1、单调性与最大（小）值 习题（含答案） 一、单选题1下列函数中，在(0,+)内单调递增的是()A y=1-x B y=x-1 C y=x-2 D y=x2+12设函数f(x)是奇函数f(x)xR的导函数，f(-1)=0，当x0时，xfx-fx0成立的x的取值范围是()A (-,-1)(0,1) B (0,1) C (-1,0)(1,+) D (-,-1)3关于函数y=ln(9x2+1-3x)有如下命题：f(a)f(b)a0，给出如下命题：f3=0； 直线x=-6是函数y=fx的图象的一条对称轴；函数y=fx在-9,-6上为增函数；函数y=fx在-9,9上有四个零点.其中所有正确命题的序号为（ ）
2、A B C D 5函数fx=x2+lnx的图象大致为（ ）A B C D 6设函数fx=2x，x0x，x0，则满足fx+10的解集是( )A (-3，-1) B (-1，1)(1，3)C (-3，0)(3，+) D (-3，1)(2，+)8下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是( )A y=x|x| B y=ex C y=-1x D y=log2x9已知函数fx=2a-1x+a,x2logax-1,1x2是1,+上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）A 25,12 B 0,12 C 0,25 D 0,1510已知y=x2-2(a-1)x+5在区间(1,+)上是增函数，则a的范围是（ ）A
3、a-2 B a2 C am成立，则m的取值范围为_13已知函数f(x)=ex-e-x-2sinx，则不等式f(2x2-1)+f(x)0的解集为_.14已知函数f(x)=-2x2+mx+3(0m4,0x1)的最大值为4，则m的值为_15已知函数f(x)=-12x2-cosx，则不等式f(x+1)-f(1-3x)0的解集为_三、解答题16已知函数f(x)=logax+log4x(0a1)为增函数（1）求实数a的取值范围；（2）当a4时，是否存在正实数m，n(mn)，使得函数f(x)的定义域为m，n，值域为m2，n2？如果存在，求出所有的m，n，如果不存在，请说明理由17已知函数fx=lnxx-1.
4、（）求f(x)的单调区间；（）若a1，证明：f(x)a(x+1)ex（其中e是自然对数的底数，e=2.71828）18已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3)(I)若f(1)=1，求f(x)的单调区间；(II)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由19已知函数fx=x2-2a+1x+2axlnx+2a+1aR.（1）a=-2时，求fx在0,2上的单调区间；（2）x0且x1， 2axlnxx-12a+1-x均恒成立，求实数a的取值范围.20已知函数f(x)=(ax+1)lnx-x2+1（1）令g(x)=f(x)，判断g(x)的单调性；（2）当x1时，
5、f(x)0的解集【详解】解：设g(x)=f(x)x，则g(x)的导数为：g(x)=xf(x)-f(x)x2，当x0时总有xf(x)0时，g(x)恒小于0，当x0时，函数g(x)=f(x)x为减函数，又g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g(x)，函数g(x)为定义域上的偶函数，又g(-1)=f(-1)-1=0，函数g(x)的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f(x)0等价于xg(x)0，即g(x)0x0或g(x)0x0，解得0x1或x0成立的x的取值范围是(-,-1)(0,1)故选：A【点睛】本小题主要考查利用构造函数法，以及函数导数求解不等式.在解题过程中，首先根据题
6、意构造出与题目本身相对应的函数.如本题中的函数gx，在不同的题目中，构造的函数是不相同的.构造函数之后，利用导数，研究所构造函数的单调性，再结合所求不等式来解.3A【解析】【分析】研究函数y=ln(9x2+1-3x)的奇偶性、单调性、图形即可做出判定【详解】函数y=ln(9x2+1-3x)9x2+1-3x0恒成立故定义域为R，则值域为R，故正确f-x= ln(9x2+1+3x)，f-x+fx= ln9x2+1+3x+ln9x2+1-3x=ln1=0，f-x=-fx，图象关于原点中心对称，故正确9x2+1-3x=9x2+1-3x1=19x2+1+3x，可知19x2+1+3x单调递减y=ln(9x
