1、28数列求和、数列的综合应用数列求和、数列的综合应用1公式法求和公式法求和使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法为等差、等比数列的求和方法一些特殊数列的前一些特殊数列的前n项和公式项和公式(1)123n_；(2)2462n _；(3)135(2n1)_；n(n1)n22错位相减法求和错位相减法求和(1)适用条件：如果一个数列的各项由一个等差数列的各适用条件：如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前n项和项和可用此法来
2、求，即求数列可用此法来求，即求数列anbn的前的前n项和，其中项和，其中an，bn分分别是等差数列和等比数列别是等差数列和等比数列(2)关注点：关注点：(i)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；为负数的情形；(ii)在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注的表达式时应特别注意将两式意将两式“错项对齐错项对齐”，以便于下一步准确地写出，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的的表达式表达式在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，要分公比等于数，要分公比等于1和不等于和不等于1两种情
3、况求解两种情况求解3裂项相消法求和裂项相消法求和(1)原理：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的原理：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见数列的裂项常见数列的裂项数列数列(n为正整数为正整数)裂项方法裂项方法(k为非零常数为非零常数)4.倒序相加法求和倒序相加法求和如果一个数列如果一个数列an与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两项的和等于首的两项的和等于首末两项之和，可把正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一末两项之和，可把正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前个常数列的和，那
4、么求这个数列的前n项和即可用倒序相加项和即可用倒序相加法，例如等差数列的前法，例如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的项和公式即是用此法推导的(a0，a1)5分组求和法求和分组求和法求和若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化求和法，分别求和可求和的数列组成，则求和时可用分组转化求和法，分别求和然后相加减例如已知然后相加减例如已知an2n(2n1)，求，求Sn.考向考向1 公式法、分组求和法求和公式法、分组求和法求和利用公式进行数列求和是高考的常考内容，题型既有选利用公式进行数列求和是高考的常考
5、内容，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，属容易题择题、填空题，又有解答题，难度适中，属容易题.在复习中，在复习中，除了熟练掌握求和公式外，还要熟记一些常见的求和结论，分除了熟练掌握求和公式外，还要熟记一些常见的求和结论，分清数列的项数，以免在使用公式时出错清数列的项数，以免在使用公式时出错例例1(2016浙江文浙江文，17，15分分)设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通项公式求通项公式an；(2)求数列求数列|ann2|的前的前n项和项和又当又当n2时，由时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得得an13an.
6、所以数列所以数列an的通项公式为的通项公式为an3n1，nN*.(2)设设bn|3n1n2|，nN*，b12，b21.当当n3时，由于时，由于3n1n2，故故bn3n1n2，n3.设数列设数列bn的前的前n项和为项和为Tn，则，则T12，T23.1几类可以使用公式求和的数列几类可以使用公式求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解公式求解(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可奇数项和偶数项分别构成等差
7、数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式和公式(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列乘等差数列各项加上绝对值，等差数列乘(1)n等等2分组转化法求和的常见类型分组转化法求和的常见类型(1)若若anbncn，且，且bn，cn为等差或等比数列，可采用为等差或等比数列，可采用分组求和法求分组求和法求an的前的前n项和项和变式训练变式训练(2016北京文北京文，15，13分分)已知已知an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列，且是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求求an的通项公式；的
8、通项公式；(2)设设cnanbn，求数列，求数列cn的前的前n项和项和设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d.因为因为a1b11，a14b427，所以所以113d27，即，即d2.所以所以an2n1(n1，2，3，)(2)由由(1)知，知，an2n1，bn3n1.因此因此cnanbn2n13n1.从而数列从而数列cn的前的前n项和项和考向考向2 错位相减法求和错位相减法求和错位相减法求和在高考中几乎年年考查，多在解答题的错位相减法求和在高考中几乎年年考查，多在解答题的第二问中出现，难度中档，约占第二问中出现，难度中档，约占6分在应用错位相减法求和分在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特
9、征，即数列的项可以看作是由一个等时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得，所谓的等比数列对应项相乘所得，所谓“错错位位”就是找就是找“同类项同类项”相减相减例例2(2017天津天津，18，13分分)已知已知an为等差数列，前为等差数列，前n项和为项和为Sn(n N*)，bn是首项为是首项为2的等比数列，且公比大于的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求求an和和bn的通项公式；的通项公式；(2)求数列求数列a2nb2n1的前的前n项和项和(n N*)【解析解析】(1)设等差数
