1、复变函数与积分变换试卷三满分：100分 考试时间：120分钟题号一二三四五总分一、判断题（正确打“”，错误打“”每题2分，共20分）1、； （ ）2、； （ ）3、解析函数的实部和虚部都是调和函数； （ ）4、； （ ）5、幂级数的和函数在其收敛圆的内部不一定解析；（ ）6、是的五阶极点； （ ）7、若是函数的可去奇点，则；（ ）8、在扩充复平面上，分式线性映射把圆映射成圆；（ ）9、；（ ）10、单位阶跃函数的拉普拉斯变换为. （ ）二、填空题（每题2分，共20分）1、复数的模为 ；2、的值为 ；3、若为解析函数，则 是的共轭调和函数；4、积分的值为 ；5、幂级数的收敛半径为 ；6、函数在的
2、留数为 ；7、；8、实轴在映射下的像曲线 ；9、设为是实常数，则；10、函数的拉普拉斯变换为 .三 、求解下列各题（每题5分，共30分）1、讨论函数在处是否有极限； 2、验证是z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使;3、，C为正向圆周；4、将在内展成洛朗级数；5、计算函数在各孤立奇点处的留数;6、求上半单位圆域在映射下的象.四、求下列函数的积分变换（8分+7分，共15分）1、求函数 的傅氏变换；（3分+5分）2、求函数 的拉氏变换.（4分+3分）五、实验题（每题3分，共15分）1、写出在的极限的Matlab源程序； 2、写出函数在点的Taylor级数展开式前7项的Matlab源程序；3
3、、设，写出的Matlab源程序；4、写出函数的Fourier 变换的Matlab源程序；5、写出函数的Laplace逆变换的Matlab源程序.试卷三参考答案一、判断题（正确的打“”，错误的打“”每题2分，共20分）1、 2、3、4、5、6、7、8、9、10、二、填空题（每题2分，共20分）1、；2、；3、4、 ；5、 1 ；6、 -1 ；7、；8、；9、；10、.三 、求解下列各题（每题5分，共30分）1、解 的定义域是在平面上除去的区域,当时， 设 则-2分考虑从出发方向角为的射线 ，有-4分对于不同的，上述极限不相同，所以在，不存在极限。-5分2、解：（1）； 在z平面有故是调和函数。-
4、2分（2）利用CR条件，先求出的两个偏导数。 则 -4分 由故 -5分3、解: 在C内，有本性奇点，由留数定理：原式-2分在 内将 展为Laurent级数： -3分故：-5分4、解：在内，有5、解：由于是的一阶极点，有 -3分-4分-5分6、解：令，则 -2分 ， -3分故将上半单位圆域映射为且沿0到1的半径有割痕. -5分四、求下列函数的积分变换（8分+7分，共15分）1、解：(1)F -2分-3分(2)F -3分 -5分2、解 （1） 由于-2分有+-3分=-4分（2）-2分+-3分五、实验题（每题3分，共15分）1、解 syms z;-1分f=z*exp(z)/(sin(z); -2分l
5、imit(f,z,0)-3分2、解 syms z ; -1分f=1/(1-z); -2分taylor(f,z,0,7) -3分(或taylor(f,z,7)3、解 syms t z; z=2*cos(t)+i*2*sin(t); -1分f=1/(z)2-6*(z)+9);-2分inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)-3分4、解 syms t w a -1分f=exp(-t2)*cos(a*t);g=exp(-t2)*sin(a*t); -2分F=simple(fourier(f)G=simple(fourier(g) -3分5、解 syms t s a；-1分F=(s2-a2)/(s2+a2)2; -2分f=ilaplace(F) -3分
