1、第五章第五章 插值法插值法在生产和科研实践中常常遇到这种情况：虽然可以确定所考虑函数的一些性质，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。要利用这张函数表来分析函数、求出其它一些点上的函数值是困难的;另外,有时虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望构造某个简单函数作为近似。当未知函数 y=f(x)非常复杂复杂时，在一系列节点 x0 xn 处测得函数值：y0=f(x0)yn=f(xn)由此构造一个简单易算简单易算的近似函数 P(x)f(x)，满足条件P(xi)=f(xi)(i=0,n)，称称P(x)为为f(x)的的插
2、值函数插值函数。最常用的插值函数是多项式 插值法插值法 比较古老,常用的方法。yP x xfy 0 x1xnxXab0y1yny0Y1 拉格朗日多项式拉格朗日多项式niyxPiin,.,0,)(求求 n 次多项式次多项式 使得使得nnnxaxaaxP 10)(条件：条件：无重合节点，即无重合节点，即jixx ji n=1已知已知 x0,x1;y0,y1，求求xaaxP101)(使得使得111001)(,)(yxPyxP 可见可见 P1(x)是过是过(x0,y0)和和(x1,y1)两点的直线。两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP-101xxxx-010 xxxx-=y0+y1l0
3、(x)l1(x)10)(iiiyxln 1希望找到希望找到li(x)，i=0,n 使得使得 li(xj)=ij；然后令然后令 niiinyxlxP0)()(，则显然有，则显然有Pn(xi)=yi。每个每个 li 有有 n 个根个根 x0 xi-1，xi+1 xn ixl-j i jixxC)()(-j i jiiiixxCxl)(11)(-njijjijixxxxxl0)()()(niiinyxlxL0)()(n次插值基函数，Lagrange插值多项式定理定理 (唯一性唯一性)满足满足 的的 n 阶插值多阶插值多项式是唯一存在的。项式是唯一存在的。niyxPii,.,0,)(证明：证明：若除了
4、若除了Ln(x)外还有另一外还有另一 n 阶多项式阶多项式 Pn(x)满足满足 Pn(xi)=yi。考察考察 则则 Qn 的阶数的阶数,)()()(xLxPxQnnn-n而而 Qn 有有 个不同的根个不同的根n+1x0 xn拉格朗日插值余项拉格朗日插值余项 设节点设节点)1(nf在在a,b内存在内存在,考察截断误差考察截断误差,baCfn bxxxan 10，且，且 f 满足条件满足条件 ,)()()(xLxfxRnn-Rn(x)至少有 n+1 个根 -niinxxxKxR0)()()(给定 x xi (i=0,n),考察 -niixtxKtRnt0)()()()(j jj(t)有 n+2 个
5、不同的根 x0 xn x，),(,0)()1(baxxn j j00-!)1)()()()1()1(nxKLfxnnxn !)1()()()1(nfxKxn -niixnnxxnfxR0)1()(!)1()()(当当 f(x)为任一个次数为任一个次数 n 的的多项式多项式时，时，,可知可知 ，即插值多项式对于次数，即插值多项式对于次数 n 的的多项多项式是式是精确精确的。的。0)()1(xfn0)(xRn1)1()(nnMxf -niinxxnM01|)!1(通常不能确定通常不能确定 x,而是估计而是估计 ,x(a,b)将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。例：例：已知已知233sin,2
6、14sin,216sin 分别利用分别利用 sin x 的的2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。23)()(21)()(21)()()(4363463464363646342-xxxxxxxL)185(50sin20 L0.7654323cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2 -xxxxxxR 00077.018500044.02 Rsin 50 =0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.00061 0.000612 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式 Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点插值虽然易算，但若
7、要增加一个节点时，全部基函数时，全部基函数 li(x)都需重新算过。都需重新算过。将将 Ln(x)改写成改写成.)()(102010-xxxxaxxaa).(10-nnxxxxa的形式，希望每加一个节点时，的形式，希望每加一个节点时，只附加一项只附加一项上去即可。上去即可。均差的定义：均差的定义：先介绍均差的定义及性质差商的值与差商的值与 xi 的顺序无关！的顺序无关！性质性质2（对称性）（对称性）()0,.,()/(!)kkf xxfk性质性质3（与导数的关系）（与导数的关系）01()()niinif xx性质性质1（线性组合）（线性组合）其中其中,)()(01 -kiikxxx -kijj
8、jiikxxx01)()(例例Newton均差插值公式：均差插值公式：1次插值多项式它满足(k=n)Newton均插差值公式ai=f x0,xi 1()nx(1)011(),.,()()(1)!nxnnnff x xxxxn 实际计算过程为实际计算过程为,由由唯一性可知唯一性可知 Nn(x)Ln(x)，只是算法不同只是算法不同，故其余项也相同，即故其余项也相同，即()0minmax(),.,(,)!nnff xxxxn现在我们讨论 Hermite插值插值 不仅要求函数值相等，而且要求某些节点的若干不仅要求函数值相等，而且要求某些节点的若干阶阶导数导数也相等。也相等。要求在要求在1个节点个节点 x0 处直到处直到m0 阶导数都重合的插阶导数都重合的插值多项式即为值多项式即为Taylor多项式多项式00)(!)(.)()()(000)(000mmxxmxfxxxfxfx-j j其余其余项为项为)1(00)1(00)()!1()()()()(-mmxxmfxxfxR j jN 个条件可以确定个条件可以确定N-1 阶多项式。阶多项式。一般只考虑一般只考虑 f 与与f 的值。的值。
