1、线性代数习题集（含答案）第一章【1】填空题（1） 二阶行列式=_。（2） 二阶行列式=_。（3） 二阶行列式=_。（4） 三阶行列式=_。（5） 三阶行列式=_。答案：1.ab(a-b)；2.1；3.；4.；5.4abc。【2】选择题（1）若行列式=0，则x=（）。A-3； B-2； C2； D3。（2）若行列式，则x=（）。A -1，； B 0，； C 1，； D 2，。（3）三阶行列式=（）。A -70； B -63； C 70； D 82。（4）行列式=()。A；B；C；D。（5）n阶行列式=（）。A0；Bn！；C（-1）n！；D。答案：1.D；2.C；3.A；4.B；5.D。【3】证明
2、答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135（2n-1）246（2n）；（2）246（2n）135（2n-1）。答案：（1）n（n-1）；（2）n（n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：（1）；（2）；（3）答案：（1）正号；（
3、2）负号。【7】根据定义计算下列各行列式：（1）；(2)；（3）；（4）答案：（1）5！=120；（2）；（3）；（4）。【8】计算下列行列式：（1）；（2）；（3）；（4）。答案：（1）-136；（2）48；（3）12；（4）（b-a）（c-a）（d-a）（c-b）（d-b）（d-c）【9】计算下列n阶行列式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。答案：（1）1+；（2）1；（3）n！（4）2n+1；（5）。【10】计算下列行列式：（1）；（2）（n阶）；（3）；（4）。答案：（1）n=2时，行列式等于；n3，行列式为0；（2）；（3）；（4）【11】计算n+1阶行列式：（0；i=1，2，
4、n）答案：.【12】解下列线性方程组：（1）；（2）。答案：（1）；(2).【13】计算n阶行列式于是【14】证明由归纳假设，得【15】计算五阶行列式可以得到【16】证明证明：略【17】.证明答案与提示：提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。【18】.计算n阶行列式：（1）；（2）。答案与提示：（1）（2）【19】.利用拉普拉斯定理计算下列行列式：（2）；（3）；（4）答案与提示：（2）；（3）（4）【20】.证明下列等式：（1）；（2）。答案与提示：（1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。（2）提示：用归纳法证。【21】【22】 .第二
5、章【1】填空题设A是三阶方阵，是A的伴随矩阵，A的行列式=，则行列式_。【2】假设A=（）是一个n阶非零矩阵，且A的元素（i，j=1，2，n）均为实数。已知每一个元素都等于它自己的代数余子式，求证A的秩等于n，且当n3时=1或-1。【3】判断下列结论是否成立：若成立，则说明理由；若不成立，则举出反例。（1） 若矩阵A的行列式=0，则A=0；（2） 若=0，则A=E；（3） 若A，B为两个n阶矩阵，则；（4） 若矩阵A0，B0，则AB0.【4】设A，B为n阶方阵，问下列等式在什么条件下成立？（1）；（2）；【5】计算AB和AB-BA。已知（1），（2），。答案：（1），；（2），；【6】计算下列
6、矩阵乘积：（1）；（2）（x，y，1）。答案：（1）；（2）。【7】计算，并利用所得结果求。答案：提示：用数学归纳法可证。当时，。故【8】已知A，B是n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。【9】已知A是一个n阶对称矩阵，B是一个n阶反对称矩阵，证明（1），都是对称矩阵；（2）AB-BA是对称矩阵；（3）AB+BA是反对称矩阵。【10】求矩阵X，已知：（1）；（2）答案：（1）；（2）【11】已知矩阵A，求A的逆矩阵;(1),其中ad-bc=1；（2）；（3）；答案：（1）；（2）；（3）【12】在下列矩阵方程中求矩阵X：（1）；（2）；答案：（1）；（2）【13】证明若一
7、个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。【14】假设方阵A满足矩阵方程，证明A可逆，并求。答案：提示：由。【15】填空题（1）设矩阵A=，则=_（2）设A是3阶数量矩阵，且=-27，则=_（3）设A是4阶方阵，且=-2，则A的伴随矩阵的行列式=_答案：（1）；（2）；（3）-8【16】选择题（1）设A是n阶方阵，且满足等式，则A的逆矩阵是（A） A-E； （B）E-A； （C）； （D）。（2）设A，B是n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是A、；B、C、；D、（3）设A，B，C为n阶方阵，且ABC=E，则必成立的等式为A、ACB=E;B、CBA=E;C、BAC=E;D、BCA=E（4）设A，B为n阶对称
