1、方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点四川省广汉中学 田 波 生活实例探究生活实例探究小马小马过河过河 马马2马马1马马1马马2提出问题提出问题 引入新课引入新课将河流抽象成将河流抽象成x轴，将两个位置视为轴，将两个位置视为A、B两点。两点。请问当请问当A、B与与x轴怎样的位置关系时，轴怎样的位置关系时，AB间的间的一段连续不断的函数图象与一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？轴一定会有交点？ab x ab xab x ab x ab xab xABABABABABBAABABABA提出问题提出问题 引入新课引入新课 方程方程x x2 22x+1=02x+1=0 x x2 22x+3=0
2、2x+3=0y=xy=x2 22x2x3 3函函数数函数的图象函数的图象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x x2 22x2x3=03=0 xy01321121234.xy0132112543y=xy=x2 22x+12x+1.yx012112y=xy=x2 22x+32x+3思考思考:以下一元二次方程的实数根与相应的二次函以下一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像有什么关系？数的图像有什么关系？知识探究（一）：方程的根与函数零点知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系的关系函数图像与函数图像与x轴的交点轴
3、的交点问题：问题：若将上面特殊的一元二次方程若将上面特殊的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)推广到一般的一元二推广到一般的一元二次方程及相应二次函数次方程及相应二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与的图象与x轴交点的关系，上述结论是轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（我们以否仍然成立？（我们以a0为例）为例）判别式判别式=b24ac0=00函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象xyx1x20 xy0 x1xy0没有交点没有交点方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根
4、没有实数根结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与 x轴交点的横坐标知识探究（一）：方程的根与函数零点知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系的关系函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)问题问题:其他函数与方程之间也有同样结论吗？其他函数与方程之间也有同样结论吗？方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)图象与x轴交点的0 xyx1x2x3x4Y=f(x)横坐标知识探究（一）：方程的根与函数零点知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系的关系一一.函数零点的定义：函数零点的定义：例例1：函数函数f(x)=x(x24)的零点为的零点为（）A(
5、0，0)，(2，0)B0，2 C(2，0)，(0，0)，(2，0)D2，0，2函数的零点是实数，而不是点。函数的零点是实数，而不是点。求函数的零点就是求函数所对应方程的根。求函数的零点就是求函数所对应方程的根。对于函数对于函数yf(x)，把使，把使 f(x)0的实数的实数x叫做函数叫做函数yf(x)的零点的零点D知识探究（一）：方程的根与函数零点知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系的关系方程方程f(x)=0的实数根的实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标函数值等于函数值等于零零时时的的x的值的值函数函数y=f(x)的的零零点点归纳关系：归纳关系：数数形形
6、对零点的理解：对零点的理解：数数的角度：的角度：形形的角度：的角度：即是使即是使f(x)=0的实数的实数x的值的值即是函数即是函数f(x)的图象与的图象与x轴轴的交点的横坐标的交点的横坐标知识探究（一）：方程的根与函数零点知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系的关系223xxx练习：求下列函数的零点（1）.f(x)=lgx-1;（2）.f(x)=（3）.f(x)=3+1我的零点是我的零点是-1和和3我的零点我的零点是是10不好意思，我没有不好意思，我没有零点，你答对了吗？零点，你答对了吗？问题问题:在怎样的条件下，函数在怎样的条件下，函数yf(x)在区间在区间a,b上存在零点？上存在零点？
7、知识探究（一）：方程的根与函数零点知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系的关系巩固练习一：巩固练习一：生活实例探究生活实例探究小马小马过河过河 知识探究（二）：函数零点存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理 马马2马马1马马1马马2将河流抽象成将河流抽象成x轴，将两个位置视为轴，将两个位置视为A、B两点。两点。请问当请问当A、B与与x轴怎样的位置关系时，轴怎样的位置关系时，AB间的间的一段连续不断的函数图象与一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？轴一定会有交点？ab x ab x()yf x,a b如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，的图象是连续不断的一条曲线，怎样才能保
8、证在怎样才能保证在a,b上有零点？上有零点？ab x ab x ab xab x知识探究（二）：函数零点存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理 ABABABABABBAab x ABab x ABab x ABab x A观察二次函数观察二次函数f(x)x22x3的图象：的图象：在区间在区间-2，1上有零点上有零点_；f(-2)=_，f(1)=_，f(-2)f(1)_0（“”或或“”）在区间在区间2，4上有零点上有零点_；f(2)f(4)_0（“”或或“”）1453-22-2-41O1 23 4-3-1-1yx知识探究（二）：函数零点存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理 观察函数
9、的图象并填空观察函数的图象并填空:在区间在区间(a,b)上上f(a)f(b)_0(“”或或“”)在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点；在区间在区间(b,c)上上f(b)f(c)_ 0(“”或或“”)在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点；在区间在区间(a,d)上上f(a)f(d)_ 0(“”或或”)在区间在区间(a,d)上上_(有有/无无)零点；零点；有有有有有有xyOabcd问题：问题：是不是函数是不是函数yf(x)在区间在区间a,b上只要满足上只要满足f(a)f(b)0，函数，函数yf(x)在区间在区间(a,b)上一定有零点？上一定有零点？知识探究（二）：函数
