1、空间直角坐标系 习题（含答案） 一、单选题1已知， ，点在轴上且到、两点的距离相等，则点坐标为（ ）A B C D 2已知空间直角坐标系中点P(1，2，3)，现在轴上取一点Q，使得PQ最小，则Q点的坐标为( ).A (0，0，1) B (0，0，2) C (0，0，3) D (0，1，0)3如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE.则点M的坐标为()A (1,1,1) B 23,23,1C 22,22,1 D 24,24,14在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(
2、-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是()A 相交 B 垂直 C 不垂直 D 成60角5已知， ，若，则点的坐标为（ ）A B C D 6以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0C 3x-y+6=0 D 3x+y-2=07已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ABC的边AB上的中线所在的直线方程为（ ）A x+5y-15=0 B x=3 C x-y+1=0 D y-3=08下列命题中错误的是 ( )A 在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)B 在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定
3、是(0，b，c)C 在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)D 在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)9已知点A(4,1,3)，B(2，5,1)，C为线段AB上一点且ACAB=13，则点C的坐标为()A 72,-12,52 B 38,-3,2C 103,-1,73 D 52,-72,32二、填空题10已知点（4，m）到直线x+y-4=0的距离等于1，则m的值为 11已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为_12设向量a =(2,2m-3,n+2)，b =(4,2m+1,3n-2)，且ab，则ab的值为_13已知点A(-2, 3, 4), 在z
4、轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为_14棱长为2个单位的正方体，中，以为坐标原点，以， ， ，分别为， ， 坐标轴，则与的交点的坐标为_15在空间直角坐标系中,设A(m,1,3),B(1,-1,1),且AB=22,则m=_.16已知正方体的棱长为， ，点为的中点，则_17在空间直角坐标系中，点关于平面xOy的对称点坐标为_18设 ，则中点到C的距离 _.三、解答题19如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与x轴的正半轴交于点A，以点A为圆心的圆A：x-22+y2=r2r0与圆O交于B，C两点.（1）当r=2时，求BC的长；（2）当r变化时，求ABAC的最小值；（
5、3）过点P6,0的直线l与圆A切于点D，与圆O分别交于点E，F，若点E是DF的中点，试求直线l的方程. 20已知ABC的顶点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4) （1）若D为BC的中点，求线段AD的长 （2）求AB边上的高所在的直线方程21直线l过点P1,4，且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点，O为坐标原点.当OA+OB最小时，求l的方程；若PAPB最小，求l的方程.22在平面直角坐标系中，已知的顶点.（1）若为的直角顶点，且顶点在轴上，求边所在直线方程；（2）若等腰的底边为，且为直线上一点，求点的坐标.23求函数y=x2-8x+20+x2+1的最小值24如图所示的多面体
6、是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1（1）求BF的长；（2）求点C到平面AEC1F的距离.25如图,在底面为平行四边形的四棱锥O-ABCD中,BC平面OAB,E为OB中点,OA=AD=2AB=2,OB=5.(1)求证:平面OAD平面ABCD;(2)求二面角B-AC-E的余弦值.26已知曲线（为参数）和曲线（为参数）相交于两点，求两点的距离.27已知A（7，8），B（10，4），C（2，-4）三点，求ABC的面积.试卷第4页，总4页参考答案1C【解析】设点，则， ，点到、两点的距离相等，点坐标为本题选择C选项.2C【解析】【分析】
7、由题意设z轴上一点的坐标，由空间中两点间的距离公式可表示出两点间的距离，由函数的性质即可求出两点间的最短距离，并求出此时点Q的坐标.【详解】设z轴上任意一点Q的坐标为(0,0,c)，由空间中两点间的距离公式可得：|PQ|=12+22+(3-c)2，当c=3时取得最小值.故选C.【点睛】本题考查空间中两点间的距离，掌握空间内两点间的距离公式，会根据解析式求最值，注意计算的准确性.3C【解析】【分析】先根据线面平行的性质和中位线定理说明M为EF的中点，再根据中点坐标公式求M的坐标。【详解】设BDAC=O，连接EO，因为AM平面BDE，所以有EOAM，因为M为EF的中点，E（0，0，1），F(2,2
