1、（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念一、主要内容一、主要内容函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数1.1.函数概念函数概念因变量因变量自变量自变量)(xfy 定义定义 设数集设数集 ，则称映射，则称映射 为定义为定义D上的函数，上的函数，通常简记为通常简记为 D称为定义域称为定义域,记作记作 ,即
2、即 .RD RDf:fDDDf 对每个对每个 ,按对应法则按对应法则 f ,总有唯一确定的值总有唯一确定的值y与之对应与之对应,这个值称为函数这个值称为函数f 在在x处的函数值处的函数值,记作记作f(x),即即y=f(x).Dx fR函数值函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数的全体所构成的集合称为函数f 的值域的值域,记作记作或或 f(D),即即.),()(DxxfyyDfRf 函数是从实数集到实数集的映射函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在其值域总在R内内.函数的函数的两要素两要素:定义域定义域 与对应法则与对应法则f.fD如果两个函数的定义域相同如果两个函数的定义域相同,对应法则也
3、相同对应法则也相同,那么这两那么这两个函数就是相同的个函数就是相同的,否则就是不同的否则就是不同的.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有定义域是自变量所能取的使算式有(实际实际)意义意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例如，例如，1,1:D211xy 例如，例如，)1,1(:D如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数单值函数，否则，否则叫做叫做多值函数多值函数222ayx 例如例如:函数的分类函数的分类函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷
4、多项等函数有无穷多项等函数)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)(1)函数的单调性函数的单调性:设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 x1及及 x 2 ，当，当 x1 x 2 时，恒有：时，恒有：xyo2xy ;0时为减函数时为减函数当当 x;0时为增函数时为增函数当当 x2 2、函数的性质、函数的性质12(1)()()f xf x，则则称称函函数数在在区区间间上上是是单单调调增增加加的的；12(2)()()f
5、 xf x，则则称称函函数数在在区区间间上上是是单单调调递递减减的的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数.(2)函数的奇偶性函数的奇偶性:有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD ;)()()(为偶函数为偶函数称称xfxfxf ;)()()(为奇函数为奇函数称称xfxfxf 偶函数偶函数xyoxy 奇函数奇函数yxo3xy .)(,)(,0,否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数成立成立有有若若XxfMxfXxMDX (3)函数的有界性函数的有界性:;),0()0,(上无界上无界及及在在.),11,(上有界上有界及及在在 xyox
6、y1 11(4)函数的函数的周期性周期性:2l 2l23l 23l函数函数sinx,cosx的周期是的周期是.2 函数函数tanx的周期是的周期是.（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.f(x)为周期函数为周期函数,l 称为称为f(x)的周期的周期.(),()()xDxlDf xlf x 于于任任一一，有有且且恒恒成成立立，则则称称设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D,如果存在一个正数如果存在一个正数l,使得对使得对周期函数的运算性质周期函数的运算性质1()()(0).Tf xf axb aaT T（）若若 为为的的周周期期，则则的的周周期期为为
7、：(2)()()()()f xg xf xg x 若若、均均是是以以T T为为周周期期的的周周期期函函数数，则则也也是是以以T T为为周周期期的的周周期期函函数数.()()f xg x 12121212(3)(3)若若、分分别别是是以以T T、T(TT)T(TT)为为周周期期的的周周期期函函数数，()().f xg x 1212则则是是以以T T、T T的的最最小小公公倍倍数数为为周周期期的的函函数数3.3.反函数反函数(1)(1)反函数的概念反函数的概念若函数)(:DfDf为单射,则存在逆映射DDff)(:1习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反
8、函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)1)yf(x)单调递增1(),yfx 存存在在且也单调递增(减).（2 2）性质）性质:2)2)函数函数)(xfy 与其反函数与其反函数)(1xfy的图形关于直线的图形关于直线xy 对称对称 .例如例如 ,),(,xeyx对数函数对数函数),0(,lnxxy互为反函数互为反函数 ,它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线xy 对称对称 .)(xfy)(1xfyxy),(abQ),(baPxyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数指数函数例例1 求求y的反函数及其定义域的反函数及其定义域.解解:01x当当时,2xy
9、 则则1,0(,yyx10 x当当时时,xyln则则0,(,yexy21 x当当时时,12xey则则2,2(,ln12eyxy反函数反函数y1,0(,xx0,(,xex2,2(,ln12exx定义域为定义域为(,1(2,2.e 21,210 ,ln01,12xexxxxx212e21yox1,1,0(,0,(,2,2(e4、隐函数、隐函数.)(0),(称为隐函数称为隐函数所确定的函数所确定的函数由方程由方程xfyyxF 1yyxe如如5 5、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数幂函数)(是常数是常数 xy2）指数函数）指数函数)1,0(aaayx3）对数函数）对数函数)1,0(log aaxy
