1、37直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质1直线与平面垂直的判定定理及性质定理直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判定判定定理定理一条直线与平面内的一条直线与平面内的两条两条_直线都垂直线都垂直，则该直线与此平直，则该直线与此平面垂直面垂直性质性质定理定理垂直于同一个平面的垂直于同一个平面的两条直线两条直线_abOab相交相交平行平行2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_叫叫作这条直线和这个平面所成的角一条直线垂直于平面，该直作这条直线和这个平面所成
2、的角一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是线与平面所成的角是_；一条直线和平面平行，或在平面；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是内，则此直线与平面所成的角是_的角的角(2)线面角线面角的范围：的范围：_直角直角0090锐角锐角3平面与平面垂直的判定定理及性质定理平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判判定定定定理理一个平面过另一个一个平面过另一个平面的平面的_,则这两个平面互相则这两个平面互相垂直垂直性性质质定定理理两个平面互相垂两个平面互相垂直，则一个平面内直，则一个平面内垂直于垂直于_的直的直线垂直于另一个平线垂直于另一
3、个平面面一条垂线一条垂线交线交线 空间垂直关系的转化空间垂直关系的转化这是立体几何中证明垂直关系的常用思路，三种垂这是立体几何中证明垂直关系的常用思路，三种垂直关系的转化可结合下图记忆：直关系的转化可结合下图记忆：4二面角的平面角二面角的平面角(1)如图所示的二面角如图所示的二面角l，若，若Ol，OA，OB，OAl，OBl，则，则AOB就叫作二面角就叫作二面角l的平面的平面角角(2)二面角二面角的范围：的范围：_0180考向考向1 线面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质线面垂直的证明是高考中的热点问题，考题形式主要线面垂直的证明是高考中的热点问题，考题形式主要有：直线与平面垂直的判定与证明；
4、有：直线与平面垂直的判定与证明；利用直线与平面垂直利用直线与平面垂直的性质证明线线垂直或面面垂直此类题常以解答题形式呈的性质证明线线垂直或面面垂直此类题常以解答题形式呈现，难度适中现，难度适中例例1(2016浙江浙江，17，15分分)如图，在三棱台如图，在三棱台ABCDEF中，平面中，平面BCFE平面平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：求证：BF平面平面ACFD；(2)求二面角求二面角BADF的平面角的余弦值的平面角的余弦值【解析解析】(1)证明：延长证明：延长AD，BE，CF相交于一点相交于一点K，如图所，如图所示示因为平面因为平面BCFE平面平面ABC，且，
5、且ACBC，所以，所以AC平面平面BCK，因此，因此BFAC.又因为又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以所以BCK为等边三角形，且为等边三角形，且F为为CK的中点，则的中点，则BFCK.所以所以BF平面平面ACFD.(2)方法一：如图，过点方法一：如图，过点F作作FQAK于于Q，连接，连接BQ.因为因为BF平面平面ACK，所以，所以BFAK，则则AK平面平面BQF，所以，所以BQAK.所以所以BQF是二面角是二面角BADF的平面角的平面角在在RtACK中，中，AC3，CK2，方法二：由方法二：由(1)知知BCK为等边三角形为等边三角形取取BC的中点的中点O，则，则KOBC.又平面又平面
6、BCFE平面平面ABC，所以，所以KO平面平面ABC.如图，以点如图，以点O为原点，分别以射线为原点，分别以射线OB，OK的方向为的方向为x，z轴的轴的正方向，建立空间直角坐标系正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.点拨点拨：(1)由棱台的性质知，由棱台的性质知，AD，BE，CF的延长线相交于一的延长线相交于一点，将三棱台点，将三棱台ABCDEF补形为三棱锥补形为三棱锥KABC是解题的突破是解题的突破口口(2)方法一是几何法作出二面角方法一是几何法作出二面角BADF的平面角，关键是抓住的平面角，关键是抓住BF平面平面ACK；方法二是向量法求二面角；方法二是向量法求二面角BADF的平面角的的平面角
7、的余弦值，关键是抓住三条两两垂直的直线作空间直角坐标系的余弦值，关键是抓住三条两两垂直的直线作空间直角坐标系的坐标轴，向量法中正确计算也是很重要的坐标轴，向量法中正确计算也是很重要的1证明直线与平面垂直的具体步骤证明直线与平面垂直的具体步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直；线垂直；(2)证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直；证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直；(3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论用：利用线面垂直的判定定理，得出结论2判定线面垂直的四种方法判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理