8、,1)，根据中点坐标公式得M(22,22,1)。答案选C【点睛】本题仅考查了线面平行的性质及空间中点坐标公式，比较简单基础。4B【解析】分析：由已知中向量AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),根据两个向量的数量积为0，两个向量垂直，即可判断出APAB且APAD，进而根据线面垂直的判定定理即可得到AP平面ABCD.详解：APAB=0,APAD=0, APAB，APAD，又 ABAD=A，AB、AD面ABCD，AP平面ABCD.故选：B.点睛：本题考查的知识点是向量表述线线垂直的关系，其中证得APAB且APAD是关键.5D【解析】设点为，又， 即, D点坐标 故
9、选：D6B【解析】试题分析：根据线段的中垂线过线段的中点，且与线段垂直，又kAB=3-11+5=13，所以线段的中垂线的斜率为-3，且线段的中点为(-2,2)，根据点斜式可以得出其方程为y-2=-3(x+2)，即3x+y+4=0，故选B考点：线段的中垂线方程7A【解析】由题可知AB的中点坐标为（0,3），又点C（5,2）所以中线的直线方程根据两点式可得：x+5y-15=08A【解析】空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)故选A.9C【解析】【分析】C为线段AB上一点，且3|AC|=|AB|，可得AC=13AB，利用向量的坐标运算即可得出【详解】C为线段AB上一点，且3|AC|=|
10、AB|，AC=13AB，OC=OA+13AB=（4，1，3）+13（2，6，2），=(103，-1，73)故选：C【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题10【解析】11【解析】圆的圆心C为，半径为，设圆上存在点 ，由 得，整理得 即实数表示点P与原点的距离，最小值为|OC|-r=1,最大值为|OC|+r=3，所以实数的取值范围为故答案为12168【解析】【分析】由题意，设a=b，得(2,2m-3,n+2)=(4,2m+1,3n-2)，根据坐标对应相等，列出方程组，求得,m,n的值，得到向量a,b的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解【详解】由题意，a/b，设
11、a=b， 又a =(2,2m-3,n+2)，b =(4,2m+1,3n-2)，所以(2,2m-3,n+2)=(4,2m+1,3n-2)即2=42m-3=2m+1n+2=3n-2 ，解得=12m=72n=6，则a=2,4,8,b=4,8,16.故ab=24+48+816=168.【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的坐标表示与向量共线的运算，以及向量的夹角公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题13（0,0,10）或（0,0-2）【解析】【分析】设z轴上任意一点B的坐标，由空间中两点间的距离公式列出方程，即可求得
12、坐标.【详解】设点B的坐标为：(0,0,c)，由两点间距离公式可得：|AB|=(-2)2+32+(4-c)2=7，解得：c=-2或10，所以B点的坐标为：(0,0,10)或(0,0,-2).【点睛】本题考查空间中两点间的距离以及在坐标轴上点的坐标的特点，由距离公式列式即可求得结果.14【解析】 设 即的坐标为151【解析】【分析】由两点间的距离公式列出等式，解方程即可求出参数值.【详解】由距离公式：|AB|=(m-1)2+22+22=22，解得：m=1.【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式，由公式列式，解方程即可得出结果.16【解析】由可知点为上靠近点的三等分点，如图所示，以点D为坐标原点建
13、立空间直角坐标系，则：， ，结合空间中两点之间距离公式有：.17【解析】由题意可得：点P（2，1，3）关于xoy平面的对称点的坐标是（2，1，3）故答案为：（2，1，3）18【解析】中点， 19（1）7（2）-2（3）x3y-6=0【解析】分析：（1）根据半径，得到圆A的标准方程；因为B、C是两个圆的交点，联立两个圆可得到两个交点坐标，利用两点间距离公式即可求得BC的长。（2）根据圆A关于x轴对称，可设B（x0,y0)、C（x0,-y0)，代入到圆O中，用y0表示x0；根据向量数量积的坐标运算，得到ABAC=2(x0-1)2-2，根据x0的取值范围即可得到ABAC的最小值。（3）取EF的中点G
14、，连结OG、AD、OF，可知ADP 与OGP 相似，根据中点性质和勾股定理，在RtOFG和RtADP中，联立方程求得r的值；设出直线方程，根据点到直线距离公式即可求出直线方程。详解：（1）当r=2 时，由x2+y2=4x-22+y2=2 得，B32,72, C32,-72, BC=7 （2）由对称性，设B（x0,y0)、C（x0,-y0)，则x02+y02=4所以ABAC=（x0-2)2-y02 =（x0-2)2-(4-x02) =2(x0-1)2-2因为-2x02，所以当x0=1时，ABAC的最小值为-2 （3）取EF的中点G，连结OG、AD、OF，则AD/OG则ADOG=APOP=PDPG
15、=46，从而OG=32r ，不妨记DE=2EG=2GF=2t，PD=6t在RtOFG中OF2=OG2+FG2即22=3r22+t2在RtADP中AP2=AD2+DP2即42=r2+6t2由解得r=2105 由题直线的斜率不为0，可设直线的方程为：x=my+6 ，由点A到直线l 的距离等于r 则|2-m0-6|1+m2=2105，所以m=3，从而直线l的方程为x3y-6=0点睛：本题考查了直线与圆、圆与圆之间的位置关系，根据向量的数量积求最值问题，结合点到直线距离求直线方程，综合性强，属于难题。20（1）65（2）x-7y-25=0【解析】分析：（1）由中点坐标公式可得D坐标，利用两点间距离公式