10、a4）三角函数）三角函数;cos xy ;sin xy 5）反三角函数）反三角函数;arccos xy ;arcsin xy ;cot xy ;tan xy ;arctan xy cotyarcx sec;yx csc.yx 6 6、复合函数、复合函数设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD,而函数而函数)(xu 的 值 域 为的 值 域 为 Z,若若 ZDf,则 称 函 数则 称 函 数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数.7 7、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成
11、并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.fZD 左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx)(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf定定义义 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数(不不论论它它多多么么小小),总总
12、存存在在正正数数N,使使得得对对于于Nn 时时的的一一切切nx,不不等等式式 axn都都成成立立,那那末末就就称称常常数数a是是数数列列nx的的极极限限,或或者者称称数数列列nx收收敛敛于于a,记记为为 ,limaxnn 或或).(naxn.,0,0 axNnNn恒有恒有时时使使1 1、极限的定义、极限的定义定义定义N 定定义义 2 2 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数(不不论论它它多多么么小小),总总存存在在正正数数,使使得得对对于于适适合合不不等等式式 00 xx的的一一切切x,对对应应的的函函数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 Axf)(,那那末末常常数数A就就叫叫函函
13、数数)(xf当当0 xx 时时的的极极限限,记记作作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或定义定义 .)(,0,0,00 Axfxx恒有恒有时时使当使当左极限左极限.)(,0,000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(,0,000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当0-0lim()().xxf xAf xA 或或00lim()().xxf xAf xA 或或 极限存在的充要条件：极限存在的充要条件：0_00:lim()()().xxf xAf xf xA 定定理理无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.).0)(lim(0)(lim0 xf
14、xfxxx或或记作记作绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记作记作在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:无穷小的运算性质无穷小的运算性质定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有
15、限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.3 3、极限的运算法则、极限的运算法则.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设定理定理推论推论1 1
16、).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2准则准则 如果当如果当),(00rxUx(或或Mx )时时,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A.4 4、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.(夹逼准则夹逼准则)(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(l
17、imexxx 10)1(lim;1sinlim 某过程某过程.)1(lim1e 某过程某过程5 5、两个重要极限、两个重要极限 )()()(1ln)()()(limlim)(1lim1()(,0)()(1lim)3(000 xvxuxuxvxvxxxvxxxxeexuxvxuxu 型型）、形形如如（设设 为为某某过过程程中中的的无无穷穷小小）);(,0lim)1(o记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果定义定义:.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 CC;,1lim 记作记作是等价
18、的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地6 6、无穷小的比较、无穷小的比较定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim,则则存在存在且且设设.),0,0(lim)3(无穷小无穷小阶的阶的是是是是就说就说如果如果kkCCk 定理定理 若若)(limxf存在存在,则极限唯一则极限唯一.7、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质8、极限的唯一性、极限的唯一性的的9、常用的等价无穷小、常用的等价无穷小:,0时时当当 x2 sin tan arcsin arctan ln(1)11,1cos,(1)1(0)2 sin,()sin,tan1 ln,log(1)lnxan
19、nxaxxxxxxxexxxax aaxaxaxaxaxaxxaxaxa 10、几个常用极限与几个极限不存在的例子、几个常用极限与几个极限不存在的例子01100lim,lim0,lim1,lim1(0)lim1,lim arctan,lim arctan,22lim arccot0,lim arccot,lim,lim0.xxnnxxnnxxxxxxxxxxeenaaxxxxxee 100002limlimarctan,limarccot,lim,limsin,limcos,11limtan,limcot,limsinlimcos,xxxxxxxxxxxxexxexxxxxx，1、常常用用的的
20、极极限限2、极极限限不不存存在在的的例例子子1111、求极限的常用方法、求极限的常用方法(1)多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;(2)消去零因子法求极限消去零因子法求极限;(3)无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;(5)利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;nmnmnmbabxbxbaxaxammmnnnx,0,)4(00110110lim利用公式利用公式 (7)有理化法有理化法（8）利用重要极限；）利用重要极限；（9）通分法（）通分法（）;(10)利用等价无穷小代换法；利用等价无穷小代换法；（11）利用变量代换法；）利用变量代换法；(12)利用极
