1、2.2.1综合法和分析法（一）综合法和分析法（一）综合法综合法推推 理理合情推理合情推理（或然性推理或然性推理）演绎推理演绎推理（必然性推理必然性推理）归纳归纳(特殊到一般特殊到一般）类比类比（特殊到特殊特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊一般到特殊）一、复习引入一、复习引入 合情推理得到的结论是不可靠的，需要经过严格合情推理得到的结论是不可靠的，需要经过严格的证明才可以使用。数学中证明的方法有哪些呢？的证明才可以使用。数学中证明的方法有哪些呢？间接证明（反证法）分析法综合法直接证明证明的方法 用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理表示已知条件、已有的定义、公理、定理等等,Q,Q表示所
2、要证明的结论表示所要证明的结论.则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为:1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q二、讲授新课二、讲授新课综合法综合法(顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法)利用利用已知条件已知条件和某些和某些数学定义、公理、定理数学定义、公理、定理等等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论最后推导出所要证明的结论成立成立,这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法。其综合法。其特点是特点是:“由因导由因导果果”练习练习.已知已知a0,b0,求证求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc分析：分析：首
3、先，分析待证不等式的特点：不首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是等式的右端是3 3个数个数a,b,ca,b,c乘积的乘积的4 4倍，倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积数与另两个数的平方和之积.据此，只要据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式左、右两端具有的形式，就能使不等式左、右两端具有相同的形式相同的形式.其次，寻找转化的依据及证明中要用的其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：应用不等式其他知识：应用不等式x2+y22xy就能实就能实现转化，不等式的基本性质是
4、证明的依现转化，不等式的基本性质是证明的依据据.证明证明:b2+c2 2bc,a0 a(b2+c2)2abc.又又 c2+a2 2ac,b0 b(c2+a2)2abc.a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.222)(|21:,.2babaSbCAaCBABCABC求证设中在例三、例题讲解三、例题讲解例例3.在在ABC中，三个内角中，三个内角A、B、C对应的边分别对应的边分别为为a、b、c，且，且A、B、C成成等差等差数列，数列，a、b、c成成等等比比数列，求证数列，求证ABC为等边三角形为等边三角形分析分析将将A，B，C成等差数列，转化为符号成等差数列，转化为符号语言就是语言就是2B=A
5、+C；A，B，C为为ABC的内角，这是一个隐含的内角，这是一个隐含条件，即条件，即A+B+C=180；a，b，c成等比数列转化为符号语言就是成等比数列转化为符号语言就是2b=ac.三、例题讲解三、例题讲解 此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理进行证明于是，可以用余弦定理进行证明.证明：证明：由由A A，B B，C C成等差数列，有成等差数列，有 2B=A+C.因为因为A A，B B，C C为
6、为C C的内角的内角,所以所以+=180.B=.3由由a，b，c成等比数列，有成等比数列，有2b=ac.由由，得，得，得，得由由，得，得注：注：解决数学问题时，学会解决数学问题时，学会语言转换语言转换；还要细致，；还要细致，找出隐含条件。找出隐含条件。符号语言符号语言图形语言图形语言文字语言文字语言由余弦定理及由余弦定理及，可得，可得22222b=a+c-2accosB=a+c-ac.再由再由，得，得22a+c-ac=ac,即即2a-c=0.（）因此因此a=c.从而从而A=C.A=B=C=.3所以所以C C为等边三角形为等边三角形.由由 ,得得四、课堂小结四、课堂小结 1.1.在数学证明中，综
7、合法最常用的数学方法，若从已在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法知入手能找到证明的途径，则用综合法.2.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性中要注意语言的规范性和逻辑性.2.2.1综合法和分析法（二）综合法和分析法（二）分析法分析法 用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理表示已知条件、已有的定义、公理、定理等等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为:1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Q
8、n nQ QQ Q一、回顾复习一、回顾复习综合法综合法(顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法)利用利用已知条件已知条件和某些和某些数学定义、公理、定理数学定义、公理、定理等等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论最后推导出所要证明的结论成立成立,这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法。其综合法。其特点是特点是:“由因导由因导果果”综合法是由一个个推理组成的综合法是由一个个推理组成的 一般地，从要一般地，从要证明的结论证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的每一步结论成立的充分条件充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为
9、，直至最后，把要证明的结论归结为判定判定一个明显成立一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做止，这种证明的方法叫做分析法。分析法。其特点是：其特点是：执果索因，即执果索因，即要证结果要证结果Q，只需证条件，只需证条件P.1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论二、讲授新课二、讲授新课分析法分析法（逆推证法或执果索因法）（逆推证法或执果索因法）类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。用用PiPi表示使所要证明结论成立的充分条件
