1、44抛物线及其性质抛物线及其性质1抛物线的定义抛物线的定义平面内与平面内与_和和_(l不过不过F)的距离的距离相等的点的轨迹叫作抛物线点相等的点的轨迹叫作抛物线点F叫作抛物线的焦点，直线叫作抛物线的焦点，直线l叫叫作抛物线的准线作抛物线的准线一个定点一个定点F一条定直线一条定直线l2抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程和几何性质标准标准方程方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形图形顶点顶点(0，0)对称对称轴轴x轴轴y轴轴焦点焦点_准线准线_对于抛物线的标准方程，焦点坐标总是落在一次项对于抛物线的标准方程，焦点坐标总是落在一次项未知数所在的坐标轴
2、上，若系数为正，则落在正半轴未知数所在的坐标轴上，若系数为正，则落在正半轴上；若系数为负，则落在负半轴上上；若系数为负，则落在负半轴上3抛物线焦点弦的性质抛物线焦点弦的性质若线段若线段AB为抛物线为抛物线y22px(p0)的焦点弦，的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则考向考向1 抛物线的定义及应用抛物线的定义及应用高考中对抛物线定义的考查有两个层次：一是当已知曲高考中对抛物线定义的考查有两个层次：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为满足定义，它到准线的距离为d，则，则|MF|d，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是，有
3、关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线轨迹是抛物线【解析解析】如图，过如图，过A，B分别作抛物线准线的垂线分别作抛物线准线的垂线AQ，BP，垂足分别为垂足分别为Q，P，设，设|AF|a，|BF|b.【答案答案】D 与抛物线有关的最值问题的解题策略与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点
4、到焦点的距将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出离，构造出“两点之间线段最短两点之间线段最短”，使问题得解；，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决解决变式训练变式训练A4 B2 C1 D8C2(2017广东广州一模广东广州一模，7)如果如果P1，P2，Pn是抛物线是抛物线C：y24x上的点，它们的横坐标依次为上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，F是抛是抛物线物线C的焦点，若的焦点，若x1x2xn10，则，则|
5、P1F|P2F|PnF|()An10 Bn20C2n10 D2n20【解析解析】抛物线的焦点为抛物线的焦点为(1，0)，准线方程为，准线方程为x1，由，由抛物线的定义，可知抛物线的定义，可知|P1F|x11，|P2F|x21，故，故|P1F|P2F|PnF|n10.A考向考向2 求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程高考要求熟练掌握四种不同的抛物线的标准方程形式，高考要求熟练掌握四种不同的抛物线的标准方程形式，考查形式主要有两种：一是根据题设条件求抛物线的标准方考查形式主要有两种：一是根据题设条件求抛物线的标准方程，二是通过抛物线的标准方程得出抛物线的基本量的数值，程，二是通过抛物线的标准方程得
6、出抛物线的基本量的数值，在选择题、填空题、解答题中均有体现，难度中等偏上在选择题、填空题、解答题中均有体现，难度中等偏上例例2(2013课标课标，11)设抛物线设抛物线C：y22px(p0)的焦点为的焦点为F，点点M在在C上，上，|MF|5.若以若以MF为直径的圆过点为直径的圆过点(0，2)，则，则C的方的方程为程为 ()Ay24x或或y28x By22x或或y28xCy24x或或y216x Dy22x或或y216x【解析解析】方法一：因为以方法一：因为以MF为直径的圆过点为直径的圆过点(0，2)，因为点因为点N的横坐标恰好等于圆的半径，的横坐标恰好等于圆的半径，又因为又因为p0，解得，解得p
7、2或或p8，所以抛物线所以抛物线C的方程为的方程为y24x或或y216x.【答案答案】C求抛物线标准方程的方法及注意点求抛物线标准方程的方法及注意点(1)方法：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待方法：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法若题目已给出抛物线的方程定系数法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数含有未知数p)，那么只，那么只需求出需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上轴上的抛物线的标准方程可统一设为的抛物线的标准方程可统一设为y2ax(a0)，a的正负由题设的正负由题设来定；焦点在来定；焦点在y轴上的抛物线的
8、标准方程可设为轴上的抛物线的标准方程可设为x2ay(a0)，这样就减少了不必要的讨论这样就减少了不必要的讨论(2)注意点：注意点：当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；种类型中的哪一种；要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；间的对应关系；要注意参数要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题的几何意义来解决问题变式训练变式训练1(2018山西孝义模拟山西孝义模拟，6)如图，过抛物线如图，过
9、抛物线y22px(p0)的焦点的焦点F的直线依次交抛物线的直线依次交抛物线及准线于点及准线于点A，B，C，若，若|BC|2|BF|，且，且|AF|3，则抛物线的方程为，则抛物线的方程为 ()D【解析解析】如图，分别过点如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线作准线的垂线，分别交准线于点于点E，D.设设|BF|a，则由已知得，则由已知得|BC|2a，由抛物线定义得，由抛物线定义得|BD|a，故，故BCD30.在在RtACE中，中，|AF|3，|AC|33a，|AC|2|AE|2|AF|6，即即33a6，得，得a1.BDFG，2(2015陕西陕西，14)若抛物线若抛物线y22px(p0)的准线
10、经过双曲线的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则的一个焦点，则p_考向考向3 抛物线的几何性质及其应用抛物线的几何性质及其应用抛物线几何性质的内容很丰富，例如垂直于对称轴的焦抛物线几何性质的内容很丰富，例如垂直于对称轴的焦点弦的长度点弦的长度(即通径即通径)、焦点弦端点的同名坐标的积等，因此在、焦点弦端点的同名坐标的积等，因此在高考中对抛物线几何性质的考查也非常广泛应用平面几何知高考中对抛物线几何性质的考查也非常广泛应用平面几何知识往往是解决这类问题的关键识往往是解决这类问题的关键例例3(2014课标课标，10)设设F为抛物线为抛物线C：y23x的焦点，过的焦点，过F且且倾斜角为倾斜角为30
11、的直线交的直线交C于于A，B两点，两点，O为坐标原点，则为坐标原点，则OAB的面积为的面积为 ()【答案答案】D1抛物线焦点弦问题的求解策略抛物线焦点弦问题的求解策略求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质外，还要灵活应用抛物线的定义及数形结合思想求解外，还要灵活应用抛物线的定义及数形结合思想求解2求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题的思路求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题的思路根据涉及抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用相应曲根据涉及抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用相应曲线的定义、标准方程、几何性质，数形结合，构建关于待求量线的定义、标准方程、几何性质，数形结合，构建关于待求量的方程的方程(组组)或不等式或不等式(组组)，逐步求解，逐步求解B【解析解析】如图所示，如图所示，