21、限存在的准则；利用极限存在的准则；（13）利用连续性求极限）利用连续性求极限 (14)利用罗比达法则求极限利用罗比达法则求极限.0)0 适适用用于于型型、型型、型型且且含含有有根根式式；00()()limxxf xf x；(6)利用左右极限求分段函数极限；利用左右极限求分段函数极限；左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间
22、断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类定义定义1 1 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,如果当自变量的增量如果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时,对应的函数对应的函数的增量的增量y 也趋向于零也趋向于零,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续,0 x称为称为)(xf的连的连续点续点.1 1、连续的定义、连续的定义).()(lim200 xfxfxx 定义定义定理定理.)()(00既左连续又右连续既左连续又右
23、连续处处在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 3 3、连续的充要条件、连续的充要条件2 2、单侧连续、单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 0000()()()()f xxf xf xf x 在在点点 处处连连续续:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存
24、在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf4 4、间断点的定义、间断点的定义(1)跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf (2)可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无
25、定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 5 5、间断点的分类、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:.,0右极限都存在右极限都存在处的左处的左函数在点函数在点x可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0 x0yx0 x0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点0yx0 x第二类间断点第二类间断点.)(,)(00类间断点类间断点的第二的第二为函数为函数则称点则称点至少有一个不存在至少有一个不存在右极限右极限处的左处的左在点在点如果如果xfxxxf.
26、,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 6 6、闭区间的连续性、闭区间的连续性7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.定理定理2 2).(lim)()(lim,)(,)(li
27、m000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若8 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3)()(lim00 xfxfxx 定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的
28、性质、闭区间上连续函数的性质定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.定理定理 3(3(零点定理零点定理)设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号(即即0)()(bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点,即至少有一点即至少有一点)(ba ，使，使0)(f.定理定理2(2(有界性定理有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界.推论推论 在闭区间上连
29、续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理)设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上上连续，且在这区间的端点取不同的函数值连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf)(及及 Bbf)(,那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点，使得，使得cf )()(ba .,().mAMa bfA 若若使使注注意意：(,),().mAMa bfA 若若使使二、典型例题二、典型例题例例1 1.)16(log2)1(的定义域的定义域求
30、函数求函数xyx 解解,0162 x,01 x,11 x 214xxx,4221 xx及及).4,2()2,1(即即题型题型1求函数的定义域、求函数的表达式求函数的定义域、求函数的表达式例例2 2).(.1,0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其中其中设设 解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性,1xxt 令令,11tx 即即代入原方程得代入原方程得,12)()11(ttftf ,12)11()(xxfxf 即即,111uux 令令,11ux 即即代入上式得代入上式得,)1(2)1()11(uuuufuf ,)1(2)1()11(xxxxfxf 即即 xxxxfxfxxfxf
31、xxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(解联立方程组解联立方程组.1111)(xxxxf例例3 设函数设函数 31,1(),1xxf xxx )(xff1)(,1)(3xfxf1)(,)(xfxf0,49xx10 x1,xx求求().f f x解解:,13 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 题型题型2 求复合函数求复合函数 例例4 4.)1(lim2nnnn 求求题型题型3 求数列的极求数列的极 限限211lim1)1(lim)1(lim22222 nnnnnnnnnnnnnn解解例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小