8、矩阵，m为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是A、；B、；C、AB;D、。（5）设A，B，A+B，均为n阶可逆矩阵，则（）等于A、；B、A+B；C、；D、。（1）C；（2）B；（3）D；（4）A；（5）C【17】求下列矩阵的秩（1）；（3）（4）。答案：（1）r（A）=2；（2）r（A）=2；（3）r（A）=3；（4）r（A）=2；【18】求下列矩阵的标准形（1）；（2）。答案：（1）；（2）。【19】假设方阵A满足方程，其中a，b，c是常数，而且C0，试证A是满秩方阵，并求出其逆矩阵。【20】选择题（1）设矩阵A=，且r（A）=2，则t等于A、-6；B、6；C、8；D、t为任何实数。（2）设A
9、是3阶方阵，若=0，下列等式必成立的是A、A=0；B、r（A）=2；C、=0；D、（3）设A是mn矩阵，且mn，则必有A、；B、；C、；D、。答案：（1）D；（2）C；（3）B。【21】求下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）。答案：（1）；（3）。【22】假设B是n阶可逆矩阵，C是m阶可逆方阵。试证明分块矩阵是可逆方阵，并且用表示分块矩阵。答案：提示：由拉普拉斯展开定理，得、，故A是可逆矩阵。由逆矩阵定义，得。【23】已知三阶方阵A=（）与任意三阶方阵B之积可交换：AB=BA，证明A是数量矩阵。【24】设4阶矩阵B=C=且矩阵A满足等式。其中E为4阶单位矩阵，求矩阵A。于是【25】（00403）设
10、，矩阵，n为正整数，则= 【26】（04404） 。【27】（04404）设是实正交矩阵，且=1，b=，则线性方程组Ax=b得解是 。【28】（04104） 。【29】（00203）设A= .【30】（94503）设A,B都是n阶非零矩阵，且AB=0,则A和B得秩（ ）A.必须有一个等于零 B.都小于n C.一个小于n，一个等于n D.都等于n第三章【1】【2】【3】（95508）设三阶矩阵A满足，其中列向量 .试求矩阵A.【4】（97306）设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数。记分块矩阵其中是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵。（1） 计算并化简:证明：矩阵可逆的充分必要条件是.【
11、5】（98104）设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组有解向量，且.证明：向量组是线性无关的.【6】（01408）设是n维实向量，且线性无关.已知是线性方程组的非零解向量.试判断向量组得线性相关性。【7】（96408）设向量是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即.试证明：向量组线性无关.【8】（04313）设 ，试讨论为何值时，1. 不能由线性表示;2. 可以由唯一地线性表示，并求出表示式。3. 可以由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。答案与提示：1. 当=0时，不能由线性表示。2. 当，且时，可以由唯一地线性表示。当时可以由线性表示，但表示式不唯一，其表示式为
12、.【9】（05290）确定常数，使向量组可由向量组线性表示，=1时向量组不能由向量组线性表示。【10】（00303）设A为n阶实矩阵.为的转置矩阵，则对于线性方程组和，必有（ ）。A.的解是的解，的解也是的解B. 的解是的解，但的解不是的解C. 的解不是的解，的解也不是的解D. 的解是的解，但的解也不是的解【11】（98407）已知下列非齐次线性方程组，（1） 求解方程组，用其导出组得基础解系表示通解；（2） 当方程组中得参数m,n,t为何值时，方程组与同解。答案与提示：（1） 方程组得通解为（k为任意常数）.当时，方程组同解。【12】（99409）已知线性方程组（1） a,b,c满足何种关系