10、零点存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理 abxyo例例xabyoyabxoabxyoabxyo零点的存在性定理零点的存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理 那么这个使得,0)(),(cfbac的根。0)(xf在区间)(xfy 如果函数上的图象是在区间baxfy,)(的一条曲线，并且 f(a)f(b)0，（a,b）内有零点，即存在 连续不断c也就是方程（1）两个前提条件缺一不可（2）“有零点”是指有几个零点呢?知识探究（二）：函数零点存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理（3）再加上什么条件就）再加上什么条件就“有且仅有一个零点有且仅有一个
11、零点”呢？呢？在区间)(xfy 那么如果函数上的图象是在区间baxfy,)(的一条曲线，并且 f(a)f(b)0，并且是单调函数，（a,b）内有且只有一个零点。连续不断abxy0abbbxy0(4)若函数若函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，一定内有零点，一定能得出能得出f(a)f(b)0的结论吗？的结论吗？函数零点存在性定理函数零点存在性定理的逆命题不成立！的逆命题不成立！(5)(5)定理的作用：定理的作用：知识探究（二）：函数零点存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理 判定零点的存在，并找出零点所在的区间。判定零点的存在，并找出零点所在的区间。（1）已知函数）已知函数y=
12、f(x)在区间在区间a,b上连续，且上连续，且f(a)f(b)0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数已知函数y=f(x)在区间在区间a,b上连续且在区间上连续且在区间(a,b)内存在零内存在零点点.，则，则f(x)必满足必满足f(a)f(b)0.（）例例2 判断正误判断正误知识探究（二）：函数零点存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理 1 1、在下列哪个区间内在下列哪个区间内,函数函数f(x)=x33x5一定有零点（一定有零点（）A A、(1,01,0）B B、(0,1(0,1）C C、(1,2(1,2）D D、(2,3(2,3）
13、C C 2 2、已知函数已知函数f(x)f(x)的图象是连续不断的的图象是连续不断的,且有如下的且有如下的x,f(x)x,f(x)对应对应值表：值表：26125 11 7 9 23f(x)7 6 5 4 3 2 1 x 那么该函数在区间那么该函数在区间11，66上有（上有（）零点）零点.A A、只有、只有3 3个个 B B、至少有、至少有3 3个个 C C、至多有、至多有3 3个个 D D、无法确定、无法确定B B 知识探究（二）：函数零点存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理 巩固练习二：巩固练习二：由上表和右图可知由上表和右图可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间
14、说明这个函数在区间(2,3)内内有零点。有零点。由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。解法解法1：用计算器或计算机作出：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象的对应值表和图象 4 1.30691.09863.38635.6094 7.7918 9.9459 12.079414.1972123456789x0246105y241086121487643219的零点个数的零点个数例例3 3 求函数求函数62ln)(+xxxf知识探究（二）：函数零点存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理 一题多解一题多解01
15、234 5-1-212345-1-2xy6的零点个数的零点个数例例3 3 求函数求函数62ln)(+xxxf知识探究（二）：函数零点存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理 方法方法2：将函数将函数 的零点个数转化为函数的零点个数转化为函数 与与 的图像交点的个数的图像交点的个数62ln)(+xxxfxyln62+xy方法方法2：将函数将函数 的零点个数转化为函数的零点个数转化为函数 与与 的图像交点的个数的图像交点的个数62ln)(+xxxf知识探究（二）：函数零点存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理 巩固练习三：巩固练习三：1、已知方程、已知方程 的根所的根所在的大致区间是（在
16、的大致区间是（）2ln xxB2、已知关于、已知关于x的方程的方程3ax+1-2a=0在（在（-1,1）有）有唯唯一解一解，求，求a的取值范围的取值范围.1.ABCDe（1，2）.(2，3）.(,1）和（3,4）.(e,+）课堂小结课堂小结通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？哪些重要的数学思想？函函数方程思想、数形结合数方程思想、数形结合思想思想、等价转化思想、等价转化思想知识小结：方程的根和函数的零点知识小结：方程的根和函数的零点 数学思想数学思想数学知识数学知识2.三个等价关系三个等价关系1.函数的零点的定义及其求
17、法函数的零点的定义及其求法3.函数的零点存在性定理、作用函数的零点存在性定理、作用数数的角度：的角度：形形的角度：的角度：即是使即是使f(x)=0的实数的实数x的值的值即是函数即是函数f(x)的图象与的图象与x轴轴的交点的横坐标的交点的横坐标知识小结：函数的零点及其求法知识小结：函数的零点及其求法代数法代数法几何法几何法 对于函数对于函数yf(x)，把使，把使f(x)0的实数的实数x叫做函叫做函数数yf(x)的零点的零点零点的定义零点的定义零点的求法零点的求法方程方程f(x)=0的实数根的实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标函数函数y=f(x)的的零零点点数
18、数形形知识小结：三个等价关系知识小结：三个等价关系知识小结：函数的零点存在性定理及作用知识小结：函数的零点存在性定理及作用定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。课堂延伸、作课堂延伸、作业业布置布置23xy课堂延伸：1、求函数 的零点大致所在区间.小组讨论：分小小组讨论：分小组讨论组讨论3分钟，每组选一个中心发言人，分钟，每组选一个中心发言人，说明所求区间及其过程。说明所求区间及其过程。2()2xf xx2、函数、函数 的零点个数是（的零点个数是（）A、3个个 B、2个个 C、1个个 D、0个个第第8888页练习页练习1 1；第；第9292页页A A组第二题。组第二题。作业布置作业布置