32、之和时时,n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.题型题型4 求初等函数的极限求初等函数的极限000()(),()()limxxf xxf xf xf x 若若为为初初等等函函数数，是是定定义义区区间间内内的的点点则则2131112 解解：原原式式213162limxxx 例例 求求310)1sin1tan1(1limxxxx 原式原式310tansinlim11sinxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxx
33、xxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式例例7 7)1.()sin1tan1(lim310 xxxx求求题型题型5 利用第二个重要极限（扩充的公式）利用第二个重要极限（扩充的公式）xxaxax)(lim 求求30tansin1lim1 sinxxxxxe 例例8 8.0,0,2,0,2)(极限极限处的处的在在求函数求函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2)2(lim)(lim00 xxfxx2 .)(lim0不不存存在在xfx题型题型6 求分段函数的极限求分段函数的极限 0lim()=Axxf x利利用用00()()-f xf xA
34、231x221x 例例9 9 求求.1cos1)1(lim3120 xxx解解:,0时时当当x1)1(312 x231x1cos x221x 0lim x原原式式32 机动 目录 上页 下页 返回 结束 题型题型7 利用等价无穷小代换求极限利用等价无穷小代换求极限.)2cos1cos(1lim40 xxx 求求例例1010).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,1 22111lim1limnnnnn ,1 由夹逼定理得由夹逼定理得.1)12111(lim222 nnnnn题型题型8 利用极限存在准则求极限利用极
35、限存在准则求极限 例例1111.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx,331 x又又,3 kx假定假定kkxx 3133 ,3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx例例1212.0,0,0,0,1sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,01sinlim0 xxx,0)0(f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在
36、函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 题型题型9 讨论函数的连续性讨论函数的连续性例例1313.1,2cos1,1)(的连续性的连续性讨论讨论 xxxxxf 解解改改写写成成将将)(xf 1,111,2cos1,1)(xxxxxxxf.),1(),1,1(),1,()(内内连连续续在在显显然然 xf,1时时当当 x )(lim1xfx )1(lim1xx.2 )(lim1xfx 2coslim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(间间断断在在故故 xxf,1时时当当 x )(lim1xfx 2coslim1xx.0 )(lim1xfx )1(lim1xx.011lim
37、()lim()(1)xxf xf xf .1)(连连续续在在故故 xxf.),1()1,()(连连续续在在 xf是什么间断点？，处是否连续？若不连续在讨论设例00)(0;10,1212)(1411xxxfxxxfxx题型题型10 求极限式或函数式中的参数求极限式或函数式中的参数32215lim8,.2xxaxbabx 例例已已知知求求、的的值值322lim()840 xxaxbab解解：由由已已知知得得）式式代代入入到到原原式式中中把把（132248lim2xxaxax 22(2)(24)(2)(2)lim2xxxxa xxx 22lim(242)1248(2)xxxaxaa124801,4.
38、4128ababa 联联立立（）、（）48(1)ba 利用无穷小量求参数利用无穷小量求参数例例16 16 设函数设函数)(xf,2)cos1(xxa0 x,10 x,)(ln2xb0 x在在 x=0 连续连续,则则 a=,b=.提示提示:20)cos1(lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习22.lim()1,.(1,2)1xxaxbababx 已已知知求求、的的值值211.lim1-)2xxxx kkk若若（）=0,=0,求求 的的值值.（1lim.xaxa提提示示：（利利用用变变量量消
39、消去去法法）用用乘乘以以原原极极限限式式的的两两端端，可可消消去去 前前的的变变量量,即即可可求求出出.提提示示：用用极极限限的的运运算算法法则则题型题型11 求函数的间断点并判断其类型求函数的间断点并判断其类型11,014()()ln(1);10 xexf xf xxx 例例设设求求的的间间断断点点并并判判断断其其类类型型.1)(1处函数无定义处函数无定义因为在因为在的一个间断点，的一个间断点，是是显然显然解：解：xxfx 111111limlim,0 xxxxee.1是是第第二二类类间间断断点点 x是分段点，是分段点，又又0 x,0)1ln()0(lim0 xfxeefxx1)0(110l
40、im .0是跳跃间断点是跳跃间断点 x题型题型12 关于无穷小的比较关于无穷小的比较2181,321 ln(1).nxxxxxn 例例当当时时与与为为同同阶阶无无穷穷小小，求求nxnxxxxxxxxx)1(ln)1)(13()1(ln123limlim121 解：解：nxxxxx)1()1(1ln113lim1 nxnxxxxxx)1()1()1()1(122311lim2lim .232)1(ln1232321lim nxxxxnnx时，时，当当非零因子要及时分离出来非零因子要及时分离出来例例1919).()21(1,0),1()0(,1,0)(ffffxf 使得使得证明必有一点证明必有一点
41、且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证明证明),()21()(xfxfxF 令令.21,0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论讨论:,0)0(F若若,0 则则);0()210(ff ,0)21(F若若,21 则则);21()2121(ff 题型题型13 零点定理的应用零点定理的应用则则若若,0)21(,0)0(FF )21()0(FF2)0()21(ff .0 由零点定理知由零点定理知,.0)(),21,0(F使使.)()21(成立成立即即 ff 综上综上,1,021,0 必有一点必有一点.)()21(成立成立使使 ff 练习练习 ).