7、2+1-3x)单调递减故f(a)f(b)ab，故正确当x=1时，y=ln(10-3)10-31，y=ln(10-3)0，故fx在0，3上为增函数fx是偶函数，故fx在-3，0上为减函数函数fx是周期等于6的周期函数故fx在-9，-6上为减函数，故错误函数fx是周期等于6的周期函数f-9=f-3=f3=f9=0，故函数y=fx在-9,9上有四个零点，故正确综上所述，则正确命题的序号为故选D【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解。5A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，再利用单调性（或特殊点）判断即可【详解】函数fx=x
8、2+lnx是偶函数，排除选项B，C；当x0时，fx=x2+lnx，fx=2x+1x0fx在0，+上单调递增，排除D故选：A【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6B【解析】【分析】由分段函数的解析式以及指数函数的单调性可得fx在R上单调递増，原不等式等价于x+12x ,解不等式即可得到所求解集.【详解】函数fx=2x,x0x,x0,可得fx在R上单调递増，fx-1f2x化为x+12x，解得x1,
9、fx-10变形为两个不等式组，根据函数的单调性分情况解两个不等式组，所得解集求并集后即可得到结论【详解】函数f(x)为奇函数且在(,0)上单调递减，f(x)在(0,+)上也单调递减，不等式(x1)f(x1)0可变形为x-10f(x-1)0或x-10f(x-1)0f(x-1)f(2)，所以x-10x-12，解得1x3；不等式组即为x-10f(x-1)f(-2)，所以x-1-2，解得1x1原不等式的解集为x|1x1或1x3故选B【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性在解不等式中的应用，解题的关键是根据题意得到函数在定义域上的性质，然后再通过分类讨论将不等式转化为不等式组求解，具有综合性，同时也考查分析
10、问题、解决问题的能力8A【解析】【分析】根据函数增减性与奇偶性进行判断选择.【详解】y=x|x|=x2,x0-x2,x0是R上增函数，为奇函数，图象又关于原点对称，y=ex是R上增函数，无奇偶性,y=-1x在(-,0)和(0,+)上增函数，为奇函数，图象又关于原点对称，y=log2x在(0,+)上为增函数，无奇偶性,选A.【点睛】本题考查函数增减性与奇偶性,考查基本分析判断能力,属基础题.9C【解析】【分析】根据分段函数单调性列不等式,解得结果.【详解】又题意得2a-100a12(2a-1)+aloga100,h(12)=-3+34+13ln30，因为h(0)=0，h(12)=38-330,h
11、(x)在0,12上有两个零点,而g(x)在12,3 上的图象与函数y=(13)x 的图象有3个交点，从而可得结果.【详解】由1-3xx3-3x2+1=0 得，x3-3x2+1=3-x.令g(x)=x3-3x2+1,则g(x)=3x2-6x=0，x1=0,x2=2 .g(x) 在0,2 上单减，在2，3 上单增.g(0)=1,g(2)=-3,g(3)=1 g(12)=38. 令h(x)=x3-3x2+1-(13)x，其中x0,12 ,则h(x)=3x2-6x+(13)xln3，h(x)=6x-6-(13)x(ln3)20,h(12)=-3+34+13ln30，所以存在唯一的x0(0,12)，使得
12、h(x0)=0 ,因此函数h(x)在0,x0 上单增，在x0,12上单减,又因为h(0)=0，h(12)=38-330,所以h(x)在0,12上有两个零点,而g(x)在12,3 上的图象与函数y=(13)x 的图象有3个交点. 函数fx=1-3xx3-3x2+1在0,3上的零点有5个，故正确答案是5.【点睛】本题主要考查函数的零点以及导数在研究函数性质的应用，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)-g(x)的零点函数y=f(x)-g(x)在x轴
13、的交点方程f(x)-g(x)=0的根函数y=f(x)与y=g(x)的交点.12(-,6)【解析】【分析】利用方程思想得到f(x)=x+log2x，利用单调性明确函数f(x)的最大值即可.【详解】f(x)+3f(1x)=x+3x-2log2x，以1x代入x得f(1x)+3f(x)=1x+3x+2log2x，消去f(1x)得f(x)=x+log2x，若x2,4，则f(x)单调递增，f(x)max=f(4)=6，则m0,ex+e-x2exe-x=2，所以f(x)0在（0，+）上恒成立，所以函数f(x)在（0，+）上单调递增，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，所以f