8、利用线面垂直的判定定理(2)利用利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直与这个平面垂直”(3)利用利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理变式训练变式训练(2015北京北京，17，14分分)如图，在四棱锥如图，在四棱锥AEFCB中，中，AEF为等边三角形，平面为等边三角形，平面AEF平面平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O为为EF的中点的中点(1)求证：求证：AOBE；(2)求二面角求二面
9、角FAEB的余弦值；的余弦值；(3)若若BE平面平面AOC，求，求a的值的值解解：(1)证明：因为证明：因为AEF为等边三角形，为等边三角形，O为为EF的中点，所以的中点，所以AOEF.又因为平面又因为平面AEF平面平面EFCB，AO平面平面AEF，所以，所以AO平面平面EFCB，又，又BE平面平面EFCB，所以，所以AOBE.(2)如图，取如图，取BC中点中点G，连接，连接OG.由题设知四边形由题设知四边形EFCB是等腰是等腰梯形，所以梯形，所以OGEF.由由(1)知知AO平面平面EFCB.又又OG平面平面EFCB.所以所以OAOG.考向考向2 面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质面面垂
10、直的证明是高考常考内容之一，主要是利用面面面面垂直的证明是高考常考内容之一，主要是利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，常出现在解答题的垂直的判定定理证明面面垂直，常出现在解答题的(1)(2)问问中，或利用面面垂直证明其他位置关系中，或利用面面垂直证明其他位置关系例例2(2017课标课标，19，12分分)如图，四面体如图，四面体ABCD中，中，ABC是正三角形，是正三角形，ACD是直角三角形，是直角三角形，ABDCBD，ABBD.(1)证明：平面证明：平面ACD平面平面ABC；(2)过过AC的平面交的平面交BD于点于点E，若平面，若平面AEC把四面体把四面体ABCD分成体分成体积相等的两部分，求
11、二面角积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值的余弦值【解析解析】(1)证明：如图，取证明：如图，取AC中点为中点为O，连接，连接BO，DO.ABC是正三角形，是正三角形，ABBC，BOAC.ADCD，即，即ACD为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ADC为直角为直角又又O为底边为底边AC中点中点DOAC.令令ABa，则，则ABACBCBDa，又又ACOBO，AC平面平面ABC，OB平面平面ABC，OD平面平面ABC.又又OD平面平面ACD，平面平面ACD平面平面ABC.(2)由题意可知由题意可知VDACEVBACE，即即B，D到平面到平面ACE的距离相等，即的距离相等，即E为为BD中点中点设
12、平面设平面AED的法向量为的法向量为n1(x，y，z)，平面，平面AEC的法向量为的法向量为n2(m，n，p)，证明面面垂直的两种思路证明面面垂直的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题问题变式训练变式训练(2016北京文北京文，18，14分分)如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABC
13、D中，中，PC平面平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：求证：DC平面平面PAC；(2)求证：平面求证：平面PAB平面平面PAC；(3)设点设点E为为AB的中点，在棱的中点，在棱PB上是否存在点上是否存在点F，使得，使得PA平平面面CEF？说明理由？说明理由解解：(1)证明：因为证明：因为PC平面平面ABCD，所以所以PCDC.又因为又因为DCAC，所以所以DC平面平面PAC.(2)证明：因为证明：因为ABDC，DCAC，所以所以ABAC.因为因为PC平面平面ABCD，所以所以PCAB.所以所以AB平面平面PAC.所以平面所以平面PAB平面平面PAC.(3)棱棱PB上存在点上存在点F，
14、使得，使得PA平面平面CEF.证明如下：证明如下：如图，取如图，取PB中点中点F，连接，连接EF，CE，CF.又因为又因为E为为AB的中点，的中点，所以所以EFPA.又因为又因为PA 平面平面CEF，所以所以PA平面平面CEF.考向考向3 线面角、二面角的求法线面角、二面角的求法线面角、二面角问题是高考的热点和重点，几乎年年必线面角、二面角问题是高考的热点和重点，几乎年年必考，一般建立空间直角坐标系，用空间向量解决，以解答题形考，一般建立空间直角坐标系，用空间向量解决，以解答题形式出现，难度中等式出现，难度中等例例3(2018河南郑州月考河南郑州月考，18，12分分)如图，在四棱锥如图，在四棱
15、锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是是PC的中点的中点(1)求求PB与平面与平面PAD所成的角的大小；所成的角的大小；(2)证明：证明：AE平面平面PCD；(3)求二面角求二面角APDC的正弦值的正弦值【解析解析】(1)在四棱锥在四棱锥PABCD中，中，因为因为PA底面底面ABCD，AB平面平面ABCD，故，故PAAB.又又ABAD，PAADA，从而，从而AB平面平面PAD，故故PB在平面在平面PAD内的射影为内的射影为PA，从而从而APB为为PB与平面与平面PAD所成的角所成的角在在RtPAB中，中，ABPA，故，故APB45.所以所以
