1、06函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性与对称性函数的奇偶性与对称性(1)偶函数和奇函数偶函数和奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数定定义义条件条件如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内_一个一个x，都有，都有f(x)_f(x)_结论结论函数函数f(x)叫作偶函数叫作偶函数函数函数f(x)叫作奇函数叫作奇函数图象特征图象特征图象关于图象关于_对称对称图象关于图象关于_对称对称任意任意f(x)f(x)y轴轴原点原点(2)奇偶函数的性质奇偶函数的性质(i)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上
2、的单调性相反在关于原点对称的区间上的单调性相反(ii)在公共定义域内在公共定义域内a两个奇函数的和函数是两个奇函数的和函数是_函数，两个奇函数的函数，两个奇函数的积函数是积函数是_函数函数b两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数c一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数(iii)若若f(x)是奇函数且在是奇函数且在x0处有定义，则处有定义，则f(0)0.奇奇偶偶2函数周期性函数周期性(1)周期函数的定义周期函数的定义对于函数对于函数yf(x)，如果存在一个，如果存在一个_常数常数T，使得当，使得当x取定义域内的取定义域内的_
3、值时，都有值时，都有_，那么就称，那么就称函数函数yf(x)为周期函数，称为周期函数，称T为这个函数的周期为这个函数的周期(2)常见的几个结论常见的几个结论周期函数周期函数yf(x)满足：满足：(i)若若f(xa)f(xa)，则函数的周期为，则函数的周期为_；(ii)若若f(xa)f(x)，则函数的周期为，则函数的周期为2a；非零非零任何任何f(xT)f(x)2a考向考向1 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断是函数奇偶性问题的基础在高考中函数奇偶性的判断是函数奇偶性问题的基础在高考中以选择题、填空题形式出现，属于容易题，分值以选择题、填空题形式出现，属于容易题，分值5分分 例例1
4、(1)(2015安徽安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ()Aycos x Bysin x Cyln x Dyx21(2)(2014课标课标，3)设函数设函数f(x)，g(x)的定义域为的定义域为R，且，且f(x)是奇是奇函数，函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是是偶函数，则下列结论中正确的是 ()Af(x)g(x)是偶函数是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数是奇函数【解析解析】(1)由选项可知，由选项可知，A，D为偶函数，但为偶函数，但D中函数无零中函数无
5、零点点(2)(利用函数奇偶性的定义判断利用函数奇偶性的定义判断)对于对于A：令：令h(x)f(x)g(x)，则则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，是奇函数，A错；对于错；对于B：令：令h(x)|f(x)|g(x)，则则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，是偶函数，B错；对于错；对于C：令：令h(x)f(x)|g(x)|，则则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，h(x)是奇函数，是奇函数，C正确；正确；对于对于D：令：令h(x)|f(x)g(x)|，则，则h(x)|f(x)g(x)|f(x
6、)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)为偶函数，为偶函数，D错错【答案答案】(1)A(2)C 判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法(1)定义法定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断进行判断利用定义判断函数奇偶性的步骤：利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法图象法变式训练变式训练1(2018辽宁锦州月考辽宁锦州月考，4)若若f(x)是定义在是定义在R上的函数，则上的函数，则“f(0)0”是是“函数
7、函数f(x)为奇函数为奇函数”的的()A必要不充分条件必要不充分条件 B充要条件充要条件C充分不必要条件充分不必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】f(x)在在R上为奇函数上为奇函数f(0)0；f(0)0 f(x)在在R上为奇函数，如上为奇函数，如f(x)x2，故选，故选A.A2(2018山西大同检测山西大同检测，4)下列函数中，在其定义域内是偶函下列函数中，在其定义域内是偶函数又在数又在(，0)上单调递增的是上单调递增的是()C考向考向2 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用由于函数的奇偶性在求函数值、求解析式、求解析式中由于函数的奇偶性在求函数值、求解析式、求解析式中
8、参数的值、画函数图象和判断函数单调性等方面有着重要应参数的值、画函数图象和判断函数单调性等方面有着重要应用，因此已成为高考命题的一个热点，常与函数的其他性质交用，因此已成为高考命题的一个热点，常与函数的其他性质交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，分值汇命题，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，分值5分分例例2(1)(2018安徽合肥月考安徽合肥月考，4)已知函数已知函数f(x)x3sin x1(xR)，若，若f(a)2，则，则f(a)的值为的值为()A3 B0 C1 D2【解析解析】(1)设设F(x)f(x)1x3sin x，显然，显然F(x)为奇函为奇函数，又数，又F(
9、a)f(a)11，所以，所以F(a)f(a)11，从而，从而f(a)0.故选故选B.(2)由于由于f(x)是偶函数，是偶函数，所以所以f(x)f(x)，所以所以xln a0.又因为又因为x不恒为不恒为0，所以所以ln a0，即，即a1.【答案答案】(1)B(2)1 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用
