1、直线平行的条件【基础知识精讲】本单元主要学习与探索两条直线平行的条件、同位角、内错角、同旁内角的概念以及识别在经历观察、操作、想像、推理、交流的学习过程中，要求进一步发展空间观念，培养推理能力和有条理的表达能力【重点难点解析】本单元的重点是三线八角的基本图形、同位角、内错角、同旁内角的特征、两直线被第三条直线所截的两种情形1掌握同位角、内错角、同旁内角的概念；2能判断哪些角是同位角、内错角、同旁内角；3掌握两条直线平行的判定方法（掌握好判断同位角、内错角、同旁内角的方法）同位角、内错角、同旁内角的概念和两条直线平行的判定方法是平面几何的重要内容之一，也是中考的重要内容之一如图所示，直线l与直线
2、a、b相交，形成了8个角，其中的1和5这样位置的一对角是同位角，3和5这样位置的一对角是内错角，4和5这样位置的一对角是同旁内角在图中，同位角还有：2和6，4和8，3和7；内错角还有：4和6；同旁内角还有：3和6要准确理解同位角、内错角、同旁内角的定义，首先要抓住这三类角的异同它们的共同点是：它们都是两条直线被第三条直线所截而成的角中“顶点不同”的角，每个角都有一条边在同一条直线（第三条直线）上，另一条边分别在两条直线（第一、第二条直线）上它们的区别是：同位角是在两条直线的“同方”，第三条直线的“同侧”（同旁）；内错角是在两条直线“之间”（内），第三条直线“两侧”（错开）；同旁内角是在两条直线
3、“之间”（内），第三条直线“同侧”（同旁）其次还要识别这三类角是哪两条直线，被什么样的第三条直线所截而成的，关键是要找准截线另外，还要能从复杂的图形中分离出这三种角的基本图形，从而准确辨别这些角平行线的判定方法：（关键是要打准截线）（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行【难题巧解点拨】例1如图，1和4是什么角?由哪两条直线被什么样的第三条直线所截?2和3呢?2和4呢?1和A呢?A和2呢?解：1和4是AB、CD被BD所截得的内错角；2和3是AD、BC被BD所截得的内错角；2和4是BC
4、、CD被BD所截得的同旁内角；1和A是AD、BD被AB所截得的同旁内角；A和2不是两条直线被第三条直线所截而成的角，所以它们不是同位角、内错角，也不是同旁内角注 识别同位角、内错角、同旁内角的关键是找出三条直线（刚好是需要识别的两个角的边所在的直线），并确定哪一条是截线例2如图，AB、CD两相交直线与EF、MN两平行直线相交，试问一共可以得到同旁内角多少对?思路分析抓住同旁内角的定义，分类计数解：把所给的图形分解成如下4个基本图形：（每条直线都有可以作为截线）（只有CD能作为截线）那么，图1中有同旁内角236对，图2中也有同旁内角236对图3中有同旁内角2对，图4中有同旁内角2对，所以共有同旁
5、内角662216对注 从复杂的图形中分解出我们讨论问题需要的简单图形，是常用的方法例3如图，已知AC平分DAB，BACACB，那么AD与BC平行吗?请写出推理过程思路分析要判定AD与BC平行，应先观察AD与BC被哪条直线所截，然后设法由已知条件推出同位角或内错角相等，或同旁内角互补本例把AB看作截线，不能得出结论，而把AC看作截线即可推出ACBCAD，从而得出ADBC（关键是要找准截线）解： AC平分DAB（已知）， BACCAD（角平分线定义）， BACACB（已知）， CADACB（等量代换）， ADBC（内错角相等，两直线平行）例4如图，根据下列条件：AAOD，ACBF，BEDB180，
6、可以判定哪两条直线平行，并说明判定的依据解：要判定两条直线平行，首先要识别每小题中给出的角是哪两条直线被第三条直线截得的角，然后根据平行线的判定定理，就可解决问题，推理过程如下： AAOD（已知）， ABDE（内错角相等，两直线平行） ACBF（已知）， ACDF（同位角相等，两直线平行） BEDB180（已知）， ABDE（同旁内角互补，两直线平行）（判定两直线平行的关键是分析清楚是哪两条直线被第三条直线所截，得到什么样的两个角。）例5如图，直线a、b被直线c所截，2是1的3倍，3是1的余角，求证：ab证明：由图可知，要证明a与b平行，只要证明13或2与3互补 312，12180， 145，
