1、2020 年全国高考（新课标年全国高考（新课标 II 卷）考前卷）考前 10 天名师押题压轴卷天名师押题压轴卷 理科数学理科数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1.已知集合 |2Ax x ，|1Bx x，则AB（ ） A.|2x x B.| 21xx C.|2x x D.|1x x 2.z是z的共轭复数，若2,2(zzzz ii为虚数单位) ，则z=（ ） A1 i B1i C1i D1i 3.设向量a、b的夹角为 ，且)1
2、 , 2( a，)3 , 2(2 ba，则 cos( )。 A、 5 52 B、 5 3 C、 5 5 D、 5 3 4.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了 2019 年手机市场每月出货量 以及与 2018 年当月同比增长的情况，得到如下统计图，根据该统计图，下列说法错误的是（ ） A2019 年全年手机市场出货量中，5 月份出货量最多 B2019 年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小 C2019 年全年手机市场总出货量低于 2018 年全年总出货量 D2018 年 12 月的手机出货量低于当年 8 月手机出货量 5.某市一次高三年级数学统测，经抽样分
3、析，成绩 X 近似服从正态分布 N（84，2）， 且 P （78X84）=0.3该市某校有 400 人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于 90 分的 人数为（ ） A60 B80 C100 D120 6.设 、 是两个不同的平面，则 的充要条件是( )。 A、平面 内任意一条直线与平面 垂直 B、平面 、 都垂直于同一条直线 C、平面 、 都垂直于同一平面 D、平面 内存在一条直线与平面 垂直 7.已知点4,3A，点B为不等式组 0 0 260 y xy xy 所表示平面区域上的任意一点，则AB的最小 值为（ ） A5 B 4 5 5 C 5 D 2 5 5 8.已知函数 2 )()(xxf
4、xg 是奇函数，当0 x时，函数)(xf的图象与函数xy 2 log 的图象 关于xy 对称，则 )2()1(gg( )。 A、13 B、 11 C、 9 D、 7 9.已知函数)2cos()( xxf(0 ， 2 | )的最小正周期为 ，将其图像向右平移 6 个 单位后得函数xxg2cos)( 的图像，则函数)(xf的图像( )。 A、关于直线 6 x对称 B、关于直线 3 2 x对称 C、关于点)0 , 3 2 ( 对称 D、关于点)0 , 12 5 ( 对称 10.已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体 ，CD是底 面圆O上的弦，COD为等边三角形，则异
5、面直线OC与PD所成角的余弦值为（ ） A 1 4 B 2 4 C 3 4 D 2 2 11.已知椭圆 2 2 1 2 :11 x Cym m 与双曲线 2 2 2 2 :10 x Cyn n 的焦点重合， 1 e、 2 e分别为 1 C、 2 C的离心率，则（ ） Am n 且 1 2 1ee Bmn且 1 1 1ee Cm n 且 1 2 1ee Dmn且 1 2 1ee 12.函数0ln)( 2 axxxxf恰有两个整数解，则实数a的取值范围为( )。 A、1 a B、 23 a C、12 a D、 2 2 2ln 3 3 3ln a 二、二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小
6、题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.定义在区间0,3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 . 14.在 5 1axx展开式中，x的偶数次幂项的系数之和为 8，则a_. 15.已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC 满足 6BABC ， 2 ABC ，若该三棱锥体积的最大值为 3则其外接球的体积为 . 16.在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做 成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为 6cm，高为 18cm（底部及 筒壁厚度忽略不计） ，一长度为2 85cm
7、 的圆铁棒 l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置 于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上.一位小朋友玩耍时，向笔筒内注水， 恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为_cm2. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答第考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17.（本小题满分 12 分）
