1、第三课时的教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）体会最小二乘法和回归分析的思想；（2）能根据线性回归方程系数公式建立线性回归方程 2、过程与方法目标（1）经历代数法寻求回归直线方程的过程；（2）体验用计算器或工作表软件得出回归直线方程的过程3、情感态度与价值观通过对数据的分析和处理，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识，体会数学应用的广泛性二、重点难点重点：了解最小二乘法思想，会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程难点：体会最小二乘法和回归分析的思想三、教学方法：问题探究式和启发式教学方法四、教学工具：科学计算器、Excle工作表软件以及多媒体电脑展示设备五、教学过程：1复习
2、引入首先展示学生上节课得出的不同直线然后呈现问题组一问题1： 如何评价这些直线拟合的优劣程度以及标准的合理性？问题2：试文字语言概括最优拟合直线的标准说明：学生可能在对得出的不同直线评价其优劣性以及标准的合理性时会提出很多不同的标准，为了防止漫无目的，教师对直线优劣性的判断提出一些基本要求，如尽可能考虑到全部数据，体现整体性，尽可能便于数学计算等，并通过对标准的逐步修正，引导学生得出最优直线的标准：从整体上看，各点与此直线最贴近2探求新知给出概念：我们把整体上最贴近已知数据点的直线叫做回归直线设回归直线方程为，其中叫做回归系数坐标点表示第个样本点，坐标点表示回归直线方程上的点，点和点的偏离差记
3、作，问题组二问题1：如何从代数的角度刻画“从整体上看，各点与此直线最贴近”？ 问题2：能反映这些数据点与直线的贴近程度吗？，该怎么规避呢？问题3：比较和，在“使各点与此直线的总偏离差最小”的判断上可以等同吗？我们一般选择哪一个代数式作为我们研究的对象，为什么？说明：1、学生可能会把“从整体上看，各点与此直线最贴近”理解为：“各点与此直线的离差之和最小”，这样既是求代数式的最小值这时我们给出问题2，学生可能会想到加绝对值，也可能会想到平方此时给出问题3因为学生在初二下学期的统计学中的“数据的波动分析”中学习了方差的概念，并在课后的阅读与思考：“数据波动的几种度量”中了解了差的绝对值的和与差的平方
4、和所以在这里学生不难理解其等同性，这时可以给学生说明：为了计算方便，我们通常选择差的平方和作为研究对象来求最小值通过三个问题的设置，逐步引导学生利用最小二乘法来求回归直线方程2、如果有学生在问题1中把“从整体上看，各点与此直线最贴近”理解为“各点与此直线的距离之和最小”，这样既是求距离和的最小值在这里可以给学生从形的角度来解释一下（PPT），通过图形我们看到，距离和与差的绝对值的和成比例关系，所以二者在判断“整体上各点与此直线最贴近”上是等同的，为了计算方便，我们通常选择差的平方和作为研究对象来求最小值这时给学生指出：这种使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法这样就把学生从定性的观察引导到
5、了定量的分析，不仅完成了几何问题代数化的过程，而且在三个问题的引导下体会到了最小二乘法的思想问题组三问题1：怎样用最小二乘法求回归直线方程中的？问题2：回归直线方程中的的公式为： 如何更好的认识和应用公式求出回归直线方程？说明：1、教材没有给出公式的具体推导过程，在这里我们通过一个具体的例子来推导一下：以教材74页例1为例，即：某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：气温/C261813104杯数202434385064解：我们将表中给出的自变量的前3个值带入待定的直线方程,得到相应的3个的值:，这3个值与表中相应的实际值应该越接近越
6、好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和 先把看作常数,那么是关于的二次函数.易知,当时, 取得最小值.同理, 把看作常数,那么是关于的二次函数.当时, 取得最小值.因此,当时，取的最小值,此时回归直线方程为这是根据具体实例，利用二次函数求最值的方法来求得了取最小值时的值，通过这个特例，让学生简单了解了用最小二乘法求得回归直线方程中的值的过程，既避免了直接给出公式的唐突，又不用花费大量的时间进行冗繁的推理，而对于一般情况下的推导可以鼓励学生在课后自己尝试推导并告诉学生，在选修2-3的相关章节中，我们会给出另外一种推导方式2、通过特例了解了如何用最小二乘法求得回归直线方程中的值