7、又 3是1的余角， 3904545， 13， ab（同位角相等，两直线平行）注 同学们不妨试一下利用证明2与3互补来证明ab例6对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：ab，bc，ac，ab，ac以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成你认为正确的题目思路分析本题要求以五个论断中的两个为条件，一个为结论，组成正确的题目，也就是让我们自己来编一些题目在做这样的题目时，我们可以将五个论断两两组合，然后看每一种组合能否推出余下的论断，若能，就得到一个正确的题目解：可以写出如下题目：（1）若ab，bc，则ac（2）若ab，ac，则bc（1）、（2）、（3）其实是平行线的传递性）（3）若
8、bc，ac，则ab（4）若bc，ab，则a c（5） 若bc，ac，则ab（6）若ab，ac，则bc（垂直于同一条直线的两条直线平行）注 本题在解答过程中容易遗漏，同学们可以按分析中的方法，先确定两个论断作为条件，共有10组，然后看是否能推出余下的论断【典型热点考题】例1 下列命题中，不正确的是 ( )A如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行C两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行(1999年，西安)点悟：采用直接法，回忆两条直线平行的条件，可获
9、得答案解：两条直线被第三条直线所截，有两种情形：1两条相交直线被第三条直线所截；2两条平行直线被第三条直线所截在选项C中条件不全，所以C不正确故应选C点拨：仔细审题是正确解题的关键本题的题干是“下列命题中，不正确的是”看准“不正确”三个字十分重要!例2 如图214，直线AB、CD被EF所截，1=50，2与3是同旁内角，且互为补角，求1的同位角的度数点悟：图214，这就是“三线八角”的基本图形。 1=50， 2=50。如果能找出2=4，则问题可解如何找2=4？分析图形是关键解： 1与2是对顶角 1=2又由2与3互补，3与4互补，根据同角的补角相等，有2=4 4=1=50点拨：本题涉及到同位角、对
10、顶角、同旁内角、互为补角等概念，所以应充分联想和综合思考例3 如图215，1=2，2+3=180，ABCD吗? ACBD吗?为什么?点悟：如何判断ABCD，ACBD? 合理的思维起点是从已知的等角、补角出发，寻求它们的内错角或同位角相等解：ABCD，ACBD理由：3+4=180，2+3=180， 2=4因为根据同位角相等，两直线平行，所以ABCD 1=2， 1=4因为内错角相等，两直线平行，所以ACBD点拨：解题关键是仔细观察图形，尽量从图形中寻找有效解题信息，如3+4=180就是从图形中观察所得，再结合2+3=180，故可推得2=4，等等例4 平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们
11、出现31个交点怎样安排才能办到?点悟：我们先从极端情形考虑：平面上的10条直线，如果两两相交，最多可以出现个交点而题中只要求出现31个交点，这就启发我们一定有平行线的情形出现我们再采取逐步调整的方法，可以达到目的解：在某一方向上有5条直线互相平行，则减少10个交点，若有6条直线平行，则可减少15个交点所以在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个点要去掉转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点这时还剩下2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向上互相平行如图216所示点拨：本题属于操作题型，解题关键是：先考虑极端情形；再考虑题中条件，用逐步调整法解决问题例5 已知直线a、b、c在同一平面