13、时，方程组仅有零解？（2） a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。答案与提示：（1）当时，方程仅有零解 （2）下面分四种情况：1、当时，方程组有无穷多组解，全部解为 （为任意常数）2、当时，方程组有无穷多组解，全部解为 （为任意常数）3、当时，方程组有无穷多组解，全部解为 （为任意常数）4、当a=b=c时，方程组有无穷多组解，全部解为【13】（03313）3B 已知齐次线性方程组 其中讨论和满足何种关系时，（1） 方程组仅有零解；（2） 方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.答案与提示：（1） 当且时，秩方程组仅有零解.当时，方程组有非零解，基
14、础解系为.【14】（96403）3B 设 ，其中.则线性方程组的解是 .【15】（02106，02206）3B 已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关，.如果，求线性方程组的通解.方程组的通解为，为任意实数.【16】（04413）3B设线性方程组 已知是该方程组的一个解，试求（1） 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（2） 该方程组满足的全部解.答案与提示：（1） 方程组的全部解为 （2）时，方程组的全部解为 【17】【18】【19】【20】【21】【22】【23】【24】【25】【26】【27】【28】【29】【30】设A是n阶方阵，如果对于任一n维列向量X=都
15、有AX=0，证明A=0【31】选择题设是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解向量，且秩（A）=3，【32】选择题设A为n阶实距矩阵，为A的转置矩阵，则对于线性方程组（1），AX=0和（）；AX=0，必有A（）的解是（）的解，（）的解也是（）的解；B（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解；C（）的解不是（）的解，（）的解也不是（）的解；D（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解；【33】用消元法解下列线性方程组1 答2 【34】【35】求下列齐求次线性方程组的一个基础解系【36】【37】求下列非齐次线性方程组的一个特解，及对应齐次方程组（导出组）的一个基础解系，并写出一般解第四章【1】求下
16、列矩阵的特征值与特征向量，判断它们是否与对角矩阵相似，如相似则将其化为对角矩阵答：【2】【3】【4】【5】【6】已知的一个特征向量。（1） 试确定参数a，b及特征向量所对应的特征值。问A能否相似于对角阵？说明理由。【7】填空题设A为n阶矩阵，0，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。若A有特征值，则必有特征值_。【8】选择题设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则A、E-A=E-B；B、A与B有相同的特征值和特征向量;C、A与B都相似于一个对角矩阵；D、对任意常数t，tE-A与tE-B相似。【9】求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）A答案：特征值；属于特征值的特征向量，属于特征值的特
17、征向量。（2）A答案：特征值；属于特征值5的特征向量，属于特征值-1的特征向量。（3）A答案：特征值；属于的特征向量；属于的特征向量；属于特征向量。【10】求矩阵A=的特征值与特征向量。问A是否能与对角矩阵相似？如果相似将其化为相似对角矩阵。答案： A与对角矩阵相似。时，则【11】设是矩阵A的特征值，m是正整数，试证是的特征值。答案：使用数学归纳法。【12】设是矩阵A的特征值，是x的一个多项式。证明的特征值。答案：略。【13】假设是矩阵A分别属于特征值的特征向量，而互不相等，证明都不可能是矩阵A的特征向量。阿答案：略【14】如果矩阵A与B相似，C与D相似。证明分块矩阵与相似。答案：略【15】当
18、。证明矩阵可以化为对角矩阵。答案：提示：该矩阵有n个两两不同的特征值，所以它可以相似于对角矩阵。【16】若A是可逆矩阵，证明它的每个特征值都不为零，而且是的一个特征值。若X是A的属于的一个特征向量，则X也是属于的一个特征向量。答案：提示：由于矩阵A的所有特征值之积等于A的行列式，故可逆矩阵的所有特征值均不为零。如果列向量是A的属于特征值的特征向量，那么，因为A可逆，用左乘等式两端：。所以是矩阵的特征值，而且也是的属于特征值的特征向量。【17】（99130）设n阶矩阵A的元素全为1，则A得n各特征值是 。【18】（94508）4B 设有三个线性无关的特征向量，求和应满足的条件. 满足条件.【19