7、后，我们直接给出一般情况下的系数公式， 由于公式比较复杂，因此在运用这个公式求时，必须要有条理，先求什么，再求什么这里可以分析b中分式的各个组成部分，让学生熟悉每一个数据，以便求解3、引导学生再观察回归直线方程，发现回归直线一定通过样本点中心，在不确定问题探讨中出现的确定性的性质，再次激发学生的探究欲望，而此问题的探究，使得学生在“回归直线是两个变量具有相关关系的代表”的理解上，上升到“回归直线过双变量样本点的中心”这一高度，深化对回归直线和回归思想的理解，完成学生认知结构的再次建构3应用新知：例1 在某种产品表面进行腐蚀刻线实验，得到腐蚀深度与腐蚀时间之间相应的一组观察值如下表：510152
8、0304050607090120610101316171923252946（1）画出表中数据的散点图；（2）试求对的回归直线方程；（结果保留到小数点后3位数字）（3）试预测腐蚀时间为100s时腐蚀深度是多少？问题组四：问题1、回归系数的意义是什么？问题2、预测腐蚀时间为100s时的腐蚀深度准确吗？你怎么理解回归方程的预测功能？说明：1、这是教材的一个例题，在求回归直线方程时，我们采用的方法是：把数据列成表格，代入公式分别计算的值，进而求出回归直线方程通过本例，教师带领学生一起来应用公式，求出回归直线方程不仅让学生在学以致用中加深对公式结构的理解和认识，而且通过第三问的预测，体现了回归直线方程的
9、应用价值2、通过问题1，让学生在具体实例中对回归系数再认识，强化了学生对数据的实际意义的认识问题2的设置，让学生在实例中正确认识回归方程的预测功能，体会到了回归直线的应用价值3、在学生通过具体实例，掌握了根据给出的系数公式建立回归直线方程的方法后，鼓励学生尝试使用函数型计算器（参考教材例3）和Excle工作表软件（详细过程参见附录）来处理数据求得回归方程需要说明的是，课标的要求是：能根据给出的线性回归方程系数公式求出线性回归方程所以必须要让学生掌握方法一方法二和方法三并没有用到课本所给出的公式但是方法二和三的介绍会给学生在处理实际问题时带了很大的方便，为下一节课作好铺垫4小结和作业：小结：了解
10、最小二乘法思想，会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程作业：课本第79页练习A第1题；习题2-3第1题 说明：通过小结和作业，进一步明确本节课的目标，突出了教学重点六、教学反思1、关于本单元的教学设计是2个课时还是4个课时的思考 在进行本单元的教学设计时，我们遇到了到底安排几个课时进行教学的问题，如果把统计理解为了解概念、会使用公式解题，那么2个课时就足够了但是课标要求通过实际问题学习统计知识，强调让学生通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，本节虽然知识内容不多，但引入新知识的过程中承载着新的数学方法，再加上这节内容是统计必修内容的最后一节，实际上需要综合运用前面的
11、知识，为了让学生真正动起来，提升学生运用统计知识解决实际问题的能力，正确理解统计推断的结论，在实际的教学中我安排了4个课时进行教学2、关于如何通过几何问题代数化的过程让学生体会最小二乘法的思想的思考如何把“从整体上看，各点与此直线最贴近”用合适的代数式刻画并化简，化几何问题为代数问题，是顺利了解“最小二乘法思想”的前提；要了解“最小二乘法思想”，还必须要求对给出的系数公式的来源进行一定的说明而如何化简复杂的代数式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也很高知识发展的要求与学生能力和经验的欠缺成为本节课遇到的最大矛盾在教学中，我认为要防止两种倾向：一是直接套用公式求解回归方程而回避说理过程；二
12、是过多纠缠于数学刻画过程，甚至在课堂内花大量时间对回归系数公式进行推导这两种倾向，都脱离了课标的要求，前者忽略了“最小二乘法思想”，迷失了本节课的教学目标；后者人为拔高教材要求，偏离了本节课教学的重难点基于此，我在教学中通过问题组的设置一步步引导学生完成几何问题代数化，并通过特例，利用二次函数求最值的方法来求得了取最小值时的值，突破了本节课的难点3、关于合理使用计算器的意义的思考使用计算器降低了计算的难度，就可以给学生安排更多的动手操作的机会，从而使学生的活动集中于解决问题之中，这样就会使学生淡化回归直线系数公式的记忆，更多的思考如何处理数据，以及对回归方程的推断作用进行更多的全面的思考，这也
