1、奇偶性 习题（含答案） 一、单选题1若x ，yR，且f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x)满足()A f(x)为增函数且为偶函数 B f(0)=0且f(x)为偶函数C f(x)为增函数且为奇函数 D f(0)=0且f(x)为奇函数2下列函数是偶函数的是()A f(x)=x3 B f(x)=|x| C f(x)=x+1x D f(x)=x2+2x3函数f(x)=xlnx2的图象大致是()A B C D 4下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ()A y=1+x2 B y=x+ex C y=x+1x D y=2x+12x5下列函数在定义域内是奇函数且单调函数的为()A y=-1x
2、B y=x2 C y=x+1x D y=-x|x|6下列函数为奇函数的是（ ）A f(x)=x3+3x2 B f(x)=2x+2-x C f(x)=xsinx D f(x)=ln3+x3-x7已知函数fx是奇函数，当x0时，fx=xlnx，则x0的解集为_.14已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2ax+a，其中aR f(-12)=_；若f(x)的值域是R，则a的取值范围是_15已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=x3+x2+1,则f(1)-g(1)=_三、解答题16已知定义在R上的偶函数y=f(x)，当x0时，f(x)=x
3、x+1；（1）判断函数f(x)在0,+)上的单调性，并用单调性定义证明；（2）解不等式：f(2x-1)0时,fx=x3-2x.（1）求fx的解析式.（2）若对任意的tR,不等式ft2-2t+f(2t2-k)0恒成立,求实数k的取值范围.试卷第3页，总3页 参考答案1D【解析】【分析】根据题意，用特殊值法分析：令x=y=0 可得：f0=f0+f0，变形可得f0 的值，再令x=-y可得：f0=fx+f-x=0，即f-x=-f-x，即可得函数的奇偶性，综合可得答案【详解】解：根据题意，若x，yR，且f(x+y)=f(x)+f(y)，当x=y=0可得：f(0)=f(0)+f(0)，变形可得f(0)=0
4、，令x=-y可得：f(0)=f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(-x)，函数f(x)为奇函数；故选：D【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性的判断，注意用特殊值法分析，属于基础题2B【解析】【分析】对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论【详解】对于A，函数f(x)=x3为奇函数，所以A不正确对于B，函数f(x)=|x|为偶函数，所以B正确对于C，函数f(x)=x+1x为奇函数，所以C正确对于D，函数f(x)=x2+2x为非奇非偶函数，所以D不正确故选B【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的关键是熟记一些常见函数的性质，属于基础题3A【解析】【分析】直接利用函数的奇偶性及特殊值对应
5、点的坐标判断选项即可【详解】由题意知，f(x)=f(-x)可知函数为奇函数，排除C、D,当x=1e时，函数f（1e）=1e2ln1e0时函数解析式；代入x的值求得点的坐标，利用导数求得切线的斜率，结合直线的点斜式即可求得切线方程。【详解】因为函数fx是奇函数，且当x0，则-x0,fx=xlnx-x+1所以fx=lnx ，则k=fe=lne=1而fe=1，所以切点为e,1 所以切线方程为y=x-e+1 所以选D【点睛】本题考查了函数解析式的求法，过曲线上一点切线方程的求法，属于基础题。8A【解析】【分析】利用函数奇偶性定义首先判断函数奇偶性，再根据：增函数+增函数=增函数可判断函数是增函数.【详
6、解】已知函数f(x)=ex-e-xf-x=e-x-ex=-fx 则函数为奇函数；y=ex 是增函数，y=-e-x 是增函数；则函数f(x)=ex-e-x是增函数；故选A【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，是基础题；意在考查函数奇偶性、单调性的判断方法，是考试中常见题型.9B【解析】【分析】设x0由奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出x0函数f（x）的解析式，【详解】设x0，所以f-x=-xln-x.又因为fx是定义在R上的奇函数，所以f-x=-fx，所以fx=xln-x.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.10B【解析】【分析】根据恒成立问题转化为对应函数最值
7、问题，再根据一次函数单调性转化为对应不等式组，最后解得结果.【详解】因为对所有的x1,1都满足f(x)t22at1，所以f(x)maxt2-2at+1，因为奇函数f(x)在1,1上是增函数，且f(1)1，所以f(x)max=f(1)=-f(-1)=1，即1t2-2at+1,0t2-2at，因为对任意的a1,1都满足0t2-2at,所以0t2-2t0t2+2tt=0或t2或t-2，选B.【点睛】不等式有解问题与恒成立问题，都可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)a恒成立a0|x+3|3，即x-2,0)(0,2，此时x+30恒成立f(x)=4-x2xf(-x)=-4-x2x=-f(x
8、)f(-a)=-f(a)=4故答案为412-2【解析】【分析】根据偶函数的定义可得f(-x)=f(x)，由此可求得a=-2【详解】函数f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)，即-a+1x+log21+4-x+2=(a+1)x+log2(1+4x)+2，整理得2(a+1)x=log21+4-x-log21+4x=log21+4-x1+4x=log24-x=-2x，2(a+1)=-2，解得a=-2故答案为-2【点睛】解答类似问题时，要先根据奇偶性的定义得到恒等式，经过变形后比较系数可得所求的参数的值，对于选择题和填空题来说，也可以利用特殊值的方法来求解13-2,00,2【解析】【分析】不等式f(x
9、)x0等价于xfx0，可得x0fx0或x0fx0x2和x-2，从而可得结果.【详解】函数fx为奇函数，且在-,0上单调递减，fx在0,+上单调递减，即函数fx为奇函数，且在-,+上单调递减，不等式f(x)x0等价于xfx0，函数fx为奇函数，且f2=0,f-2=-f2=0xfx0可变形为x0fx0=f2（1）或x0fx0x20x2；不等式组（2)的解为x-2-2x0的解集为-2,00,2，故答案为-2,00,2.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的