19、】（98309，98409） 4B 设向量都是非零向量，且满足条件记阶矩阵求：（1）（2）矩阵的特征值和特征向量.答案与提示：（1）=0（2），即矩阵的特征值全为零.的属于特征值的全部特征向量为 【20】（99108，99309） 4B 设矩阵，其行列式，又的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为求和的值. 【21】（97409） 4B 设矩阵和相似，且 ，（1） 求的值；（2） 求可逆矩阵，使答案与提示：（1）（2）【22】（00409）4B 设矩阵，已知有三个线性无关的特征向量，的二重特征值.试求可逆矩阵，使得为对角矩阵.答案与提示： 【23】（04321）4B 设阶矩阵 .(1) 求
20、的特征值和特征向量；(2) 求可逆矩阵，使得为对角矩阵.答案与提示：（1）基础解系为 基础解系为（2）【24】（05413） 4B 设为3阶矩阵，是线性无关的3维列向量，且满足 （1） 求矩阵，使得；（2） 求矩阵的特征值；（3） 求可逆矩阵，使得为对角矩阵.答案与提示：（1）（2）（3）【25】（97310） 4B 设3阶实对称矩阵的特征值是1，2，3；矩阵的属于特征值1，2的特征向量分别是，（1） 求的属于特征值3的特征向量；（2） 求矩阵。答案与提示：（1）的属于特征值3的特征向量为（2）=【26】（04413）4B 设3解实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值，若都是的属于特征值6的特征向
21、量（1） 求的另一特征值和对应的特征向量；（2） 求矩阵答案与提示：（1）的另一特征值，属于特征值的全部特征向量为（2）=【27】（06313，06413）4B 设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量是线性方程组的两个解（1） 求的特征值与特征向量；（2） 求正交矩阵和对角矩阵，使得；（3） 求及，其中为3阶单位矩阵答案与提示：（1）是的二重特征值，为的属于特征值0的两个线性无关特征向量；是的一个特征值，为的属于特征值3的特征向量（2） 为正交矩阵，且（3）=第五章【1】判断下列二次型是否正定：（2）【2】设A,B都是n阶正定矩阵，证明A+B是正定矩阵。【3】用配方法将下列二次型化为标准形
22、，并写出相应的线性替换。（1）答案：原式=。相应的线性变换为（2）答案：原式=。相应的线性变换为（3）答案：原式=。相应的线性变换为【4】用正交变换将下列二次型化为标准形，并写出相应的正交变换。（1）答案：正交变换为标准形为。（2）答案：正交变换为标准形为。【5】判定下列二次型是否正定。（1）答案：正定（2）答案：非正定（3）答案：非正定【6】t取哪些值时，以下二次型是正定的？（1）答案：当时，二次型正定。（2）答案：当时，二次型正定。【7】设A是实对称矩阵，且A的任意特征值满足条件，证明2E+A是正定矩阵。答案：提示：若是A的特征值，则是2E+A的特征值，于是可导出2E+A的全部特征值均大于
23、零。【8】设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵。（1）证明；答案：利用矩阵的行列式等于其特征值的乘积。（2）t为何值时，A+tE是正定矩阵。答案：利用定理：正定矩阵全部特征值大于零。【9】例6.3.11设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mn实矩阵，为B的转置矩阵，试证：AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩。【10】（99130）设n阶矩阵A的元素全为1，则A得n各特征值是 。【11】（95410）5B 已知二次型（1） 写出二次型的矩阵表达式；（2） 用正交变换把二次型化为标准形，写出相应的正交矩阵答案与提示：（1）的矩阵表达式为（2）二次型作正交变换二次型可以化为如下标准形【12】（01308）5B 设为阶实对称矩阵，是中元素的代数余子式，二次型 （1） 记，把写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为；（2） （2）二次型的规范形是否相同？说明理由。【13】（99307） 5B 设为实矩阵，为阶单位矩阵，已知矩阵，试证：当时，矩阵为正定矩阵.【14】（00309） 设有元实二次型 其中为实数，试问：当满足何种条件时，二次型为正定二次型答案与提示：当时，二次型为正定二次型【15】（05313）5B 设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称矩阵，为矩阵（1） 计算，其中；（2） 利用（1）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论答案与提示：（1）=（2）为正定矩阵