13、符合课标对学习统计学的要求附录：1、一般地求系数公式的一种推导过程：一般地,设有个观察数据如下：记，所以先把看作常数,那么是关于的二次函数.易知,当时, 取得最小值. 同理, 把看作常数,那么是关于的二次函数.当时, 取得最小值. 把带入得2、利用Excel表格求解回归直线方程的步骤及操作说明：（1）直接在工作表中输入数据（2）选中数据（单击数据区域的第一个单元格，再拖动鼠标到最后一个单元格）（3）单击“图表向导” （或在“插入”菜单上单击“ 图表”）（4）单击“图表类型” ，单击“完成”按钮，得到数据的散点图（5）单击选中散点图中的任一点，在“图表”菜单上单击“添加趋势线”（或右击，在弹出的
14、菜单中单击“添加趋势线”）（6）单击选中 “类型”选项卡中 “线性”选项，单击“确定”按钮，得到数据的回归直线（7）单击选中数据的回归直线，在“格式”菜单上单击“趋势线格式”（或右击，在弹出的菜单中单击“趋势线格式”）（8）单击选中“选项”命令，单击选中“显示公式”复选框，单击“确定”按钮，得到数据的回归直线方程张红娟：各位老师大家好！我是苏州市第五中的数学老师（张红娟），今天我说的课题是线性回归方程。 本节内容主要有四部分组成，一是教学分析，二目标定位；三教学过程；四教法分析。 在教学分析中，主要有两部分内容：1.从在教材中的地位和作用来看；2.学情分析。 1.从在教材中的地位和作用。本章统
15、计学的主要核心思想是研究客观事物的数量特征和数量关系，根据搜集的数据来整理、归纳和分析，以便对客观事物规律性的数量表现出统计上的解释。 本节内容就是通过收集现实问题中两个有关联变量的数据做出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系，经历用不同估算方法描述两个变量相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数建立线性回归方程，是回归分析中的具体做法。 2.学情分析。本章内容是在学生学完了平均数及其估计，方差及其标准差后学习的，平均数可以衡量样本的整体情况，方差跟标准差可以判断样本的稳定情况，本节课则要给出的数据猜测在一定条件的下，其他样本的情况也需要学生很强的观察能力、较强的
16、运算能力。 而本单元学生在观察整体感不强，运算能力较弱，再有热茶的推导出最小二乘法的思想时，学生不易弄懂。在这里要根据学生具体情况多举实例，让学生体会在实例中探究。 目标定位，有两部分内容。 1.教学目标，分三部分内容。 1）了解线性回归的方法及用最小二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法； 2）会根据给出的线性回归系数共识建立线性回归方程； 3）回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的运用，应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题。把“无序”变为“有序”并对情况进行估测、补充。因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识。 本节的教学重点：对相关关
17、系的理解、认识，用线性回归方程表示线性相关关系。 2.教学难点：最小二乘法的思想得出。 教学过程，有五部分组成： 1.问题情景； 2.学生活动建构数学。 3.数学理论； 4.数学运用； 5.回顾反思。 1.问题情景，主要是高斯巧算“谷神星”的数学史以及俗语，也就是有些教师常说，如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。”。按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间也存在着某种关系，你如何认识它们之间的关系？ 通过数学史和俗语引入课堂，一是调动学生的学生兴趣，二是引入世界上万物间都有的联系，有确定的函数关系，也有不确定的相关关系，为下面的问题打下铺垫。其次通过现实生活的实例，热