10、单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.14-14 (-,01,+) 【解析】【分析】利用奇函数的定义，计算即可得到所求的值；由fx的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与x轴的交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到答案.【详解】由题意，函数fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fx=x2-2ax+a，则f(-12)=-f(12)=-(12)2-2a12+a=-14；若函数fx的值域为R，由函数的图象关于原点对称，可得当x0时，函数fx=x2-2ax+a的图象与x轴有交点，则=(2a)2-4a0，解得a0或a1，即实数a的取值范围是(-
11、,01,+).【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，及函数的值域的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和合理利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.151【解析】【分析】已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则令x=-1即可.【详解】令x=-1,则f-1+g(-1)=1 已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f1-g1=1【点睛】本题考查利用函数奇偶性定义求值，属于基础题，解题中要熟练掌握函数奇偶性定义，认真审题,灵活应用.16（1）见解析；（2）-1x2. （若分类讨论，直接解分式不
12、等式也可，参照上述标准分步给分）【解析】【分析】（1）不妨设x1x2，再作差fx1-fx2，通分合并，最后根据自变量范围确定各因子符号，得差的符号，结合单调性定义作出判断；（2）函数f(x)是偶函数，由（1）可知函数f(x)在0,+)上单调递增，在-,0上单调递减，f(2x-1)f(3)转化为2x-1x2f(x1)-f(x2)=x1x1+1-x2x2+1 f(x1)-f(x2)=x1x1+1-x2x2+1=x1-x2(x1+1)(x2+1)0 函数f(x)在0,+)上单调递增（2）函数f(x)是偶函数，由（1）可知函数f(x)在0,+)上单调递增，在-,0上单调递减 2x-13即可 -1xx1
13、；（2）作差fx2-fx1；（3）判断fx2-fx1的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），fx2-fx10 可得fx在已知区间上是增函数，fx2-fx10-ax2-1x0，n0可得结论【详解】fx是偶函数,则Fx=ax2+1x0-ax2-1x0，n0，m-n0， 又Fm+Fn=fm-fn=am2+1-an2-1=am2-n20，Fm+Fn恒大于零【点睛】本题主要考查的知识点是函数奇偶性的性质，二次函数的性质以及分段函数的应用，属于中档题。18（1）f(x)=x2-6x+8 （2）0【解析】【分析】（1）根据函数周期性的定义即可证明f（x）是周期函数,再根据函数奇偶性和周期性的关系即可求
14、出当x2，4时f（x）的解析式.（2）根据函数的周期性先计算一个周期内的函数值之和，即可计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2019)的值【详解】：（1）将f(x)=-f(4-x)中的x用-x代换得f(-x)=-f(x+4)，又f(x+2)=f(-x)得f(x+4)=-f(x+2)，将x用x-2替换得f(x+2)=-f(x)所以周期为4，由f(x)=-f(4-x)得函数f(x)的对称中心是(2,0)，此函数是奇函数，在-2.0的解析式为f(x)=-f(-x)=x2+2x，向右移4个单位得f(x)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8（2）f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3
15、)=-1，由周期是4知f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5044+3)=f(1)+f(2)+f(3)=0【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数周期性的定义以及函数奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键19（1） 1 ； （2）k-13.【解析】【分析】（1）由f(0)=a-220+1=0可得结果；（2）先根据复合函数的单调性判断出f(x)=1-22x+1递增，结合奇偶性可将ft2-2t+f2t2-k0转化为ft2-2t3t2-2t，利用二次函数的性质求出3t2-2t的最小值，从而可得结果.【详解】（1）f（x）为R奇函数，f（0）=0，f(0)=a-220+1=0，解得a
16、=1，（2）因为y=2x+1递增，Y=1-2y递增，所以f(x)=1-22x+1递增，f（x）为奇函数，由不等式f（t22t）+f（2t2k）0化为f（t22t）f（2t2k），即f（t22t）f（k2t2）， 又f（t）为增函数，t22tk2t2，3t22tk当t=13 时，3t22t有最小值13，k-13.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由fx+f-x=0 恒成立求解，（2）偶函数由 fx-f-x=0 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由f0=0 求解，偶函数一般由f1-f-1=0求解，用特殊法
17、求解参数后，一定要注意验证奇偶性.20（1）fx=x3-2x,x00,x=0x3+2-x,x0；（2）k-13【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数可求得当x0时的解析式，再根据f(0)=0可得所求（2）由题意可得函数fx在R上单调递减，然后根据不等式ft2-2t+f(2t2-k)0对任意tR恒成立，利用判别式可得所求的范围【详解】(1) 当x00,x=0x3+2-x,xf(0)=0，函数fx在R上单调递减 ft2-2t+f(2t2-k)0，ft2-2t-f(2t2-k)，函数fx是奇函数，f(t2-2t)k-2t2对任意tR恒成立，3t2-2t-k0对任意tR恒成立，=4+12k0，解得k-13实数k的取值范围为(-,-13)【点睛】一元二次不等式恒成立问题的解法（1）一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题，可根据函数图象（抛物线）的开口方向和判别式的符号求解（2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，可利用分离参数法求解，即将欲求范围的参数分离到不等式的一边，通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围一般地，af(x)恒成立时，应有af(x)max；af(x)恒成立时，应有af(x)min答案第12页，总12页