14、2x2-1-fx=f(-x),所以2x2-1-x,-1x12.故答案为：-1,12【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，考查函数的单调性的判定，考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.1422【解析】【分析】配方，fx=-2x2+mx+3=-2x-m42+m28+3分析对称轴x=m4与区间0,1的关系，求最大值，列方程求解【详解】fx=-2x2+mx+3=-2x-m42+m28+30m4,0m41,当x=m4时，f(x)取得最大值，m28+3=4,解得，m=22【点睛】本题考查二次函数在指定区间上的最值问题，常常讨论对称轴与区间的关系15(-,01,+
15、)【解析】求导可得f(x)=-x+sinx,f(x)=-1+cosx0，所以f(x)在R上单调递减，且f(0)=0，所以当x0,当x0时，f(x)0。所以函数f(x)在(-,0)上单调递增，在(0,+)上单调递减，且函数f(x)为偶函数。f(x+1)-f(1-3x)0变形为f(x+1)f(1-3x)，只需|x+1|1-3x|，解得(-,01,+)，填(-,01,+。【点睛】解复杂函数型不等式，可以先考虑函数的性质，如奇偶性、单调性等，可以利用函数性质解不等式。16：（1）14a1（2）存在满足条件的m，n，且m=2,n=4.【解析】【分析】（1）根据题意得到f(x)=1xlna+1xln4=1
16、xln4a0恒成立，4a0又a1，进而得到参数值;(2)根据题意得到函数表达式为fx=2log4x，fx在m,n上单调递增,2log4m=m22log4m=m2，进而得到m、n是方程2log4x=x2的两个根，求出m,n的值.【详解】（1）由f(x)=1xlna+1xln4=1xln4a0得：4a0又a1，所以 14a1（2）当a=4时，fx=2log4x,fx在m,n上单调递增,2log4m=m22log4m=m2m、n是方程2log4x=x2的两个根.解得：m=2,n=4存在满足条件的m，n，且m=2,n=4.【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：
17、求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.17(1) f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上也单调递减；(2)见解析.【解析】【分析】（1）求导后分析导数的分子的正负，构造u(x)=1-1x-lnx，利用导数可分析u(x)的正负，即可得到函数单调区间（2）因a1故a(x+1)ex(x+1)ex，因此只需证明lnxx-1x+1ex,x(0,1)(1,+)，先证明x(1,+)时的情况，构造g(x)=lnx-x2-1ex可证明g(x)g(1)=0，再证明x(0,1)时的情况,证明lnxx-11x+1ex即可.【详解】（1）定义域x(0,1)
18、(1,+)，f(x)=1-1x-lnx(x-1)2 令u(x)=1-1x-lnx，则u(x)=1-xx2，所以u(x)在(0,1,1,+)，故x(0,1)(1,+)时，u(x)u(1)=0，也即f(x)x+1ex,x(0,1)(1,+)（记为）先证明x(1,+)时的情况：此时lnx-x2-1ex0，令g(x)=lnx-x2-1ex,g(x)=ex+x3-2x2-xxex令h(x)=ex+x3-2x2-x,h(x)=ex+3x2-4x-1,h(x)=ex+6x-40(x1)，故h(x)在(1,+)，故h(x)h(1)=e-20h(x)在(1,+)，于是h(x)h(1)=e-20 g(x)0g(x
19、)在(1,+)，因此，x(1,+)时g(x)g(1)=0，即lnx-x2-1ex0下面证明x(0,1)时的情况：令g(x)=ex-x-1,g(x)=ex-10，故g(x)在0,1)，于是x(0,1)时g(x)g(0)=0x+1ex0，故h(x)在(0,1故x(0,1)时，h(x)h(1)=0即lnx-x+11x+1ex，证毕；【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，属于难题.解决不等式的证明问题，主要是构造合适的函数，利用导数研究其单调性，求其最值，分析函数的正负，得到所研究的不等式.18（I）单调增区间为(-1,1)，单调减区间为(1,3)；（II）存在实数a=1
20、2，使f(x)的最小值为0.【解析】【分析】(I)根据f(1)=1代入函数表达式，解出a=-1，再代入原函数得f(x)=log4(-x2+2x+3)，求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数f(x)的单调区间；(II)先假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，根据函数表达式可得真数t=ax2+2x+31恒成立，且真数t的最小值恰好是1，再结合二次函数t=ax2+2x+3的性质，可列出式子：a0f(-1a)=0，由此解出a=12，从而得到存在a的值，使f(x)的最小值为0【详解】(I)f(x)=log4(ax2+2x+3)且f(1)=1，log4(a12+21