16、求得线段AD的长；（2）由斜率公式可得kAB，由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率，可得方程详解：(1)D为BC的中点，由中点坐标公式得到点D的坐标为（-1，-3）AD=(0+1)2+(5+3)2=65 （2）kAB=5-20-1=-7， AB边上的高斜率k， kABk=-1，则k=17AB边上的高过点C-3,-4AB边上的高线所在的直线方程为y-4=17x-3，整理得x-7y-25=0点睛：本题考查了直线方程的求法，关键是两点：定点与斜率.21（1）2x+y-6=0；（2）x+y-5=0【解析】【分析】设直线斜率，表示出直线方程，分别表示出|OA|,|OB|，根据基本不等式求出最值，由
17、等号成立条件求出斜率，进而求得直线方程；由两点间距离公式分别表示出两线段长，求出线段的积，结合基本不等式即可求出最值，由等号成立条件求出斜率，进而求得直线方程.【详解】依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-4=kx-1k0.令y=0，可得A1-4k,0；令x=0，可得B0,4-k.OA+OB=1-4k+4-k=5-k+4k=5+-k+4-k5+4=9.当且仅当-k=4-k且k0，即k=-2时，OA+OB取最小值，这时l的方程为2x+y-6=0. PAPB=4k2+161+k2=41-k+-k8k0当且仅当1-k=-k且k0，即k=-1时，PAPB取最小值，这
18、时l的方程为x+y-5=0.【点睛】本题考查直线方程与基本不等式求最值的条件，结合题意要首先判断斜率的正负，注意基本不等式等号成立的条件，也可以将此函数看作对勾函数解决问题.22（1）.（2）或.【解析】试题分析：（1）设，则， ，利用两点式可求边所在直线方程，注意化为一般式的直线方程；（2）因为为直线上一点，所以可设，利用两点间距离公式列方程，即可求出点的坐标.试题解析：（1）设，则，边所在直线方程，即.（2）设，则等腰的底边为，或，或.235【解析】【分析】可将函数化为两个两点间距离公式，由两点之间线段最短的几何意义，求出距离最小值点，将最小值点代入函数解析式即可求得函数最小值.【详解】原
19、式可化为y=x-42+0-22+x-02+0-12 考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|PB|最小作点A(4,2)关于x轴的对称点A(4，2)，由图可直观得出|PA|PB|PA|PB|AB|，故|PA|PB|的最小值为AB的长度由两点间的距离公式可得|AB|42+-2-12=5，所以函数y的最小值为5【点睛】本题考查函数的最值，将函数最值问题几何化，由解析式的几何意义，注意两点间距离的标准形式，注意对解析式变型时的计算的准确性.24（1）26；（2）43311【解析】【分析】以D为坐标原点，分别
20、以DA、DC、DF为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，（1）由AEC1F为平行四边形，运用向量的模的计算方法，可得BF的长度；（2）运用向量坐标运算计算点到平面的距离【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)设F(0，0，z)AEC1F为平行四边形， 由AEC1F为平行四边形，由=得，(-2，0，z)=(-2，0，2)，z=2F(0，0，2)=(-2，-4，2，于是|=2，即BF的长为2；(2)设为平面AEC1F的法向量，显然不垂直于平面ADF，故可设=(x，y，1)，即，
21、又=(0，0，3)，设与的夹角为a， 则cos=，C到平面AEC1F的距离为d=|cos=3=【点睛】本小题主要考查空间中的线面关系、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力25（1）见解析；（2）66【解析】【分析】(1)根据已知条件，判断出OABC与OAAB，进而判断平面和平面的垂直。(2)建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，求出两个平面的法向量，进而利用两个平面的法向量求出两个平面的二面角大小。【详解】(1)证明BC平面OAB,OA平面OAB,OABC.又OA=2AB=2,OB=5,在OAB中,OA2+AB2=OB2,OAAB,OA平面ABCD.又OA平面OAD,平
22、面OAD平面ABCD.(2)解由(1)知OA,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,分别以AD,AB,AO所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2,1,0),O(0,0,2),B(0,1,0),E0,12,1,AC=(2,1,0),AE=0,12,1.设平面AEC的法向量n=(x,y,z),则nAC=2x+y=0,nAE=12y+z=0,取x=1,得n=(1,-2,1).又平面ABC的法向量m=(0,0,1),cos=mn|m|n|=16=66.二面角B-AC-E的余弦值为66.【点睛】本题考查了平面与平面垂直的证明，利用空间法向量求二面角的大小，注意计算，属于
23、基础题。26.【解析】试题分析：把参数方程化为普通方程，解方程组可得两曲线的交点坐标，根据两点间的距离公式可得所求试题解析：曲线的普通方程为，曲线的普通方程为，由，解得或即两点的距离为2728【解析】【分析】由A、B两点坐标可求出直线AB的方程，并求出边|AB|的长度，由点C到直线AB的距离可求出三角形|AB|边上的高，进而求出面积.【详解】直线AB的方程为：4x+3y-52=0，边AB的长为：AB=5， 点C到边AB的距离d=8-12-5232+42=565所以 SABC=125565=28【点睛】本题考查直线方程与点到直线距离公式的应用，结合三角形面积的求法找出所需要的量即可，本题可以利用任意一条边长与其对应的高求面积.答案第13页，总13页