8、 已知数列 n a满足13 1 naa nn ，ma 1 。 (1)试确定m的值，使得 n a为等差数列； (2)若1 m，求数列 n a的前n项和 n S。 18.绿水青山就是金山银山某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出 山村游等旅游项目为预估今年 7 月份游客购买水果的情况，随 机抽样统计了去年 7 月份 100 名游客的购买金额分组如下： 0,20)，20,40)，100,120，得到如图所示的频率分布直 方图： （1）请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额 （同一组中的数据用该组区间中点作代表） （2）若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元
9、的游客，称为“水果达人” 填写下面列联表，并根据列 联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？ 水果达人 非水果达人 合计 男 10 女 30 合计 （3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案方案一：每满 80 元可立减 10 元；方案二：金额超过 80 元可抽奖三次，每次中奖的概率为 1 2 ,且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中奖 2 次打 8 折， 中奖 3 次打 7 折若每斤水果 10 元，你打算购买 12 斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度 分析应该选择哪种优惠方案 附：参考公式和数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac
10、 bd ，na b cd .临界值表： 0 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 19.如图，三棱锥 PABC 中，PAPBPC 3，CACB 2，ACBC. (I)求点 B 到平面 PAC 的距离； (II)求二面角 CPAB 的余弦值. 20.已知函数 22 1 ( )ln1R 2 f xaxaxaxa. （1）讨论 ( )f x的单调性 （2）若 ( )0f xx 对1x 恒成立，求 a 的取值范围 21.已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 以抛物线 2 8yx的焦点
11、为顶点，且离心率为 1 2 . （1）求椭圆E的方程； （2）若直线: l ykxm与椭圆E相交于A、B两点，与直线4x相交于Q点，P是椭圆E上 一点且满足OP OA OB （其中O为坐标原点） ，试问在x轴上是否存在一点T，使得OP TQ为 定值？若存在，求出点T的坐标及OP TQ的值；若不存在，请说明理由. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、 、 、24 题中任选一题作答。如果多做，则按所题中任选一题作答。如果多做，则按所 做的第一题计分。做的第一题计分。 选修 41：几何证明选讲 22.如图，O 是ABC 外接圆，过O 上一点 H 作O 的切线，
12、BC 与这条切线平行，AC、AB 的延长线交这条切线于点 E、F，连接 AH、CH （）求证：AH 平分EAF； （）若 CH4，CAB60 ，求圆弧的长 22.在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程是 cos 2sin x y （为参数） 以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为曲线C上两点，且OAOB，设射线OA： 0 2 . （1）求曲线C的极坐标方程； （2）求OA OB的最小值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数|1|)(axxaxf (0 a)。 (1)当2 a时，求不等式4)( xf的解集； (2)如果对于任意实数x，1)( x
13、f恒成立，求a的取值范围。 2020 年全国高考（新课标年全国高考（新课标 II 卷）考前卷）考前 10 天名师押题压轴卷天名师押题压轴卷 理科数学理科数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1.已知集合 |2Ax x ，|1Bx x，则AB（ ） A.|2x x B.| 21xx C.|2x x D.|1x x 【答案】 ：A 【解析】 ：由并集的概念知，|2ABx x，故选 A 2.z是z的共轭复数，若2,2(zzzz ii
