数只能是3，6，答案如图。 下图包括下图包括6个加法算式，将个加法算式，将1 8 填入除最右边圆圈以外的填入除最右边圆圈以外的8个圆圈中，使个圆圈中，使6个算式都成立。那么最个算式都成立。那么最 右边的圆圈中的数是多少？应该怎么填？右边的圆圈中的数是多少？应该怎么填？ 【分析】最右边的数等于最左边三个数以及中间的数的和，即 128312 。当这四个数 分别取1、3、6、2时可以不
29、出现重复数字，填法如右上图。 图中有大、中、小三个正方形，组成了图中有大、中、小三个正方形，组成了8个三角形。现在先把个三角形。现在先把1、2、3、4分别填在大正方形的分别填在大正方形的 4 个顶点上，再把个顶点上，再把1、2、3、4分别填在中正方形的分别填在中正方形的4个顶点上，最后把个顶点上，最后把1、2、3、4分别填在小正分别填在小正 方形的方形的4个顶点上。个顶点上。 能否使能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，给出填数方法；如果个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，给出填数方法；如果 不能，请说明理由。不能，请说明理由。能否使能否使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能
30、，给出填数方法；如个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，给出填数方法；如 果不能，请说明理由。果不能，请说明理由。 【分析】（1）不能，如果能，则8个三角形顶点和的总和应该是8的倍数，但是这个总和有三组1、 2、3、4组成，其中一组被计算三次，一组被计算两次，一组被计算一次，因此该总和 的值为 6123460 ，不是8的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使8个三角形 顶点上数字之和都相等。 （2）能，如上图。 一课一练一课一练 【练习练习1】 老师在一节课上出了一道智力题，题目是这样的，有老师在一节课上出了一道智力题，题目是这样的，有 一个图形（如下图），要求将一个图形（如下图），要求将 61
31、0 这五个数分别填在下图中的方格里，使得使得横行这五个数分别填在下图中的方格里，使得使得横行 三数之和与竖列三数之和都等于三数之和与竖列三数之和都等于 24那么应该怎么填呢？那么应该怎么填呢？ 【分析】6+7+8+9+10=40，242-40=8，可见中间的重叠数为 8。如此可得填法如右上图。 【练习练习2】 将将 8-14 这七个自然数填入下图的七个这七个自然数填入下图的七个内，使得每内，使得每 条边上的三个数之和都等于条边上的三个数之和都等于 33你能做到吗？你能做到吗？ 3 44 3 41 2 2 2 311 10 98 7 6 14 1312 11 10 9 8 【分析】8+9+10+
32、11+12+13+14=77，（333-77）2=11，可见重叠数为 11，那么可得填法如右上 图。 【练习练习3】 将将17的数填入圆圈中，使每边上的的数填入圆圈中，使每边上的 3 个数字之和个数字之和 都相等。都相等。 %【分析】 此图是辐射型3 3 图，中间内的4是重叠数，并且重叠了2次，所以每条边上 的3个数之 和等于 12742312 ,剩下的6个数中，两两之和等于12 48 的有 1 72 63 5、 ； 、 ； 、,填法如右上图。 【练习练习4】 将将 61 六个自然数分别填入下图的六个自然数分别填入下图的内，使三角形内，使三角形 每边上的三数之和都等于每边上的三数之和都等于10
33、 【分析】因为每边上的和为10，那么三条边上的数之和为 30310 ，而 21621 ，所以 三个角的三个数之和等于 92130 ，在 61 中选3个和为9的数，而且任意两个数的和 大于或等于 4610 ，这样的组合有： 4325319 ，经试验，填法如右上图 【练习练习5】 唐僧师徒西天取经路过数字山，山中住着一个数学大唐僧师徒西天取经路过数字山，山中住着一个数学大 王告诉他们，只有他们能把王告诉他们，只有他们能把 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 六个数字填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上四六个数字填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上四 个数字的和都是个数字的和都是 l6 才允许他