12、内，ab，a与c相交于p，那么b与c也一定相交请说明理由点悟：如何说明“b与c也一定相交”呢?直接说明有困难，那么我们运用逆向思维，从问题的反面入手，也就是：假定b与c不相交，即bc，再想办法推导出矛盾，说明假设不成立，从而说明原结论成立解：假定b与c不相交，即平行，bc ab(已知)， ac(平行公理的推论)这与a与c相交于p矛盾，故假设不成立 b与c一定相交点拨：本题有一定思维难度上述证明方法是反证法【同步达纲练习】一、选择题 1图217中，同旁内角共有 ( )A4对 B3对 C2对 D1对2如图218所示，同位角共有 ( )A1对 B2对 C3对 D4对3图219中，1，2是对顶角的是
13、( )4三条直线交于一点，总共有对顶角 ( )A六对 D五对 C.四对 D三对5下列说法正确的是 ( )A.若两个角相等，则这两个角是对顶角B若两个角是对顶角，则这两个角相等C.若两个角不是对顶角，则这两个角不相等D顶点相同并且相等的两个角是对顶角6两条直线被第三条直线所截，如果所成8个角中有一对内错角相等，那么 ( )A8角均相等B只有这一对内错角相等C. 凡是内错角的两角都相等，凡是同位角的两角也相等D凡是内错角的两角都相等，凡是同位角的两角都不相等7图220中，1和2是同位角的是 ( )8.如图221，下列说法中正确的是 ( )A因为2=4，所以ADBCD因为BAD+D=180，所以AD
14、BCC因为1=3，所以ADBCD因为BAD+B=180，所以ABCD9.如图222，1=2，那么 ( )A. 3与4的平分线平行B3与4的平分线相交C3与4的平分线相交或平行D以上答案都不对10一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度可以是 ( )A.第一次向右拐40，第二次向左拐140B.第一次向左拐40，第二次向右拐40C.第一次向左拐40，第二次向左拐140D.第一次向右拐40，第二次向右拐40 二、填空题1如图223，直线AB、CD相交于点O，1-2=70，则BOD=_，2=_.2如图224，直线AB、CD相交于点O，(DE平分AOC，AOD
15、-DOB=50，则EOB=_度3如图225，(1)因为A=3，可得_理由是_；(2)因为2=_，所以AC_，理由是_； (3)因为5=_，所以EF_，理由是_；(4)因为5=_，所以BC_，理由是_.4如图226，当_=_时，ADBC5若ab，且bc,则a与c的位置关系是_，即a_c6如图227，若1与2互补，2与4互补，则_.7如图228中(1)直线AD、EC被第三条直线BE截得的1和2是_.如果1=2，那么_( )(2)3和4是两条直线_、_被第三条直线_所截得的同位角(3)1和5是直线_和_被第三条直线_所截得的_角(4)直线AD、EC被第三条直线BC所截得的5和4是_.如果4=105，
16、5=75，那么AD_EC( )8如图229，直线c与直线a、b相交，1=5213，当2=_时，ab9如图230，直线CD、EF相交于点A，则在1、2、3、4、B和C这6个角中(1)同位角有_；(2)内错角有_；(3)同旁内角有_。10如图231，直线a、b被直线AB所截，且ABBC，(1)1和2是_角； (2)若1与2互补，则1-3=_.三、解答题1如图232，已知直线AB、CD被直线EF所截(1)找出1的同位角，内错角，同旁内角；(2)如果1与它的同位角相等，那么1与它的内错角，1与它的同旁内角的关系如何?为什么?2已知：如图233，ABC=ADC，BF、DE是ABC、ADC的角平分线，1=
17、2求证：DCAB3如图234，1和2是同旁内角，且1+2=220，那么3和4的平分线相交成多少度角?4已知：如图235，B=C，DAC=B+C，AE平分DAC求证：AEBC5已知：如图236，A=C=140，1=2=40求证：ABCD【综合能力训练】1如图，直线DE、BC被AB所截，_与_是同位角，被AC所截，_与_是内错角，被EC所截，_与_是同旁内角2如图，图中有_对同位角，_对内错角，_对同旁内角（千万别遗漏）3如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线_4两条直线相交所成的2个角（对顶角算一个角）中（）A必有一个钝角 B必有一个锐角C必有一个不是钝角 D必有两个锐角5下列条件中，不