42、()(,0).2()0(,2,0)(2).()(),().()(),()(,)()(1affaaffaxfgfbabgbfagafbaxgxf 使使试证：至少试证：至少且且上连续上连续在在、设、设使使试证：试证：连续，且连续，且在在、设、设一、一、选择题：选择题：1 1函数函数21arccos1 xxy的定义域是的定义域是（）(A)(A)1 x；(B)(B)13 x；(C)(C)1,3(；(D)(D)131 xxxx.2.2.函数函数 30,104,3)(2xxxxxf的定义域是的定义域是（）(A)(A)04 x；(B)(B)30 x;(C)(C)3,4(;(D)(D)3004 xxxx.测测
43、 验验 题题3 3、函函数数xxxysincos 是是（）(A A)偶偶函函数数；(B B)奇奇函函数数；(C C)非非奇奇非非偶偶函函数数；(D D)奇奇偶偶函函数数.4 4、函数、函数xxf2cos1)(的最小正周期是的最小正周期是（）(A)(A)2 2；(B)(B)；(C)(C)4 4；(D)(D)21 .5 5、函数、函数21)(xxxf 在定义域为在定义域为（）(A)(A)有上界无下界；有上界无下界；(B)(B)有下界无上界；有下界无上界；(C)(C)有界，且有界，且 2121)(xf ；(D D)有界，且有界，且 2122 xx.6 6、与、与2)(xxf 等价的函数是等价的函数是
44、（）(A)(A)x；(B)(B)2)(x；(C)(C)33)(x；(D)(D)x .7 7、当当0 x时时，下下列列函函数数哪哪一一个个是是其其它它三三个个的的高高阶阶无无穷穷小小（）（A A）2x；（B B）xcos1；（C C）xxtan；（D D）)1ln(x.8 8、设、设,0,00 ba则当则当（）时有）时有 00110110.limbabxbxbaxaxannnmmmx .(A)(A)nm ；(B)(B)nm ；(C)(C)nm ；(D)(D)nm,任意取任意取 .二二、求求下下列列函函数数的的定定义义域域：9 9、设设 10,01,1)(xxxxxf则则)(lim0 xfx()(
45、A A)-1 1 ；(B B)1 1 ；(C C)0 0 ；(D D)不不存存在在 .1 10 0、xxx0lim（）(A A)1 1；(B B)-1 1；(C C)0 0；(D D)不不存存在在.;arctan)12sin(1xxy 、2 2、12)9lg()(2 xxx .三、三、设设132)1(2 xxxg（1 1）试确定试确定cba,的值使的值使 cxbxaxg )1()1()1(2 ；（2 2）求求)1(xg的表达式的表达式 .四、四、求求xxxfsgn)1()(2 的反函数的反函数)(1xf.五五、求求极极限限：1 1、22)1(12limnnnn ；2 2、321lim3 xxx
46、 ；3 3、xxx20)1(lim ；4 4、)1(lim1 xxex ；5 5、当当0 x时时，nnxxx2cos.4cos2coslim ；6 6、121sinlim22 xxxx .六六、设设有有函函数数 1,1)1(1,sin)(xxaxaxxf试试确确定定a的的值值使使)(xf在在1 x连连续续 .七、七、讨论函数讨论函数xxxxf2sin11arctan)(的连续性，并判的连续性，并判断其间断点的类型断其间断点的类型.八八、证证明明奇奇次次多多项项式式：1221120)(nnnaxaxaxP)0(0 a至至少少存存 在在一一个个实实根根 .一、一、1 1、B B；2 2、D D；3
47、 3、B B；4 4、C C；5 5、C C；6 6、D D；7 7、C C；8 8、B B；9 9、D D；10 10、D D；二、二、1 1、);,(2 2、4,5.4,5.三、三、352)1(,0,1,22 xxxgcba.四、四、1,)1(0,01,1)(1xxxxxxf.五、五、1 1、2 2；2 2、41；3 3、2e；4 4、1 1；5 5、xxsin；6 6、22.测验题答案测验题答案六、六、ka22 ),2,1,0(k七、七、0 x可去间断点可去间断点,1 x跳跃间断点跳跃间断点,),2,1(2 nnx无穷间断点无穷间断点,x为其它实数时为其它实数时)(xf连续连续.例例1.
48、设 f(x)定义在区间),(上,有yx,)()()(yfxfyxf,若 f(x)在连续,0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0(xf)(xf阅读与练习阅读与练习且对任意实数证明 f(x)对一切 x 都连续.P64 题2(2),4;P73 题5机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2).(,1)(lim,2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多项式是多项式设设 解解,2)(lim23 xxxpx),(2)(23为待定系数为待定系数其中其中可设可设babaxxxxp ,1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp.1,0 ab从从而而得得xxxxp 232)(故故