10、列设等差数列an的公差为的公差为d，等比数列，等比数列bn的公比的公比为为q.由已知由已知b2b312，得，得b1(qq2)12，而，而b12，所以，所以q2q60.又因为又因为q0，解得，解得q2.所以所以bn2n.由由b3a42a1，可得，可得3da18.由由S1111b4，可得，可得a15d16，联立联立，解得，解得a11，d3，由此可得，由此可得an3n2.所以数列所以数列an的通项公式为的通项公式为an3n2，数列，数列bn的通项公式为的通项公式为bn2n.(2)设数列设数列a2nb2n1的前的前n项和为项和为Tn，由由a2n6n2，b2n124n1，有，有a2nb2n1(3n1)4
11、n，故故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，上述两式相减，得上述两式相减，得3Tn2434234334n(3n1)4n1错位相减法求和的具体步骤错位相减法求和的具体步骤步骤步骤1写出写出Snc1c2cn；步骤步骤2等式两边同乘等比数列的公比等式两边同乘等比数列的公比q，即，即qSnqc1qc2qcn；步骤步骤3两式错位相减转化成等比数列求和；两式错位相减转化成等比数列求和；步骤步骤4两边同除以两边同除以1q，求出，求出Sn.同时注意对同时注意对q是否为是否为1进进行讨论行讨论变式训练变式训练(2015山东山东，18，12分分)设数列设数列
12、an的前的前n项和为项和为Sn.已知已知2Sn3n3.(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列bn满足满足anbnlog3an，求，求bn的前的前n项和项和Tn.解解：(1)因为因为2Sn3n3，所以，所以2a133，故，故a13，当当n2时，时，2Sn13n13，可得可得2an2Sn2Sn13n3n123n1，所以所以3Tn1130231(n1)32n，两式相减，得两式相减，得考向考向3 裂项法求和裂项法求和裂项法求和在高考中经常考查，多以解答题的形式考裂项法求和在高考中经常考查，多以解答题的形式考查，并且往往出现在第二问，难度属中高档在复习时，熟记查，并且往往出现在第二问，
13、难度属中高档在复习时，熟记常见的裂项形式，弄清在抵消过程中是依次抵消还是间隔抵常见的裂项形式，弄清在抵消过程中是依次抵消还是间隔抵消，特别要注意抵消后的剩余项消，特别要注意抵消后的剩余项所以所以an是首项为是首项为3，公差为，公差为2的等差数列，的等差数列，所以通项公式所以通项公式an2n1.(2)由由an2n1可知可知用裂项法求和的裂项原则及规律用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止发现被消去项的规律为止(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边消项规律：消项后前边剩几项，
14、后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项剩第几项，后边就剩倒数第几项要注意要注意n1时，是否符合所求得的通项公式；时，是否符合所求得的通项公式；裂裂项相消后，注意留下了哪些项，避免遗漏项相消后，注意留下了哪些项，避免遗漏变式训练变式训练(2014山东山东，19，12分分)已知等差数列已知等差数列an的公差为的公差为2，前，前n项和为项和为Sn，且，且S1，S2，S4成等比数列成等比数列(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；考向考向4 数列与函数、不等式的综合应用数列与函数、不等式的综合应用数列与函数、不等式的综合问题是每年高考的重点，多数列与函数、不等式的综合问题是每年高考的重点
15、，多为解答题，难度偏大，属中高档题高考对数列与函数、不等为解答题，难度偏大，属中高档题高考对数列与函数、不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度：以数列为载式的综合问题的考查常有以下两个命题角度：以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；考查与数列问题有关的不等体，考查不等式的恒成立问题；考查与数列问题有关的不等式的证明问题在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特式的证明问题在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点点例例4(2015安徽安徽，18，12分分)设设nN*，xn是曲线是曲线yx2n21在在点点(1，2)处的切线与处的切线与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标(1)求数列求数列xn的通项公
16、式；的通项公式；【解解析析】(1)由题意，由题意，y(2n2)x2n1，曲线在点曲线在点(1，2)处的切线斜率为处的切线斜率为2n2.切线方程为切线方程为y2(2n2)(x1)(2)证明：由题设和证明：由题设和(1)中的计算结果知，中的计算结果知，1数列与函数综合问题的主要类型及方法数列与函数综合问题的主要类型及方法(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题数的性质、图象研究数列问题(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法
17、对式子化简变形充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形2数列中不等式问题的处理方法数列中不等式问题的处理方法(1)函数法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得函数法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式得出数列中的不等式(2)放缩法：数列中不等式可以通过对中间过程或最后的放缩法：数列中不等式可以通过对中间过程或最后的结果放缩得到结果放缩得到(3)比较法：作差或者作商比较法比较法：作差或者作商比较法(4)数学归纳法：使用数学归纳法进行证明数学归纳法：使用数学归
18、纳法进行证明变式训练变式训练(2016四川四川，19，12分分)已知数列已知数列an的首项为的首项为1，Sn为数列为数列an的前的前n项和，项和，Sn1qSn1，其中，其中q0，nN*.(1)若若2a2，a3，a22成等差数列，求数列成等差数列，求数列an的通项公式；的通项公式；解解：(1)由已知，由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，两式相减，两式相减得，得，an2qan1，n1.又由又由S2qS11得到得到a2qa1，故故an1qan对所有对所有n1都成立，都成立，所以数列所以数列an是首项为是首项为1，公比为，公比为q的等比数列的等比数列从而从而anqn1.由由2a2，a3，a22成等差数列，可得成等差数列，可得2a33a22，即，即2q23q2，则则(2q1)(q2)0，由已知，由已知，q0，故，故q2.所以所以an2n1(nN*)(2)证明：由证明：由(1)可知，可知，anqn1，