18、能判定两直线平行的是（）A同旁内角相等 B内错角相等C同位角相等 D同旁内角互补6下列说法中错误的个数是（）两直线被第三条直线所截，内错角相等；同旁内角相等，两直线平行；若ab，cd，则 ad；不相交的两条直线叫平行线 A1个 B2个 C3个 D4个7如图，写出A的所有同旁内角，并说明是哪两条直线被什么样的第三条直线所截而得；写出DEF的所有内错角，并说明是哪两条直线被什么样的第三条直线所截而得；写出B的所有同位角，并说明是哪两条直线被什么样的第三条直线所截而得8大家知道“两条直线相交，有且只有一个交点”那么3条直线两两相交，最少有几个交点?最多有几个交点?画出相应的图形9如图，AED60，E
19、DB30，EF平分AED，写出判定EFBD的推理过程10如图，已知DE、BF平分ADC和ABC，ABFAED，ADCABC，由此可推得图中哪些线段平行?并写出理由11如图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，并且AAEF180，请写出判别CDEF的推理过程参考答案【同步达纲练习】一、1B 2B 3C 4A 5B 6C 7D 8C 9A 10B二、1125；55； 214753(1)AC、EF，同位角相等，两直线平行；(2) 4、EF，内错角相等，两直线平行；(3) C、AC，同位角相等，两直线平行；(4) 4、ED，内错角相等，两直线平行4DAC；BCA； 5垂直； 6；7(1)同位角；AD
20、；CE；同位角相等，两直线平行；(2)AD；CE；BC；(3)BE；BC；AD；内错角；(4)同旁内角；同旁内角互补，两直线平行；85213；91与C；2与B，4与C；B与C；10(1)1与2是同旁内角；(2)1-3=90三、1(1)1的同位角是2，1的内错角是4，1的同旁内角是3(2)因为1=2，2=4，所以1=4即 1与它的内错角相等又因为1=2，2+3=180，所以1+3=180，即 1与它的同旁内角互补2 BF、DE分别是ABC、ADC的角平分线(已知)，(角平分线定义)ABC=ADC(已知)，2=3(等量代换)1=2(已知)，1=3(等量代换)DCAB(内错角相等，两直线平行)31+
21、2=220又 1+2+3+4=3603+4=140设3、4的平分线相交所成角度为x，则 x=1104如图，B=C(已知)，DAC=B+C(已知)，DAC=2B(等量代换)又 AE平分DAC(已知)，DAC=21(角平分线定义)21=2B(等量代换)1=B(等量的同分量相等)AEBC(同位角相等，两直线平行)5如题中图，A=C=140，1=2=40（已知），A+1=C+2=180，又A与1，C与2分别为同旁内角（同旁内角定义）；ABEF，CDEF(同旁内角互补，两直线平行)ABCD(平行于同一直线的两直线平行)【综合能力训练】1ADE，B，EFC，BCF，E，BCE；26，4，4； 3平行； 4
22、C； 5 A； 6D；7A的同旁内角有AFE（是AE、EF被AF所截）、AEF（是AF、EF被AE所截）、ABC（是AC、BC被AB所截）、ACB（是AB、BC被AC所截）；DEF的内错角有AFE（是AF、DE被EF所截）、EDC（是EF、CD被DE所截）；B的同位角有AFE（是EF、BC被AB所截）、EDC（是AB、DE被BC所截）；83条直线两两相交，最少有1个交点（相交于同一点），最多有3个交点（不经过同一点），图如下：9 AED60，EF平分AED（已知）， FED30（角平分线的定义），又 EDB30 （已知）， FEDEDB （等式性质）， EFBD（内错角相等，两直线平行）；10DEBF，ABCD，ADBC证明：ABFAED， DEBF（同位角相等，两直线平行） ADCABC，DE平分ADC，BF平分ABC， EDCEBF，又 DEBF， EDCBFC， EBFBFC， ABCD（内错角相等，两直线平行） ABCC180，又 ADCABC， ADCC180， ADBC（同旁内角互补，两直线平行）11 ABBD，CDBD， BD90， BD180， ABCD又 AAEF180， ABEF（同旁内角互补，两直线平行） EFCD（平行于同一条直线的两条直线平行）第 18 页 共 18 页
