1、 第三章 三角恒等变换习题课1（学案）一、学习目标1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).二、自主学习 （一）.温故知新1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin cos cos sin ； cos()cos cos sin sin ； tan().2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos .
2、cos 2cos2sin22cos2112sin2. tan 2.3.函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos().（二）自我检测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立.()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立.()(4)存在实数，使tan 22tan .()答案(1)(2)(3)(4)2.若tan ，则cos 2()A. B. C. D.答案D3.若tan ，tan()，则tan 等
3、于()A. B. C. D.答案A4. in 347cos 148sin 77cos 58_.答案三、合作探究 考点一三角函数式的化简【例1】 cos()cos sin()sin ()A.sin(2) B.sin C.cos(2) D.cos 解析cos()cos sin()sin cos()cos .答案D规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.考点二三角函数式的求值【例2】 (1)2s
4、in 50sin 10(1tan 10)_.(2)已知cos，则的值为_.(3)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_.解析(1)原式sin 80(2sin 502sin 10)cos 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.(2)sin 2sin 2tan.由得2，又cos，所以sin，tan.cos cos，sin ，sin 2.所以.答案(1)(2)规律方法(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.(2)通过求角的某
5、种三角函数值 求角，在选取函数时，遵照以下原则 已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.考点三三角变换的简单应用【例3】 已知ABC为锐角三角形，若向量p(22sin A，cos Asin A)与向量q(sin Acos A，1sin A)是共线向量.(1)求角A；(2)求函数y2sin2Bcos的最大值.解(1)因为p，q共线，所以(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)，则sin2A.又A为锐角，所以sin A，则A.(2)y2sin
6、2 Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos1cos 2Bcos 2Bsin 2Bsin 2Bcos 2B1sin1.因为B，所以2B，所以当2B时，函数y取得最大值，此时B，ymax2.规律方法解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.四、学以致用 【训练1】 (1)2的化简结果是_.(2)化简 _.解析(1)原式22 cos 4 2 sin 4cos 4 ，因为4，所以
7、cos 40，且sin 4cos 4，所以原式2cos 42(sin 4cos 4)2sin 4.(2)原式cos 2.答案(1)2sin 4(2)cos 2【训练2】 (1)4cos 50tan 40()A. B.C. D.21(2)已知sinsin ，0，则cos 的值为_.(3)已知cos ，cos()(0)，则tan 2_，_.解析(1)原式4sin 40，故选C.(2)由sinsin ，得sin cos ，sin.又0，所以，于是cos.所以cos cos.(3)cos ，0，sin ，tan 4，tan 2.0，0，sin()，cos cos()cos cos()sin sin()，.答案(1)C(2)(3)【训练3】已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；(2)若(0，)，且f，求tan的值.解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，f(x)的最小正周期T.令2 4x2 ， ，得x， .f(x)的单调减区间为， .(2)f，即sin1.因为(0，)，所以，故.因此tan2.第 5 页 共 5 页