14、为虚数单位) ，则z=（ ） A1 i B1i C1i D1i 【答案】D 【解析】 试题分析：设, ,zabi zabi a bR，依题意有22, 22ab， 故1,1,1abzi . 考点：复数概念及运算 3.设向量a、b的夹角为 ，且)1 , 2( a，)3 , 2(2 ba，则 cos( )。 A、 5 52 B、 5 3 C、 5 5 D、 5 3 【答案】B 【解析】)2 , 4()1 , 2()3 , 2(22 baba，)1 , 2( b， 5 3 55 14 | cos ba ba ，故选 B。 4.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了 2019 年手
15、机市场每月出货量 以及与 2018 年当月同比增长的情况，得到如下统计图，根据该统计图，下列说法错误的是（ ） A2019 年全年手机市场出货量中，5 月份出货量最多 B2019 年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小 C2019 年全年手机市场总出货量低于 2018 年全年总出货量 D2018 年 12 月的手机出货量低于当年 8 月手机出货量 【答案】D 【解析】 【押题点】合情推理与数据分析与图表分析相结合 【详解】对于 A，由柱状图可得五月出货量最高，故 A 正确;对于 B，根据曲线幅度可得下半年波动 比上半年波动小，故 B 正确; 对于 C,根据曲线上数据可得仅仅四月五
16、月比同比高，其余各月均低于 2018 年， 且明显总出货量低于 2018 年，故 C 正确;对于 D，可计算的 2018 年 12 月出货量为 3044.41 14.7%3569.05，8 月出货量为3087.51 5.3%3260.33569.05，故 12 月更高， 故 D 错误, 5.某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩 X 近似服从正态分布 N（84，2）， 且 P （78X84）=0.3该市某校有 400 人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于 90 分的 人数为（ ） A60 B80 C100 D120 【答案】B 【解析】X 近似服从正态分布 N（84，2），P（78X84
17、）=0.3 P（X90）（12 0.3）=0.2， 该校数学成绩不低于 90 分的人数为 400 0.2=80故选 B 6.设 、 是两个不同的平面，则 的充要条件是( )。 A、平面 内任意一条直线与平面 垂直 B、平面 、 都垂直于同一条直线 C、平面 、 都垂直于同一平面 D、平面 内存在一条直线与平面 垂直 【答案】D 【解析】若 ，则平面 内存在直线与平面 不垂直，选项 A 不正确； 若平面 、 都垂直于同一条直线，则平面 与 平行，选项 B 不正确； 若平面 、 都垂直于同一平面，则平面 、 可以平行，也可以相交，选项 C 不正确； 若平面 内存在一条直线与平面 垂直，则根据面面垂
18、直的判定定理，可知 ， 若 ，则由面面垂直的性质定理知， 平面 内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面 ，故选项 D 正确； 故选 D。 7.已知点4,3A，点B为不等式组 0 0 260 y xy xy 所表示平面区域上的任意一点，则AB的最小 值为（ ） A5 B 4 5 5 C 5 D 2 5 5 【答案】C 【解析】 【押题点】目标函数为两点之间的距离的线性规划问题 【详解】作出不等式组 0 0 260 y xy xy 所表示的平面区域如下图所示： 联立 0 260 xy xy ，解得 2 2 x y ，由图知AB的最小值即为4,3A、2,2B两点间的距离， 所以AB的最小值为 2
19、2 423 25 .故选：C 8.已知函数 2 )()(xxfxg 是奇函数，当0 x时，函数)(xf的图象与函数xy 2 log 的图象 关于xy 对称，则 )2()1(gg( )。 A、13 B、 11 C、 9 D、 7 【答案】B 【解析】0 x时，)(xf的图像与函数xy 2 log 的图像关于xy 对称， 0 x时， x xf2)( ，0 x时， 2 2)(xxg x ， 又)(xg是奇函数，11)4412()2()1()2()1( gggg，故选 B。 9.已知函数)2cos()( xxf(0 ， 2 | )的最小正周期为 ，将其图像向右平移 6 个 单位后得函数xxg2cos)
20、( 的图像，则函数)(xf的图像( )。 A、关于直线 6 x对称 B、关于直线 3 2 x对称 C、关于点)0 , 3 2 ( 对称 D、关于点)0 , 12 5 ( 对称 【答案】D 【解析】由题意得 2 2 T，故1 ，)2cos()( xxf， xxxxg2cos) 3 2cos() 6 (2cos)( ， 又 2 | ， 3 ，) 3 2cos()( xxf， 令 1 3 2kx (Zk 1 )，解得 26 1 k x (Zk 1 )， 即)(xf的对称轴为 26 1 k x (Zk 1 )，经检验 6 x、 3 2 x都不符合， 令 2 23 2kx (Zk 2 )，解得 212