18、茶销售量和各气温之间的表格，能让学生建构学习提出三个问题。 问题一：如果每一天的气温是18度，这天的热茶销售量一定是24杯？ 问题二：当气温是-5度时，能够根据这些数据预测这间小卖部卖出的热茶的杯数。 问题三：气温与杯数能否用确定的函数关系表示出来？ 通过热茶销售量与气温之间的关系，让学生感受到相关关系与函数关系的区别，进一步强化对相关关系的认识，通过本例感受，运用统计学方法处理相关关系的过程。运用数学理论和方法处理样本数据，建立数学模型，进行预测和估计。 在问题的基础上让学生画出散点图，通过散点图让学生观察图中六个点情况，直观启发学生发现线性相关特点，数据点分布在一条直线的附近，从而引导学生
19、思考，能不能用一条直线近似表示气温X与杯数Y之间的关系。进行以下的四个探究： 探究1.散点图分布在什么直线附近？ 探究2.如何衡量直线与散点图中的点的接近程度？ 探究3.能否用某个函数近似的表现这个相关关系？ 探究4.用怎样的函数可以近似的表示这个相关关系？ 其中探究1和探究2，通过学生的自主探究去思考什么直线最近，以来揭示相关关系转化为函数关系的思想方法，从探究中寻找答案，也能让思维得到升华。探究3和探究4，引导学生探索描述相关关系的数学模型，让学生猜想散点在一定直线附近可用线性函数进行拟合。在线性探究的基础上，让学生再去思考如何判断哪条直线拟合最好，要求学生将表中给出x的6个值代入直线方程
20、，相应的6个y的值：这6个值应该与表中相应的实际值越接近越好，所以我们用类似于估计平均数时的思想，考虑离差的平方和。 让学生探究平方和何时取得的最小值，在学生自主探究的基础上得出数学理论： 1）最小平方法； 2）线性相关关系和线性回归方程。 在数学理论基础上，通过两道例题巩固这节课的内容进行适当的运用。例1：求三点（3，10），（7，20），（11，24）的线性回归方程。通过例题1主要让学生体会，简单的计算线性回归方程的步骤，让学生熟悉解题过程，锻炼其解题能力。 例2：用五个学生的数学和物理成绩用表格体现。通过与学生最接近的实例、计算线性方程的计算过程，猜测自己的化学和数学是否有线性相关关系，
21、并且猜测，如果数学考了90分，则其物理估计是多少分？在这两道例题的基础上，得到了线性回归方程的一个步骤。 1.列表，列出有关（）的表格画出散点图。 2.计算，计算出x平均、y平均以及的平方，的平方，的和。 3.代入公式求出a和b； 4.从而列出直线方程。 这一堂课，主要是一堂新授课，这堂课采用了问题到探究、运用的一个教学模式。其课堂教学主要分为问题情景、学生活动、建构数学、数学理论、数学应用、回顾反思五个环节，其核心思想是通过实例引导学生发现什么用函数来拟合，为什么用一次函数拟合，这也是本节的难点。 我在处理这节课时，多举与他们息息相关的例子，如热茶销售量与温度？化学与数学的关系，调动学生的兴
22、趣。 本节内容虽然简单易懂，主要培养学生的观察、运算能力，当然在这堂课中，还可以根据学生的提法拟合其他函数，让学生发现哪种函数拟合的效果更好。 以上是我授课的内容。主持人：大家看完这两个片断，先请罗强老师给我们做一下分析。罗强：看了杨彬老师的教学过程，我认为里面有一个比较突出的亮点，她引入了Excel的软件平台进行通过实践让学生上台实践操作，来体会这样一个线性回归的过程。我认为新课程很突出让我们在数学教学中强化信息技术和数学教学整合，在这个教学内容中间是一个很好的运用现代技术解决数学问题的一个学习课题。Excel这个软件在处理线性回归问题的时候有几个比较突出的优点。 第一优点，操作比较简便，在
23、课堂上面学生上台，在教学过程中完成了整个操作过程； 第二，拟合的过程比较全面，有线性的拟合，还有指数，还有多项式、对数的等等。 第三，我认为他们在处理当中比较快捷； 第四，用Excel来处理线性比较完整，也可能得到拟合的曲线，也还可以得到拟合的方程，还可以计算相关系数，判断拟合的效果。所有这个软件平台运用在这教学中间是比较恰当的。 这是我认为杨彬老师运用Excel在这堂课当中使用还是比较成功的。但是我认为杨老师在这堂课当中有一点值得提出商榷。如提出教材中的一个例题让学生在课堂观察，使用哪一个曲线拟合比较恰当，学生观察以后指出用指数函数比较恰当，杨老师提出我们在拟合的时候一定要先观察散点的走势，
24、然后再进行拟合，不要犯课本上的错误。指课本上的错误是因为课本上用了一个线性拟合，我们线性拟合有好有坏，但是对跟错是不是不恰当？ 现在第一次学回归分析，最简单的拟合其实就是线性回归和线性拟合，这个是学生比较能够理解接受。我想对线性回归的分析，不是一步到位的过程，是循序渐进的过程。那么在这第一堂课的时候，不要提拟合的好坏，先让学生体会拟合的这样一种过程，这样一种思想。 第二堂课，张红娟老师的课，里面有三个比较突出的亮点： 第一个亮点，在新授课的时候，引入了一个高斯巧算“谷神星”的故事引入线性回归方程。我认为这个故事还是有一个很大的价值，一方面它是一个真实的故事；二方面它反映的思想是，我们数学可以由
