1、 第八章 多元函数的微分法及其应用 1 多元函数概念 一、设.二、求下列函数的定义域：1、 2、 三、求下列极限： 1、 （0） 2、 () 四、证明极限 不存在.证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着趋于（0，0）时，极限为, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数 在整个xoy面上连续。 证明：当时，。当时， ，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy面上连续。六、设且当y=0时，求f(x)及z的表达式. 解：f(x)=，z 2 偏导数1、设z= ,验证 证明：，2、求空间曲线在点（）处切线与y轴正向夹角()3、设, 求 ( 1)4、设, 求 ， ， 解： ， 5、设
2、，证明 : 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由 连续； 不存在， 7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 （2fx(a,b)） 3 全微分1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 _ (A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是_ (A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在 （C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在
3、2、求下列函数的全微分：1） 2） 解： 3） 解：3、设， 求 解： =4、设 求： 5、讨论函数在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性解： 所以在（0，0）点处连续。 ，所以可微。 4 多元复合函数的求导法则1、 设，求 解：=2、 设，求 3、 设， 可微，证明 4、 设，其中具有二阶连续偏导数，求， 解： , , = ,5、 设，其中具有二阶连续偏导数、具有二阶连续导数，求解： ， 6、 设，求解：。7、设，且变换 可把方程=0 化为 ， 其中具有二阶连续偏导数，求常数的值 证明： 得： a=38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,又， 求 和 (1) ,
4、 (a+ab+ab2+b3) 5 隐函数的求导公式1、 设，求解：令，2、 设由方程确定，其中可微，证明 3、 设由方程所确定，其中可微，求 4、 设，求， ( ，)5、 设由方程所确定，可微，求解：令 ，则6、设由方程所确定，求 ()7、设z=z(x,y)由方程 所确定，求, , , 6 微分法在几何中的应用1、 求螺旋线 在对应于处的切线及法平面方程解：切线方程为 法平面方程2、 求曲线 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 解：切线方程为 ，法平面方程：3、 求曲面在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为 及法线方程4、 设可微，证明由方程所确定的曲面在任一点处的切平面与
5、一定向量平行证明：令，则 ，所以在（）处的切平面与定向量（）平行。5、 证明曲面）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为证明：令，则 在任一点处的切平面方程为 在在三个坐标轴上的截距分别为在三个坐标轴上的截距的平方和为证明曲面上任意一点处的切平面都通过原点7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有 k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ： 两边对t 求导，并令t=1 设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为： +=0 此平面过原点（0，0，0） 7 方向导数与梯度1、 设函数， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。2）在点
6、（1，3）处沿着方向的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为 , 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达到 最小值的方向为。2、 求函数在（1，2，-1）处沿方向角为的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。解：方向导数 为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 ，此时最大值为 3、 求函数在（1，1，-1）处沿曲线在（1，1，1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。解：，该函数在点（1，1，-1）处的方 向导数为，4、求函数在（1，1，-1）处的梯度。解：， 8 多元函数的极值及求法 1、求函数的极值。 答案：（，）极小值点 2求函
7、数的极值 答案：极小值 3. 函数在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5) 4、 求函数在条件下的条件极值解： ，极小值为5、 欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。（长和宽2米，高3米）6、 在球面（）上求一点，使函数 达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证明 有证明：令令，解得驻点。所以函数在处达到极大值。极大值为。即，令得。 7、求椭球面被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的 长度解： ， 长半轴 ， 短半轴 第八章 自测题一、选择题：（每题2分，共14分）1、设有二元函数 则 A、存