21、2 k x (Zk 2 )， 即)(xf的对称中心为)0 , 212 ( 2 k (Zk 2 )，经检验)0 , 3 2 ( 不符合，)0 , 12 5 ( 符合， 故选 D。 10.已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体 ，CD是底 面圆O上的弦，COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（ ） A 1 4 B 2 4 C 3 4 D 2 2 【答案】B 【解析】 【押题点】旋转体中的异面直线所成角的求解问题 【详解】设OPr，过点D作OC的平行线，与CD平行的半径交于点E，则 OEOCCDODr， 2PCPDr ，所以PDE为异面直线OC与P
22、D所成的角，在三 角形PDE中， 2PEPDr ，DEr，所以 2 2 cos 42 r PDE r .故选：B. 11.已知椭圆 2 2 1 2 :11 x Cym m 与双曲线 2 2 2 2 :10 x Cyn n 的焦点重合， 1 e、 2 e分别为 1 C、 2 C的离心率，则（ ） Am n 且 1 2 1ee Bmn且 1 1 1ee Cm n 且 1 2 1ee Dmn且 1 2 1ee 【答案】A 【解析】由于椭圆 1 C和双曲线 2 C的焦点重合，则 22 11mn ，则 22 20mn， 1m，0n，mn. 2 1 2 11 1 m e mm ， 2 2 2 11 1 n
23、 e nn ， 22 1 2 2222222222 1111111 111111 mn ee mnnmm nm nm n ， 故选：A. 12.函数0ln)( 2 axxxxf恰有两个整数解，则实数a的取值范围为( )。 A、1 a B、23 a C、12 a D、2 2 2ln 3 3 3ln a 【答案】D 【解析】)(xf的定义域为), 0( ， 0ln)( 2 axxxxf恰有两个整数解等价于x x x a ln 恰有两个整数解， 令x x x xg ln )(，定义域为), 0( ， 2 2 ln1 )( x xx xg ， 令 2 ln1)(xxxh ，易知)(xh为单调递减函数，
24、0)1( h， 则当10 x时0)( xh，0)( x g，)(xg在)1 , 0(上单调递减， 当1 x时0)( xh，0)( x g，)(xg在), 1( 上单调递增， 又1)1( g，2 2 2ln )2( g，3 3 3ln )3( g， 由题意可知：)2()3(gag ，2 2 2ln 3 3 3ln a，故选 D。 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.定义在区间0,3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 . 【答案】7 【解析】由 1 sin2coscos0sin 2 xxxx或，因
25、为0,3 x，所以 3551317 , 2226666 x 共 7 个 14.在 5 1axx展开式中，x的偶数次幂项的系数之和为 8，则a_. 【答案】 1 2 【解析】 【分析】设x的偶数次幂项的系数之和为A，奇数次幂项的系数之和为B，则 1 1 ABf A Bf ，解 得161Aa，得到答案. 【详解】设 5 1f xaxx展开式x的偶数次幂项的系数之和为A，奇数次幂项的系数之和 为B， 则 1 1 ABf ABf ，得 1 11161 2 Affa ，由8A得 1 2 a . 故答案为： 1 2 . 15.已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC 满足6BABC， 2
26、ABC ，若该三棱锥体积的最大值为 3则其外接球的体积为_. 【答案】 32 3 【解析】 【分析】画出示意图，利用体积最大时P所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积. 【详解】如图所示： 设球心为O，ABC所在圆面的圆心为 1 O，则 1 OO 平面ABC；因为 6BABC ， 2 ABC ，所以ABC是等腰直角三角形，所以 1 O是AC中点；所以当三棱锥体积最大时，P 为射线 1 OO与球的交点，所以 1 1 3 p ABCABC VPO S ；因为 1 663 2 ABC S，设球的半径 为R，所以 222 111 3POPOOORRAORR，所以 2 1 333 3 RR ，解 得
27、：2R ，所以球的体积为： 3 432 33 R . 16.在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做 成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为 6cm，高为 18cm（底部及 筒壁厚度忽略不计） ，一长度为2 85cm 的圆铁棒 l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置 于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上.一位小朋友玩耍时，向笔筒内注水， 恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为_cm2. 【答案】 1849 16 【解析】 【押题点】球与六棱柱体的结构特征与计算问
