1、“新定义”型中考试题例析 绍兴市文理附中 冯梅纵观近几年全国各地中考数学试题，“新定义”型试题已越来越受到各地命题者的青睐。在近几年的绍兴中考数学试卷中，每年都有一个有关“新定义”型的试题，它已成为绍兴中考数学试题的一大特色“新定义”型试题是指在试题中定义新概念、新公式、新运算、新法则、新方法，这些都是同学们从未接触过的，要求同学们在解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义”，做到“化生为熟”，现学现用，其目的是考查同学们的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，培养同学们自主学习、主动探究的数学品质，在一定程度上促进教学方法和学习方法的转变基于这些原因，对新概念试题进行深层次、多方位
2、的研究，并在毕业复习中对同学们有意加强这方面的训练，就显得尤为重要1定义一种运算例1（2011湖南湘潭）规定一种新的运算：，则 解：把代入式子计算即可：点评：解题关键是弄清新定义运算的转化方法，根据题意把的值代入，按规定计算2定义一个规则例2（2012四川德阳）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密）；接收方由密文明文（解密）.已知加密规则为：明文对应密文， .例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）A4，6，1，7 B4，1，6，7 C6，4，1，7 D1，6，4，7解：根据对应关系，可以求得；代入
3、得；在代入得；代入得故选C点评：本题的实质是考查多元方程组的解法从简单的一元一次方程入手，通过代入消元，求出各个未知量，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法3定义一种变换例3（2010山东东营）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )A对应点连线与对称轴垂直 B对应点连线被对称轴平分C对应点连线被对称轴垂直平分 D对应点连
4、线互相平行点评：本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等及轴对称的性质；按要求画出图形是正确解答本题的关键4定义一类数例4（2008浙江绍兴）定义为一次函数的特征数（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；（2）设点分别为抛物线与轴的交点，其中，且的面积为4，为原点，求图象过两点的一次函数的特征数解：（1）特征数为的一次函数为，（2）抛物线与轴的交点为，与轴的交点为若，则；若，则当时，满足题设条件此时抛物线为它与轴的交点为，与轴的交点为，一次函数为或，特征数为或点评：本题考查学生根据一次、二次函数的性质，根据
5、题意，分析解决问题的能力5定义一个函数例5（2007浙江绍兴）设关于的一次函数与，则称函数（其中）为此两个函数的生成函数（1）当时，求函数与的生成函数的值；（2）若函数与的图象的交点为，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由解：（1）当时， （2）点在此两个函数的生成函数的图象上， 设点的坐标为， ， 当时， ， 即点在此两个函数的生成图象上点评：此题是一道新定义信息题，难度不大，考查了同学们的阅读理解和对新知识的接受能力，只要仔细阅读，就可根据相关函数知识作出解答6定义一个公式例6（2009湖南益阳）阅读材料：如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条
6、直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半BC铅垂高水平宽h a 图1 图2xCOyABD11解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及；（3）是否存在一点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设抛物线的解析式为： 把A
7、（3,0）代入解析式求得所以设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为 把，代入中解得：，所以（2）因为C点坐标为(,4)所以当x时，y14，y22，所以CD4-22（平方单位）（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h，则由SPAB=SCAB，得：化简得：，解得，将代入中，解得P点坐标为点评：本题给出了一个直角坐标系中求一般三角形的面积计算公式，并要求现学现用，总体来说本题难度不大7定义一个图形定义“点”例7（2012绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外
8、心应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求APB的度数探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长应用：解：若PB=PC，连接PB，则PCB=PBC，CD为等边三角形的高，AD=BD，PCB=30，PBD=PBC=30，PD=DB=AB，与已知PD=AB矛盾，PBPC，若PA=PC，连接PA，同理可得PAPC，若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，APD=45，故APB=90；探究：解：BC=5，AB=3，AC=，若PB=PC，设PA=x，则，即PA=，若PA=PC，则PA=2，若PA=PB，由图知，在RtP
9、AB中，不可能故PA=2或 点评：这是一道新概念试题，解答本题的关键是理解新概念的含义，然后结合有关图形性质分情况进行计算验证定义“线”例8（2012甘肃兰州）如图，定义：若双曲线y(k0)与它的其中一条对称轴yx相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y(k0)的对径（1）求双曲线y的对径；（2）若双曲线y(k0)的对径是10，求k的值；（3）仿照上述定义，定义双曲线y(k0)的对径解：过A点作ACx轴于C，如图，(1)解方程组，得，A点坐标为(1，1)，B点坐标为(1，1)，OCAC1，OAOC，AB2OA，双曲线y的对径是；(2)双曲线的对径为，即AB，OA，OAOCAC，OCAC5，
10、点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线y (k0)得k5525，即k的值为25；(3)若双曲线y(k0)与它的其中一条对称轴yx相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线y(k0)的对径点评：本题考查了反比例函数综合题，题中的对径即为线段AB的长度；点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的倍；强化理解能力定义“角”例9（2012江苏南京）如图，A、B是O上的两个定点，P是O上的动点（P不与A，B重合），我们称APB是O上关于A、B的滑动角（1）已知APB是O上关于A、B的滑动角若AB是O的直径，则APB= ；若O的半径是1，AB=，求APB的度数.
11、（2）已知O2是O1外一点，以O2为圆心做一个圆与O1相交于A、B两点，APB是O1上关于A、B的滑动角，直线PA、PB分别交O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索APB与MAN、ANB之间的数量关系解：（1）AB是O的直径，APB=90. OA=OB=1, AB=，OA2+OB2=1+1=2=AB2AOB是直角三角形AOB=90.APB=AOB=45 图1 图2（2）当P在优弧AB上时，如图1，这时MAN是PAN的外角，因而APB=MAN-ANB；当P在劣弧AB上时，如图2，这时APB是PAN的外角，因而APB=MAN+ANB；点评：本题以新概念入手，有一种新意，
12、但其知识点就是圆周角与圆心角之间的关系，只是说法不同而已，还用到直径所对圆周角为直角，勾股定理等知识；第二问主要看考生能否周全考虑，自己要画出图形来帮助分析，结合图形很容易得到正确结论定义“三角形”AyOBx例10（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则OAB为此函数的坐标三角形（1）求函数yx3的坐标三角形的三条边长； （2）若函数yxb（b为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积解：(1) 直线yx3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3）， 函数
13、yx3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5. (2) 直线yxb与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b）， 当b0时,，得b =4，此时，坐标三角形面积为； 当b0时，得b =4，此时，坐标三角形面积为. 综上，当函数yxb的坐标三角形周长为16时，面积为 点评：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标，求坐标三角形的三边长是解题的基础定义“四边形”例11（2007鄂尔多斯）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中
14、是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点），请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；图1图2（3）如图2，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，求证：，即四边形是勾股四边形解：（1）正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）（2）答案如图所示或 （3）证明：连结， ， ，即四边形是勾股四边形点评：本题考查勾股定理，及考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变从以上实例可以看出，解决这类问题首先应准确理解题目中定义的新概念、新公式、新运算、新法则、新方法，充分挖掘其本质，并从中获取新的数学公式、定理、性质、运算法则和解题思路，最后结合已有的知识加以解决这类试题对培养学生的阅读理解能力和独立获取新知识、解决新问题的能力有非常重要的作用为了能使学生很好地解答这类问题，在平时的教学中，教师应当多渗透这类试题，不断提高学生的阅读理解能力、数学学习能力和应用所学知识解决问题的能力