8、在；B、不存在；C、存在， 且在(0,0)处不连续；D、存在， 且在(0,0)处连续。2、函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的 A、必要条件； B、充分条件；C、充要条件； D、既非必要也非充分条件。3、函数 在(0,0)点处 A、极限值为1； B、极限值为-1；C、连续； D、无极限。4、在处，存在是函数在该点可微分的 （A）必要条件； （B）充分条件； （C）充要条件； （D）既非必要亦非充分条件。5、点是函数的 （A）极小值点； （ B）驻点但非极值点；（C）极大值点； （D）最大值点。6、曲面在点P(2,1,0)处的切平面方程是 （A）； （B）；（C）； （D）7、已知函数均有一阶
9、连续偏导数，那么 (A); (B) ;(C) ; (D) 二、填空题：（每题分，共18分）1、 （ 0 ）、设，则（ ）、设则( 0 )、设，则在点处的全微分.、曲线在点处的切线方程为( )、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为( )三、计算题（每题6分）1、设，求的一阶偏导数 ， 。2、设，求此函数在点处的全微分。并求该函数在该点处沿着从 P到方向的方向导数( ，)、设具有各二阶连续偏导数，求解：、设 求和。 不存在，故不存在，同理，也不存在。 当时，有 、设由方程所确定，求 ( )、设，具有连续的二阶偏导数，可导，求 、设确定函数，求。 、设，式中二阶可导，求解：记，则，类似地，有四、（分
10、）试分解正数为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。设三个正数为，则，记，令则由 解出。五、证明题：（分）试证：曲面上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中连续可导。证明：曲面在任一点处的切平面的法向量为定直线L的方向向量若为，则，即则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。第九章 重积分 1 二重积分的概念与性质1、 由二重积分的几何意义求二重积分的值 其中D为： ( =)2、 设D为圆域若积分=，求a的值。解： = 3、 设D由圆求 解：由于D的面积为, 故=4、设D：， ，比较, 与的大小关系解：在D上， ,故5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 和曲面所围的
11、立体的体积，可用二重积分表示为6、根据二重积分的性质估计下列积分的值 ()7、设f(x,y)为有界闭区域D：上的连续函数，求 解：利用积分中值定理及连续性有 2 二重积分的计算法1、设，其中D是由抛物线与直线y=2x，x=0所围成的区域，则I=（ ） A ： B ： C ： D ： 2、设D是由不等式所确定的有界区域，则二重积分为 （ ）A ：0 B： C ： D： 13、设D是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 为（ ） A： B ： C ： D：4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分为（ ） A B C D 5、设有界闭域D1、D2关于oy轴对称，f是域
12、D=D1+D2上的连续函数，则二重 积分为（ ） A B C D 6、设D1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|1 上的连续函数，则二重积分为（ ） A B C D 7、.设f(x,y)为连续函数，则为( ) A B C D 8、求 ，其中 由x=2,y=x,xy=1所围成. ()9、设I=,交换积分次序后I为： I=10、改变二次积分的次序： = 11、设 D=(x,y)|0x1,0y1 ,求的值 解：=12设 I=,其中D是由x2+y2=Rx所围城的区域，求I ()13、计算二重积分，其中D是圆域 解：=14、计算二重积分，其中D=(x,y)| 0x
13、1,0y1 解： =15、计算二重积分，D： 解：= 3 三重积分1、设是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则为( ) A B C D 2、设是由曲面x2+y2=2z ,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分表示为累次积分，I=（ ） A B C D 3、设是由所确定的有界闭域，求三重积分 解：=24、设是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求 (1/364) 5、设是球域：，求 (0) 6、计算 其中为：平面z=2与曲面所围成的 区域 ()7、计算其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域(2/27) 8、
14、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求 解：= 4 重积分的应用1、(1)、由面积=2x, =4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（ ） A B C D (2) 、位于两圆与之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( ) A (0,) B (0,) C (0,) D (0,)(3)、由抛物面和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 （ ） A () B () C () D ()(4)、 质量分布均匀(密度为)的立方体所占有空间区域:,该立方体到oz轴的转动惯量IZ=( ) A B C D 2、求均匀上半球体(半径为R)的质心解：显然质心在z轴上，故x=y=0,z= 故质心为(0,0