28、题 【详解】如图所示，六棱柱笔筒的边长为 6cm，高为 18cm，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対 棱的部分长 h 构成直角三角形，所以 2 22 8512h ，解得 h14，所以容器内水面的高度为 14cm， 设球的半径为 R，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为 r 22 633 3，球心到截面圆的距离 为 R4， 所以 R2（R4）2 2 3 3，解得 R 43 8 ；所以球的表面积为 4 2 431849 816 （cm2）. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必题为必 考题，每
29、个试题考生都必须作答第考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17.已知数列 n a满足13 1 naa nn ，ma 1 。 (1)试确定m的值，使得 n a为等差数列； (2)若1 m，求数列 n a的前n项和 n S。 【解析】(1)由ma 1 ，13 1 naa nn 可得ma 4 2 ，ma 3 3 ， 若数列 n a为等差数列，则 312 2aaa ， 即)3()4(2mmm ，解得 4 5 m， 此时 4 5 1 a， 4 11 2 a， 2 3 4 5 4 11 12 a
30、ad， 4 1 2 3 2 3 )1( 4 5 nnan， 13 4 1 )1( 2 3 4 1 2 3 1 nnnaa nn ， 故当 4 5 m时，数列 n a为等差数列； (2)当1 m时，由1 1 a，13 1 naa nn 可得： 当n为偶数时， nnn aaaaaaS 14321 )()()( 14321nn aaaaaa 1)1(3)133()113( n 2 )1(313 n n 4 23 222 )1(1 3 2 nnnnn ， 当n为奇数时， nnn aaaaaaS 14321 )()()( 154321nn aaaaaaa 1)1(3)153()123(1 n 2 1 )
31、1(5231 n n 4 123 2 1 2 1 2 )1(2 31 2 nnnnn ， 综上， 为偶数为偶数 为奇数为奇数 n n n n n n Sn , 24 3 , 4 1 24 3 2 2 。 18.绿水青山就是金山银山某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出 山村游等旅游项目为预估今年 7 月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年 7 月份 100 名游 客的购买金额分组如下：0,20)，20,40)，100,120，得到如图所示的频率分布直方图： （1）请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作 代表） （2）若
32、把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客，称为“水果达人” 填写下面列联表，并根据列 联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？ 水果达人 非水果达人 合计 男 10 女 30 合计 （3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案方案一：每满 80 元可立减 10 元；方案二：金额超过 80 元可抽奖三次，每次中奖的概率为 1 2 ,且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中奖 2 次打 8 折， 中奖 3 次打 7 折若每斤水果 10 元，你打算购买 12 斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度 分析应该选择哪种优惠方案 附：参考公式和数据： 2 2 () ()()()
33、() n adbc K ab cd ac bd ，na b cd .临界值表： 0 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 【答案】 （1）62 元 （2）见解析（3）方案二更划算 【解析】 （1)(10 0.005 30 0.007550 0.01070 0.012590 0.010110 0.005)20x 62 估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额为62元 （2）列联表如下： 水果达人 非水果达人 合计 男 10 40 50 女 20 30 50 合计 30 70 100 2 2