10、，表示使所要证明结论成立的充分条件，Q Q表示所要证明的表示所要证明的结论结论.则则分析法的思路过程，特点分析法的思路过程，特点用框图表示为用框图表示为:注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等练习：证明不等式：练习：证明不等式：(a0,b0).(a0,b0).a a+b ba a b b2 2证法证法1:1:因为因为;所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a+b ba ab b 2a a+b ba ab b a a+b ba ab b2 2证法证法2:2:要证要证;a a+
11、b ba ab b2 2()b 20a a 2a a+b ba ab b只需证只需证;20a a+b ba ab b只需证只需证;()b 20a a只需证只需证;因为因为;成立成立a a+b ba ab b2 2所以所以 成立成立综合法综合法分析法分析法思考：上述两种证法有什么异同？思考：上述两种证法有什么异同？都是直接证明都是直接证明证法证法1 1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止为止 综合法综合法相同不同不同 证法证法2 2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的从
12、问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止条件吻合为止 分析法分析法分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 综合法综合法已知条件已知条件结论结论综合法和分析法的推证过程如下：综合法和分析法的推证过程如下：5273.4求证：例都是正数，所以要证都是正数，所以要证和和证明：因为证明：因为5273 5273只需证，225273）（）（521 只需证：2521 只需证：显然成立，所以因为2521成立52732021210只需证：在本例中，如果我们从在本例中，如果我们从“2125”出发，出发，逐步倒推回去，就可以用综
13、合法证出结论逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但但由于我们很难想到从由于我们很难想到从“2125”入手，所以入手，所以用综合法比较困难用综合法比较困难.反思反思 点评(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；2）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论归结为一个明显成立的条件即可。归结为一个明显成立的条件即可。(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等关联词语请结合上述例子和自己感受，说
14、说综合法和分析法的各自特点请结合上述例子和自己感受，说说综合法和分析法的各自特点 和它们的适用情况。和它们的适用情况。（1 1）综合法：）综合法：由因导果由因导果，当条件明确，思路清晰时适用；，当条件明确，思路清晰时适用；（2 2）分析法：）分析法：执果索因执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。，当条件多，入手难，思路乱时适用。（3 3）综合法是分析法的逆过程。）综合法是分析法的逆过程。已知条件已知条件结论结论结论结论 已知条件已知条件 用用P P表示已知条件表示已知条件,定义定义,定理定理,公理等公理等,用用Q Q表示要证的结论表示要证的结论,则则 上述过程可用框图表示为上述过程可用框图
15、表示为:P P1P1 P2Pn-1 PnQm-1 QmQ Q1Q1 Q2四、综合应用四、综合应用：在解决问题时，我们经常把在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用综合法和分析法结合起来使用 （即两面夹攻）（即两面夹攻）：根据条件结构特点去转化结论，得到中间结论根据条件结构特点去转化结论，得到中间结论Q Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P P，若若P P可以推出可以推出Q Q，就可以证明结论成立，就可以证明结论成立)tan1(2tan1tan1tan1sincossin ,sin2cossin ),(2,6.22222求证：且已知
16、例zkk分析：分析：证明式中没有证明式中没有,因此我们要将因此我们要将 消掉消掉,如何消掉如何消掉？而且在条件中只有弦而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切而在证明结果里面只有切,因此我们要因此我们要弦化切。弦化切。证明：证明：,22222222222222222sin +c o s-2 sin c o s=14 sin -2 sin =1.1-ta n 1-ta n=1+ta n 2(1+ta n )sin sin 1-1-c o s c o s=sin sin 1+2(1+)c o s c o s（），因因 为为所所 以以 将将(1 1)(2 2)代代 入入，可可 得得另另 一一 方方
17、 面面 要要 证证即即 证证（3）222222221cos-sin =(cos-sin)211-2sin =(1-2sin)2 4sin-2sin =1.，即即证证即即证证即即证证由于上式与由于上式与相同，于是问题得证相同，于是问题得证.1.综合法：综合法：(sin+cos)2-2sincos1(2sin)2-2sin214sin2-2sin212(cos2sin2)cos2-sin2即：即：2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2)tan1(2tan1tan1tan12222（二倍角公式）（二倍角公式）2.分析法：分析法：)tan1(2tan1tan1ta
18、n122222(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2要证：要证：只要证：只要证：2(cos2sin2)cos2-sin2只要证：只要证：只要证：只要证：4sin2-2sin21(sin+cos)2-2sincos1只要证：只要证：这是三角函数的基本性质这是三角函数的基本性质)tan1(2tan1tan1tan12222abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244 （：求证求证已知已知、求证：、求证：五、课堂练习五、课堂练习aaaa2cos42sin3,1tan2tan1.3求证：已知综合法分析法特点由因索果由果索因条件充分条件不要条件格式PQ1Q2.QnQQP1P2.PnP关系解答个一般方式解法的探讨实际证题过程，分析与综合是统一运用的PQ1Q2.Qn QPn.P2 P1P六、课堂小结六、课堂小结