16、PB与平面与平面PAD所成的角的大小为所成的角的大小为45.(2)证明：在四棱锥证明：在四棱锥PABCD中，中，因为因为PA底面底面ABCD，CD平面平面ABCD，所以，所以CDPA.因为因为CDAC，PAACA，所以，所以CD平面平面PAC.又又AE平面平面PAC，所以，所以AECD.由由PAABBC，ABC60，可得，可得ACPA.因为因为E是是PC的中点，所以的中点，所以AEPC.又又PCCDC，所以，所以AE平面平面PCD.(3)过点过点E作作EMPD，垂足为，垂足为M，连接，连接AM，如图所示，如图所示由由(2)知，知，AE平面平面PCD，AM在平面在平面PCD内的射影是内的射影是E
17、M，则，则AMPD.因此因此AME是二面角是二面角APDC的平面角的平面角由已知，可得由已知，可得CAD30.1求空间角的三个步骤求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角为所求的角；证：即证明找出的角为所求的角；(3)算：即通过解三角形的方法求出所求角算：即通过解三角形的方法求出所求角2空间线面角、二面角的求法空间线面角、二面角的求法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，作出垂线，线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，作出垂线，确定垂足确定垂足(2)二面角的求法二面角的求法点点(定义法定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半：在二面角
18、的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图平面内分别作垂直于棱的射线如图1，AOB为二面角为二面角l的平面角的平面角线线(三垂线定理法三垂线定理法)：过二面角的一个面内一点作另一个：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角如图的平面角或其补角如图2，ABO为二面角为二面角l的平面角的平面角面面(垂面法垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角面角的两个半平面产生交线，这两
19、条交线所成的角即为二面角的平面角如图的平面角如图3，AOB为二面角为二面角l的平面角的平面角空间向量法空间向量法(1)在平面在平面PAB内找一点内找一点M，使得，使得CM平面平面PBE，并说明理，并说明理由；由；(2)若二面角若二面角PCDA的大小为的大小为45，求直线，求直线PA与平面与平面PCE所成所成角的正弦值角的正弦值解解：(1)在梯形在梯形ABCD中，中，AB与与CD不平行，延长不平行，延长AB，DC，相，相交于点交于点M(M平面平面PAB)，点，点M即为所求的一个点理由如下：即为所求的一个点理由如下：由已知，由已知，BCED，且，且BCED，所以四边形所以四边形BCDE是平行四边形
20、，是平行四边形，从而从而CMEB.又又EB平面平面PBE，CM 平面平面PBE，所以所以CM平面平面PBE.(2)方法一：由已知，方法一：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以所以CD平面平面PAD，从而，从而CDPD，所以所以PDA是二面角是二面角PCDA的平面角，所以的平面角，所以PDA45，设设BC1，则在则在RtPAD中，中，PAAD2.过点过点A作作AHCE，交，交CE的延长线于点的延长线于点H，连接，连接PH，易知，易知PA平面平面ABCD，从而，从而PACE，于是，于是CE平面平面PAH，所以平面所以平面PCE平面平面PAH.过过A作作AQPH于于Q，则则AQ平面平面PCE
21、，所以，所以APH是是PA与平面与平面PCE所成的角所成的角在在RtAEH中，中，AEH45，AE1，方法二：由已知，方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以所以CD平面平面PAD，于是，于是CDPD，从而从而PDA是二面角是二面角PCDA的平面角，所以的平面角，所以PDA45.由由PAAB，可得，可得PA平面平面ABCD.设设BC1，则在，则在RtPAD中，中，PAAD2，A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)，设设x2，解得，解得n(2，2，1)设直线设直线PA与平面与平面PCE所成的角为所成的角为，思路点拨思路点拨：(1)因为因为E，F分别是所在棱的中点，可取分别是所在棱的中点，可取PB的中点的中点M，证明四边形，证明四边形AMFE是平行四边形，然后利用线面平行的判是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明定定理证明(2)连接连接PE，BE，由题意知，由题意知PEB60，在，在PEB中利用中利用余弦定理证出余弦定理证出BEPB.又又BEAD，然后利用线面垂直和面面，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；垂直的判定定理证明；由由知知BE平面平面PBC，则，则EFB即为即为直线直线EF与平面与平面PBC所成的角所成的角