34、 100(10 302040) 4.7613.841 50 50 30 70 , 因此有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系 （3）若选方案一：则需付款10 1210110元； 若选方案二：设付款X元，则X可能取值为84，96，108，120 3 3 3 11 (84) 28 P XC ， 2 2 3 113 (96) 228 P XC ， 2 1 3 113 (108) 228 P XC ， 3 0 3 11 (120) 28 P XC ， 所以 1331 ()8496108120102 8888 E X 因为102110， 所以选择方案二更划算 19.（本小题满分 12 分）如图，三
35、棱锥 PABC 中，PAPBPC 3，CACB 2， ACBC. (I)求点 B 到平面 PAC 的距离； (II)求二面角 CPAB 的余弦值. 【解析】取 AB 中点 O，连接 OP，CO， CACB 2，ACB90 ， COAB，且 AB2，CO1.PAPB 3， POAB，且 POPA2AO2 2. PO2OC23PC2，POC90 ，即 POOC. OA，OC，OP 两两垂直. 如图所示，分别以 OA，OC，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则各相 关点的坐标为 A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0， 2). (1)设平面 PAC 的一个
36、法向量为 n(x，y，1)， 则 n AC 0， n PA 0. AC (1，1，0)，PA (1，0， 2)， xy0， x 20， ，xy 2， n( 2， 2，1).AB (2，0，0)， 点 B 到平面 PAC 的距离为 d|n AB | |n| 2 2 221 2 10 5 . (2)OC (0，1，0)是平面 PAB 的一个法向量，cosn，OC 2 1 221 10 5 . 综合图形可见，二面角 CPAB 的大小为锐角， 二面角 CPAB 的余弦值为 10 5 . 20.已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 以抛物线 2 8yx的焦点为顶点，且离心率为 1 2 . （
37、1）求椭圆E的方程； （2）若直线: l ykxm与椭圆E相交于A、B两点，与直线4x相交于Q点，P是椭圆E上 一点且满足OP OA OB （其中O为坐标原点） ，试问在x轴上是否存在一点T，使得OP TQ为 定值？若存在，求出点T的坐标及OP TQ的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2）存在，且定点T的坐标为 1,0. 【解析】 （1）抛物线 2 8yx的焦点坐标为2,0， 由题意可知2a，且 1 2 c e a ，1c ，则 22 3bac ， 因此，椭圆E的方程为 22 1 43 xy ； （2）设点 11 ,A x y、 22 ,B x y， 联
38、立 22 1 43 ykxm xy ，消去y并整理得 222 4384120kxkmxm ， 由韦达定理得 12 2 8 43 km xx k ，则 1212 2 6 2 43 m yyk xxm k ， 1212 22 86 , 43 43 kmm OPOAOBxxyy kk ，即点 22 86 , 43 43 kmm P kk ， 由于点P在椭圆E上，则 22 22 8161 1 434433 kmm kk ，化简得 22 443mk， 联立 4 ykxm x ，得 4 4 x ymk ，则点4,4Qmk， 设在x轴上是否存在一点,0T t，使得OP TQ为定值，4,4TQt mk ， 2
39、 22 8464218863 4342 km tm mkk tktmkmm OP TQ kmm 为定值， 则10t ，得1t ， 因此，在x轴上存在定点1,0T ，使得OP TQ为定值. 21.已知函数 22 1 ( )ln1R 2 f xaxaxaxa. （1）讨论 ( )f x的单调性 （2）若 ( )0f xx 对1x 恒成立，求 a 的取值范围 【解析】 （1） 2 1 ( )10 axxaa fxaaxx xx ， 当0a 时 ( )0, ( )fxf x 单调减区间为 0,，没有增区间， 当01a时，当 1 ,( )0axfx a ；当 1 0,( )0xaxfx a 或 . ( )f x单调增区间为0,a与 1 , a ，单调减区间 1 , a a . 当1a 时， ( )0fx 对0x 成立， ( )f x单调增区间为0,，没有减区间. 当1a 时，当 1 ,( )0xa fx a ；当 1 0xxa a 或时( )0fx. ( )f x单调增区间为 1 0, a 与 , a ，单调减区间为 1 ,a a . （2） ( )0f xx 即 22 1 ln0 2 axa xax ， 当0a 时ln x 2 1