15、,)4、 曲面将球面分割成三部分，由上至下依次记 这三部分曲面的面积为 s1, s2, s3, 求s1:s2:s3 解： 5、求曲面包含在圆柱内部的那部分面积 解：6、求圆柱体包含在抛物面和xoy平面之间那部分立 体的体积 解： 第九章 自测题一、选择题: （40分） 1、=( ) A B C D. 2、设为,当( )时,. A 1 B C D 3、设,其中由所围成,则=( B ). A B; C D. 4、设是由三个坐标面与平面=1所围成的空间区域,则 =( ). A B C D . 5 、设是锥面与平面所围成的空间区域在第一卦限的部分,则=( ). A B C D . 6、计算,围成的立体
16、,则正确的为( )和（） A B C D . 7、曲面包含在圆柱内部的那部分面积( ) A B C D . 8、由直线所围成的质量分布均匀(设面密度为)的平面薄板,关于轴的转动惯量=( ). A B C D 二、计算下列二重积分:（20分） 1、,其中是闭区域: ()2、,其中是由直线及圆周,所围 成的在第一象 限内的闭区域 . () 3、,其中是闭区 域: ( )4、,其中:. ()三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分） 1、 () 2、 () 3、 ()四、计算下列三重积分:（15分） 1、:抛物柱面所围成的区域 ()2、其中是由平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与 平面所围
17、 ()五、（5分）求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积 . ()六、（5分）设在上连续,试证: = 第十章 曲线积分与曲面积分 1 对弧长的曲线积分1设 关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数时， A.0 B. C. D.ABC都不对2、设是以点为顶点的正方形边界,则= A. 4 B.2 C. D. 3、有物质沿曲线：分布，其线密度为，则它 的质量 A. B. C. D.4求其中L为由所围区域的整个边界解：5其中L为双纽线解：原积分=6 其中L为原积分=7其中L为球面与平面的交线解：将代入方程得于是L的参数方程：，又原积分=8、求均匀弧 的重心坐标， 2 对坐标的曲线积分一、选择题1
18、.设关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数 时， A.0 B. C. D.ABC都不对2设为的正向，则 A.0 B.4 C.2 D.-23为的正向， A.2 B.-2 C.0 D. 二、计算1，其中由曲线从 到方向解： 2 其中是正向圆周曲线 解： 由奇偶对称性，： 3其中为从点到的有向线段 解：方程：，三、过和的曲线族，求曲线使沿该曲线从到的积分的值最小解：。 最小，此时 四、空间每一点处有力，其大小与到轴的距离成反比，方向垂直指向轴，试求当质点沿圆周从点到时，力所作的功解：由已知五、将积分化为对弧长的积分,其中L 沿上半圆周解：，于是 3 格林公式及其应用一、选择题1.若是上半椭圆
19、取顺时针方向,则 = A.0 B. C. D 2. 设为的正向，则 A2 B.-2 C.0 D.3.设为曲线的正向，则A9 B.-18 C. -9 D.0 二、计算题1.设是圆取逆时针方向，则 解：将方程代入被积函数在由格林公式得 2其中为点到的抛物线 的弧段解：因故积分与路径无关，取3求，为(1) (2) 正方形边界的正向解：(1)直接用格林公式=0 (2) 设为圆周：取逆时针方向，其参数方程 原积分为所以4、验证在面上是某函数的全微分，求出解：， 5、设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且 ，计算的值解：取路径：沿从到；再沿从到则或 4 对面积的曲面积分1、计算曲面积分 ，其中是平面
20、在第一卦限的部分 解：2、求曲面积分 ，其中是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面 解： =23、求曲面积分 ，其中是锥面被柱面 所截得的有限部分 解：= 5 对坐标的曲面积分一、选择题1.设关于面对称反向，是在面的前侧部分，若关于为偶函数，则（ ） A.0 B. C. D.ABC都不对2.设取上侧,则下述积分不等于零的是（ ）A B C D 3.设为球面取外侧,为其上半球面,则有（ ） A. B. C. D. 0二、计算1其中由及三个坐标面所围成闭曲面的外侧2其中为锥面被平面所截部分的外侧 3.其中为被平面所截部分，其法向量与z轴成锐角 三、用两类曲面积分之间的关系计算1 求其中是柱面在部分，
21、是的外法线的方向余弦 2其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧 =四、试求向量穿过由及及所围成圆台外侧面（不含上下底）的流量 6 高斯公式1. 设是抛物面介于及之间部分的下侧，求 2设为取外侧,求 3.设为平面在第一卦限部分的上侧，则=4.求矢量场穿过曲面所围成的闭曲面外侧的通量 5. 求，其中有连续的二阶导数，是 所围立体的外侧 6.求 ，其中是 及所围曲面的外侧7.，其中为取外侧 7 斯托克斯公式 1、设为依参数增大方向的椭圆：，求 （0）2设为平面与坐标面交线，从z轴看去为逆时针方向，求 （2）3.设为圆周若从轴正向看依逆时针方向，则 （） 4、其中为圆周若从轴正向看依逆时针方向。5
22、 ,其中为曲线从轴正 向看依逆时针方向。6 ,其中为椭圆 若从x轴正向看，此椭圆依逆时针方向。第十章 自测题一、填空（每题4分，共20分）1、设平面曲线为下半圆周，则曲线积分 （）2、设为椭圆，其周长为,则(12)3、设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分（）4、设 是由锥面与半球面围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则5、设为球面外侧，则曲面积分 （0）二、选择题（每题5分，共15分）1、 设是在第一卦限部分.则有 A B.C. D.2、设取上侧，则下述积分不正确的是A B. C. D.3、设L是从点(0,0)沿折线、y=1-|x-1|至点A(2,0)的折线段，则曲线积分 为（ ） A