25、已知来推测未知，由局部来推测整体，而这里面一个很重要的数学规律就是线性回归。这就是我们接下来学习的一个数学知识，既揭示了知识的价值，激发了学生的学生兴趣，这一段的处理还是非常成功。 第二个亮点，淡化了最小二乘法的推理过程，而重点展示数学家怎么来思考这个过程，数学家的思维过程，帮助学生理解线性回归这个知识的来龙去脉。比如张老师提出一个例子，比如热茶的销量与气温的关系，然后她先问了三个问题，一组问题串，表中的数据中18度销量24杯？是不是一定24杯，说明这个数据仅仅是一个统计结果，也许有误差，但是他不影响我们做出推断。第二个问题是表外的数据负度，能不能推测我卖出多少杯？这反应了我们的一种需要，学生
26、可以凭直觉进行推测，因为这里面已经隐含了一个线性回归的关系。第三卖出热茶的杯水与气温能否用确定的函数关系表示？如果不能够用一个确定的表示，能不能用一个近似的函数进行表示？ 在探索的过程中又提出四个问题： 第一，散点图分布在什么直线附近？ 第二，如何衡量直线与散点图当中点的接近程度？ 第三，能否用某个函数近似表示这个相关关系？ 第四，用怎样的函数可以近似表示这个相关关系？ 这一组问题，我想可以比较好，当然不可能非常深刻，他是非常好的展示了我们这个线性回归知识的来龙去脉。 第三优点：张红娟老师这堂课是现场上的，当时和另一个老师两个人同时开课，两个老师这个课堂教学，我们认为各有利弊各有优点，但是张老
27、师有一个比较突出的优点，就是教学效果比较明显。因为他这个课堂最后阶段有一些学生上黑板练习这个过程，当时学生练习的准确率非常高。她在教学过程中，强化了一个求线性回归方程的步骤，共四个步骤，列表、画散点图、计算代入求a，b，然后列出直线方程，这是一个数学的技能。 例如程序性技能、数学技能知识的教学，要让学生掌握有两个基本办法。一个要反复，不可能一次掌握；这就如一个技能（太极拳），看一遍学不会，得需要练。二个是纠错，当时张老师在课堂上面让学生上黑板，充分暴露这个错误，然后再来纠错。整堂课教下来整个教学设计很流畅，教学效果也很明显。张老师：总的来谈一下。关于这部分内容介绍的是相关关系，我想可能首先要有
28、大量的实例让孩子体会到相关关系。发现在最近教学里面，强调不是函数关系，这方面强调了很多，首先要说他们有关系，对这一点强调的弱了一些，首先要说他们是有关系的，比如天气热和红茶的销量这有关系，身高和体重有关系，大量都是有关系的，首先要看到它们有关系。其次说它又不是函数关系。一定是有关系才能找回归直线，在这个方面一定要在有关系找到，要大量有关系，而不是用函数关系来表述，这怎么办？而且这种关系，它不一定是一个因果关系，身高不是因果关系，我们有很多。但是又有关系，又不是函数关系怎么办？ 第二，不要局限在直线关系谈最简单的线性关系。同意罗老师谈的问题，不要谈曲线拟合，这样就冲淡我们对这个问题的认识。先来谈
29、直线，它非常接近于一条直线要怎么办？现在有的老师也知道，不是一开始介绍情况，讲课可以有不同的办法，比如杨彬老师怎么刻划这个点的直线的接近程度，一个点怎么刻划，有不同的方法，也就是孩子说有不同的方法，但是在这个方法里面不可能谈论好坏，也不是中学任务来谈不同的方法的好坏，因为我们没有给出什么叫好、什么叫坏？没有标准？ 如杨彬老师讲，好象这条曲线把所有点都经过都好就是好，这没有好坏。我们用多项式经过可以做到，只是说介绍一种最常用的方法。我认为这在里面，学生找了各种方法，我们介绍一种方法，然后我把它的思想说清楚，看怎么让平方和达到最小。可能有的老师从二乘这两个字实际是平方的字，是在清朝中对洋务运动时把
30、西方的代数翻译过来，就把平方翻译成二乘，实际就是最小平方法，要把这些东西给孩子们弄清楚。 最后简单说一下，有些东西不一定就好，要拿数据套公式就不一定对。另外比如数据比较大，看到有些在课上三个数据、六个数据、八个数据就拟合一条直线，主要是统计这么一个功能，我想还没有做到。 杨彬老师这一堂课用Excel用曲线拟合，有点冲淡了我们这堂课的主题，有点偏早，主要是把直线冲淡。比如有一些口语，哪一个最接近实际，没有一个最接近实际的问题，没有一个对和错的问题，只有一个好坏的问题。类似这样的问题需要我们注意的。主持人：刚才两位老师针对线性回归，最小二乘这两节课发表了中肯的点评，我想我们老师也有自己的看法，希望在课下和我们进一步做交流。下一节课针对概率问题做进一步交流，欢迎老师继续参与。