10、奇偶性构造关于性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程的方程(组组)，从而得到，从而得到f(x)的解析式的解析式(3)求函数解析式中参数的值求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组组)，进而，进而得出参数的值得出参数的值(4)画函数图象和判断单调性画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性上的单调性变式训练变式训练D2(2018宁夏银川月
11、考宁夏银川月考，13)已知已知f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，上的奇函数，当当x0时，时，f(x)x24x，则，则f(x)_【解析解析】f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，上的奇函数，f(0)0.又当又当x0时，时，x0，f(x)x24x.又又f(x)为奇函数，为奇函数，f(x)f(x)，即，即f(x)x24x(x0)，考向考向3 函数的周期性及其应用函数的周期性及其应用利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题，在数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题，在高考中经常出现
12、，虽不及函数的单调性、奇偶性考查频率高，高考中经常出现，虽不及函数的单调性、奇偶性考查频率高，但仍不失为一个重点内容，以选择题、填空题形式考查，属中但仍不失为一个重点内容，以选择题、填空题形式考查，属中低档题目低档题目(2)(2014课标课标文文，15)偶函数偶函数yf(x)的图象关于直线的图象关于直线x2对对称，称，f(3)3，则，则f(1)_(2)因为因为f(x)的图象关于直线的图象关于直线x2对称，对称，所以所以f(x)f(4x)，f(x)f(4x)又又f(x)f(x)，所以，所以f(x)f(4x)，则则f(1)f(41)f(3)3.【答案答案】(1)2(2)3 函数周期性的判断与应用函
13、数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期只需证明判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函便可证明函数是周期函数，且周期为数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结论：若化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则是函数的周期，则kT(kZ且且k0
14、)也是函数的周期也是函数的周期变式训练变式训练1(2018安徽六安月考安徽六安月考，14)设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且上的奇函数，且对任意实数对任意实数x，恒有，恒有f(x4)f(x)当当x0，2时，时，f(x)2xx2，则，则f(2 019)_【解析解析】因为因为f(x4)f(x)，所以周期，所以周期T4.又又f(1)1，所，所以以f(2 019)f(34504)f(3)f(41)f(1)f(1)1.12(2018福建泉州检测福建泉州检测，14)奇函数奇函数f(x)的定义域为的定义域为R，若，若f(x1)为偶函数，且为偶函数，且f(1)2，则，则f(4)f(5)_【解析解析】
15、f(x1)为偶函数，为偶函数，f(x)是奇函数，是奇函数，f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，f(0)0，f(x1)f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(x)，f(x)是周期为是周期为4的周期函数，则的周期函数，则f(4)f(0)0，f(5)f(1)2，f(4)f(5)022.2考向考向4 函数性质的综合应用函数性质的综合应用函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性结高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数
16、结合，并结合奇偶性、单调性，考合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性、单调性，考查函数性质的综合应用高考中多以选择题、填空题的形式出查函数性质的综合应用高考中多以选择题、填空题的形式出现，难度稍大，为中高档题现，难度稍大，为中高档题(2)(2018河南安阳模拟河南安阳模拟，15)已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)满足满足f(x4)f(x)，且在区间，且在区间0，2上是增函数若方程上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间在区间8，8上有四个不同的根上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则，则x1x2x3x4_【解析解析】(1)由由f(x)是偶函数且是偶函数且f(x)在在(，
17、0)上单调递增，得上单调递增，得f(x)在在(0，)上单调递减上单调递减(2)f(x)为奇函数且为奇函数且f(x4)f(x)，f(x4)f(4x)f(x)，即即f(x)f(4x)且且f(x8)f(x4)f(x)，即即yf(x)的图象关于直线的图象关于直线x2对称，对称，并且是周期为并且是周期为8的周期函数的周期函数f(x)在在0，2上是增函数，上是增函数，f(x)在在2，2上是增函数，在上是增函数，在2，6上是减函数上是减函数据此可画出据此可画出yf(x)图象的草图图象的草图(如图如图)：其图象也关于直线其图象也关于直线x6对称，对称，x1x212，x3x44，x1x2x3x48.函数性质综合
18、应用的注意点函数性质综合应用的注意点(1)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能化到已知区间的功能(2)一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此在解题时，往现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题变式训练变式训练Af(a)f(b)f(c)Bf(b)f(a)f(c)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(a)f(b)D2