34、们才允许他们 通过，这可急坏了师徒通过，这可急坏了师徒 四人，你能解决这个问题吗？四人，你能解决这个问题吗？ 【分析】1 2345621 ，16 221 11 ，可见两个重叠数的和为11： 5611 ， 56516 ， 532 ， 541 ，填法如右上图。 4 6 5 4 3 2 17 6 5 4 32 1 6 43 1 5 2 【练习练习6】 小老鼠打洞，撞到一面墙上有一个奇怪的问题挡住了小老鼠打洞，撞到一面墙上有一个奇怪的问题挡住了 它的去路，问题是这样的：请分别将它的去路，问题是这样的：请分别将 6 , 4 , 2 , 1 这这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个个数填在下图的各空白区
35、域内，使得每个 圆圈里圆圈里4个数个数的和都等于的和都等于15，快点帮帮小老鼠吧，快点帮帮小老鼠吧 % %【分析】【分析】 1275 ， 1073 ， 853 ，三个圆中已有数的和与15的差分别是 7 , 5 , 3 ， 只有1能和其他三个数的和分别是 7 , 5 , 3 ，所以中间数一定是1，由和为15，其它三个数即 可得，见右上图 【练习练习7】 将将 18 填入下图的八个填入下图的八个中，使得每条边上的三个中，使得每条边上的三个 数之和都等于数之和都等于 15 【分析】四个顶点数之和为 24)821 (415 ，四个顶点数有 8 , 7 , 6 , 3 和 8 , 7 , 5 , 4 两
36、种可 能经试验只有右上图一个解 【练习练习8】 将将1 9不重复地填入下面的圆圈内，使得三角形每不重复地填入下面的圆圈内，使得三角形每 条边上的数字和均为条边上的数字和均为17。 【分析】将三角形三个顶点处的数字设为a、b、c，这三个数字分别计算了两次，根据题意，可 得：(1 29)3 17abc 解得 6abc ，而在1 9中，只有1 236 ，符合要求。所以三个顶点上的数字分 别是1、2、3，如图所示是其中一种符合要求的填法。 5 7 3 1 6 2 4 5 7 3 8 76 5 43 2 1 cb a 9 84 5 7 6 1 23 【练习练习9】 将将110不重复地填入下面的圆圈内，使
37、得五边形每不重复地填入下面的圆圈内，使得五边形每 条边上的数字和均为条边上的数字和均为19。 【分析】将五边形五个顶点处的数字设为a、b、c、d、e，这五个数字分别计算了两次，所以 有： (1210)5 19abcde 解得 40abcde ，只有6 7891040 ，符合要求。所以五个顶点上的数 字分别是6、7、8、9、10，其中9和10不在同一条边上。如图为一种填法。 【练习练习10】 如果将如果将1 11 这这11个自然数填入下图的圆圈内使每个个自然数填入下图的圆圈内使每个 菱形上的四个数之和都等于菱形上的四个数之和都等于24，那么，那么A等于多少？等于多少？ 【分析】计算3个菱形上四个
38、数的和，其中A被重复计算了一次，1 211243A ,即 6672A , 6A 【练习练习11】 如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律 填写的，请找出规律，并求出填写的，请找出规律，并求出 x 所代表的数。所代表的数。 e d c ba10 1 5 6 7 9 2 4 8 3 【分析】经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一 半。比如： 2618222 ， 3026228 ， 2430227 。所以 18172x ， 16x 。经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20。 【练习练习12】 将将1 1
39、3 填入图中的填入图中的13个方格中，是纵向的一，二，个方格中，是纵向的一，二， 三和横向的四这几个直线上的方格的和均相等。三和横向的四这几个直线上的方格的和均相等。 %【分析】 123121391 ，91 5 那么加数的和为9，每个数为2，3，4， 补充补充 【补充【补充1】 将将 81 填入下图的八个填入下图的八个中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和 都相等都相等 17 18 22 26 28 30 27 24 20 x 13 8 4 11 12 26 1 5 3 7 9 10 【分析】每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于 182)821 ( ，经试验可得填法如 右上图（答案不唯一）。 【补充【补充2】 将将 71 七个数字填入左下图的七个七个数字填入左下图的七个内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等 【分析】设中心数为a，各条直线和各个圆周上的三数之和均为k因为a属于三条直线公有，其 余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到 ka5)721 (2 ，化简为 ka556 因为 71 a ， 56a 又是5的倍数，所以 4a ， 12k 填数方法见右上 图 7 65 4 3 2 1