23、 0 B -1 C 2 D 2 三、计算（每题8分）1计算曲面积分，其中为锥面在柱体 内的部分 2、过和的曲线族，求曲线使沿该曲线从到的积分的值最小 解：。 最小，此时 3、计算曲线积分，其中是以为中心，为半径的圆周（取逆时针方向） 解：设为圆周：取逆时针方向，其参数方程原积分为4、计算其中L是平面与柱面的交线，从z轴正向看上去为逆时针方向.（-24）5计算曲面积分 其中是曲面 的上侧。 （-） 6计算曲面积分其中S是由曲面与两平面围成立体表面的外侧 （） 7设S是椭球面的上半部分，点,为S在点P处切平面, 为点到切平面的距离,求 （）四、（9分）在变力作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 第
24、一卦限的点，问取何值时，力所作的功最大？求出的最大值。 （ 第十一章 无穷级数 1 常数项级数的概念和性质1、 设级数，则其和为（ ） A B C D 2、 若，则级数（ ） A 收敛且和为0 B 收敛但和不一定为0 C 发散 D 可能收敛也可能发散3 、若级数收敛于S，则级数（ ） A 收敛于2S B收敛于2S+ C收敛于2S- D发散4、若，,求 的值解： 所以5、若级数收敛，问数列是否有界 解：由于，故收敛数列必有界。6、若，求级数的值 解： 故7、求的值 解：故=8、求 的和 ( 2 常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、 判定级数 的敛散性
25、解：由于,而级数发散，故发散3、 判定敛散性 收敛; 1, 发散4、 判定敛散性 (收敛); 二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性5、 判定级数的敛散性 解：1,所以发散6、 判定级数的敛散性 解：，所以收敛 7、 收敛 8、 ， 收敛三、判别下列级数是否收敛。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？7、 （绝对收敛）10、 （条件收敛）四、判定是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛解：|，用比值判别法知,所以绝对收敛 3 幂级数1、设幂级数在x=3处收敛，则该级数在x=-1点处（ ）A 绝对收敛 B 条件收敛 C发散 D 可能收敛也可能发散2、级数的收敛域 （0，43、 求幂级数的收敛半径
26、 （）4、若级数在x=-2处收敛，则此级数在x=5处是否收敛，若收敛，是否绝对收敛 （绝对收敛 ）5、求幂级数的收敛域解：首先判断其收敛区间为（-7，-3），当x=-7、-3时，级数发散，所以级数的收 敛域为（-7，-3）6、求幂级数的收敛域解：首先求得收敛区间为（-3，3），而级数在x=-3处发散，在x=3处收敛，所以 收敛域为（-3，3 7、求幂级数的和函数 （ -1x1）8、求幂级数的和函数解： = （-1x-1） 4 函数展开成幂级数1、 将函数f(x)=展开成x的幂级数解：f(x)=由展开式可得f(x)= x2、 将函数f(x)=展开成x的幂级数解： 而= x两边积分得 x3、将函数
27、f(x)=展开成x的幂级数解：f(x)=4、将函数f(x)=展开成x-5的幂级数解： f(x)= = x5、解：= x 5函数幂级数展开式的应用1、 计算ln2的进似值（要求误差不超过0.0001）解：在lnx的幂级数展开式中令x=2 ln2=1- 考虑误差范围可求得ln22、 计算定积分的进似值（要求误差不超过0.0001）解：= = 再考虑误差范围可求得3、 计算积分的进似值，（要求误差不超过0.0001） 再考虑误差范围可求得 7 傅里叶级数1、 设f(x)是周期为的周期函数，它在-上的表达式为f(x)= 试将f(x)展开成傅立叶级数解： b=再将所求得的系数代入傅立叶级数可得傅立叶级数
28、展开式2、 将函数展开成正弦级数 3、 将函数展开成正弦级数和余弦级数 8 一般周期函数的傅立叶级数1、 将f(x)=2+|x|(-1展开成以2为周期的傅立叶级数后求的值 解：展开f(x)= 代x=0得 =+ 得 2、 将f(x)=x-1(0)展开成周期为4的余弦级数解： f(x)= (0)3、 将f(x)=x-1(0)展开成周期为4的正弦级数的和函数为s(x)，求s(8)解：s(8)=s(0)=4、设f(x)=，S(x)= ,其中=2求S(解：S(=S(= 第十一章 自测题一选择题:（40分）1、下列级数中,收敛的是( ). (A)； (B)； (C)； (D).2、下列级数中,收敛的是(
29、). (A) ； (B)； (C)； (D).3、下列级数中,收敛的是( ) (A)； (B)； (C) ； (D).4、部分和数列有界是正项级数收敛的( ) (A)充分条件； (B)必要条件； (C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件5、设为非零常数,则当( )时,级数收敛 . (A)； (B)； (C)； (D)6、幂级数的收敛区域是( ). (A) ；(B) ； (C) （0,2） (D) 0,27、是级数收敛的( ) (A)充分条件； (B)必要条件； (C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .8、幂级数的收敛区间是( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) .二、 （8分）判别下列级数的收敛性 1、； 2、三、（6分）判别级数的敛散性 .四、（6分）求极限 . 五（8分）求下列幂级数的收敛区间: 1、； 2、.六（6分）求幂级数的和函数 . 七（6分）求数项级数的和 . 八（6分）试将函数展开成.九（6分）设是周期为的函数,它在上的表达式为 将展开成傅立叶级数 . 十（8分）将函数分别展开成正弦级数和余弦级数 .