21、+3)=1a+5=4a=-1可得函数f(x)=log4(-x2+2x+3)真数为-x2+2x+30-1x1函数f(x)=log4(-x2+2x+3)的单调增区间为(-1,1)，单调减区间为(1,3)(II)设存在实数a，使f(x)的最小值为0，由于底数为41，可得真数t=ax2+2x+31恒成立，且真数t的最小值恰好是1，即a为正数，且当x=-22a=-1a时，t值为1a0a(-1a)2+2(-1a)+3=1a0-1a+2=0a=12因此存在实数a=12，使f(x)的最小值为0【点睛】本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属
22、于中档题19（1）fx的单调增区间是0，1，单调减区间是1,2；（2）a-1.【解析】【分析】（1）求出fx，令fx0在0，2内求得x的范围，可得函数fx增区间，令fx1时，2axlnx2a+1-xx-1,即2alnx-x+2a+2-2a+1x；0x1时，2axlnx2a+1-xx-1,即2alnx0,分两种情况研究函数的单调性，并求出gx的最值，从而可得实数a的取值范围.【详解】（1）a=-2时，fx=2x-1-2lnx，设hx=fx，当x0,2时，hx=2x-2x0，则hx在0，2上是单调递减函数，即则fx在0，2上是单调递减函数，f1=01x2时，fx0； 0x0在0，2上fx的单调增区
23、间是0，1，单调减区间是1,2；(2) x1时，2axlnx2a+1-xx-1,即2alnx-x+2a+2-2a+1x，0x1时，2axlnx2a+1-xx-1,即2alnx0则gx=1+2ax-2a+1x2-x-1x+2a+1x2a=-1时，-2a+1=1，gx=x-12x20，gx在0,+上单调递增x1时，gxg1=0；0x1时， gxg1=0，a=-1符合题意;a1，1x-2a+1时，gx0，gx在1,-2a-1上单调递减，当1x-2a+1时，gx1时， gx0矛盾；舍a-1时，设M为-2a+1和0中的最大值，当Mx1时，gx0，gx在M，1上单调递减，当Mxg1=0，与0x1时， gx
24、0求得x的范围，可得函数fx增区间，fx0求得x的范围，可得函数fx的减区间；（2）讨论a的范围，分别利用导数以及函数的单调性，结合单调性判断函数f(x)是否有最大值，当函数f(x)=(ax+1)lnx-x2+1有最大值时，令其最大值小于零即可求得a的范围.【详解】（1）由f(x)=(ax+1)lnx-x2+1，则g(x)=f(x)=alnx+1x-2x+a，所以g(x)=-2x2+ax-1x2（x0）当a0时，g(x)0，g(x)为(0,+)的减函数；当a0时，若a2-80，即00，即a22时，由g(x)=0有两根x1=a-a2-840，x2=a+a2-840，得在x(0,x1)上g(x)0
25、，g(x)为增函数；在x(x2,+)上g(x)22时，在x(0,x1)上g(x)0，g(x)为增函数；在x(x2,+)上g(x)0，g(x)为减函数 （2）由（1）知，对a讨论如下，当a0时，g(x)0，则f(x)为（1，）上的减函数，则f(x)f(1)=-1+a0，故f(x)为（1，）的减函数，由于f(1)=0，所以f(x)f(1)=0，即a0时满足题意 当a0时，由于f(1)=-1+a，对其讨论如下：(A)若f(1)=-1+a0，即a1，则由（1）知，f(x)为（1，）上的减函数，则f(x)f(1)=-1+a0，所以f(x)为（1，）的减函数，由于f(1)=0，所以f(x)0，即a1，则由
26、（1）知，当1a22时，f(x)为（1，）上的减函数，又f(ea)=-2ea+a+a2+1ea0，于是f(x)为(1,x0)的增函数，因为f(1)=(a+1)ln1-12+1=0，所以f(x)f(1)=0，即1a22时不满足题意 当a22时，由于x11，所以对x2与1的大小关系讨论如下，1)如果x21，即22a3，那么由（1）知，f(x)为（1，）上的减函数，又f(ea)=-2ea+a+a2+1ea0，于是f(x)为(1,x0)的增函数，又f(1)=0，则f(x)f(1)=0，即221，即a3，那么由（1）知，f(x)为（1，x2）上的增函数，则当x(1,x2)时，f(x)0，于是f(x)为(
27、1,x2)的增函数，又f(1)=0，则f(x)f(1)=0，即a3时不满足题意综上所述，a的取值范围为(-,1【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.答案第16页，总16页
