1、1微分方程解法及应用 二、一阶微分方程求解二、一阶微分方程求解三、线性微分方程解的性质三、线性微分方程解的性质四、二阶微分方程求解四、二阶微分方程求解一、微分方程的概念一、微分方程的概念六、微分方程的应用问题六、微分方程的应用问题五、微分方程求解的逆问题五、微分方程求解的逆问题第十二章21.微分方程：微分方程：含未知函数及其含未知函数及其导数导数的等式叫做的等式叫做微分方程微分方程.2.微分方程的阶：微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数方程中所含未知函数导数的最高阶数 叫做微分方程的叫做微分方程的阶阶.使方程成为恒等式的函数使方程成为恒等式的函数.通解通解 解解中所含中所含独立独立的
2、任意常数的个数与方程的任意常数的个数与方程的阶数的阶数相同相同.特解特解3.微分方程的解微分方程的解 通解中的任意常数被确定后的解通解中的任意常数被确定后的解.确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件.4.定解条件定解条件(1)(1)000000(),(),()nny xyy xyyxyn 阶方程的阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):一、微分方程的概念一、微分方程的概念3()(,)0,nF x y yy ()(1)(,).nnyf x y yy (n 阶阶显式显式微分方程微分方程)分类分类1或或一阶方程：一阶方程：二阶方程：二阶方程：n阶方程：阶方程：(,)0(,)F x
3、 y yyf x y或或(,)0(,)F x y y yyf x y y 或或 分类分类2线性方程：线性方程：非线性方程：非线性方程：(),.ny y yy关关于于是是一一次次方方程程分类分类3单个微分方程：单个微分方程：微分方程组：微分方程组：（本章内容）（本章内容）46.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.5.解的几何意义解的几何意义特解特解:微分方程的一条积分曲线微分方程的一条积分曲线.通解通解:积分曲线族积分曲线族.过定点的积分曲线过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶:0000,),(yyyyyyxfyxxxx过
4、定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.51.一阶微分方程的一般形式：一阶微分方程的一般形式：(1)(,)yf x yyx 是是函函数数，是是自自变变量量(3)(,)d(,)d0P x yxQ x yy,x y的的地地位位相相同同23 2dd0 x y xyy例例如如22d2dyx yx 22d1d2xxyy 或或(2)(,)0 F x y y 二、一阶微分方程求解二、一阶微分方程求解 2.一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 五个标准类型五个标准类型:可分离变量方程可分离变量方程,齐次方程齐次方程,线性方程线性方程,贝努利方程，贝努利方程，全微
5、分方程全微分方程 3.一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解-变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量,代换因变量代换因变量,代换代换某组合式化为可求解的某组合式化为可求解的.关键关键:辨别方程类型辨别方程类型,掌握相应的求解步骤掌握相应的求解步骤.6一阶标准类型方程的形式及求解方法一阶标准类型方程的形式及求解方法(1)可分离变量方程可分离变量方程标准标准形式形式：()d()dg yyf xx 解法：解法：分离变量法分离变量法1)分离变量分离变量;2)两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.步骤步骤:(2)齐次型方程齐次型方程标准标准形式形式：d()dyyxx 解法：解法：步骤步骤:变量代
6、换法变量代换法yux 令令代入原方程得：代入原方程得：,xuy 即即则则,ddddxuxuxy ),(dduxuxu 即即.)(ddxuuxu 求此可分离变量方程的解，求此可分离变量方程的解，并回代并回代.xyu 1)2)3)7(3)一阶线性方程一阶线性方程标准标准形式形式：()()yP x yQ x 解法：解法：1)先解齐次方程先解齐次方程,再用常数变易法再用常数变易法2)通解公式法通解公式法:d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP (4)全微分方程全微分方程标准标准形式形式：(,)d(,)d0 ()PQP x yxQ x yyyx 解法：解法：求原函数法求原函数法步骤步骤:方法方法1
7、:凑凑微分法微分法;方法方法3:利用利用积分与路径无关的条件积分与路径无关的条件.1)求原函数求原函数 u(x,y)2)由由 d u=0 知通解为知通解为 u(x,y)=C.d(,)(,)d(,)du x yP x yx Q x yy 000(,)(,)d(,)dxyxyu x yP x yxQ x yy 方法方法2:偏偏积分法积分法;8nyxQyxPxy)()(dd )1,0(n解法：解法：变形为变形为，)()(dd1xQyxPxyynn 令令，nyz 1从而有从而有dd(1)ddnzyn yxx d1d,d1dnyzyxnx 代入原方程得代入原方程得d(1)()(1)()dzn P x z
8、n Q xx 这是关于这是关于z的一阶线性微分方程的一阶线性微分方程.求出通解后将求出通解后将nyz 1代入即得代入即得nyxQyxPxy)()(dd 的通解的通解.标准形式：标准形式：(5)贝努利方程贝努利方程9解法解法1:化为线性方程化为线性方程.原方程变形为原方程变形为d11dxxyy 1,1PQy 1dyyxe (1)1dyye d yC y 1dCyy lny Cy其其通解为通解为:()d()d()dP xxP xxyeQ x exC 即即lnxyCy例例1.解方程解方程d()d0.yxyxy 21(20122)d(3d01xy xxyyy 方方程程满满足足条条件件数数:练练习习 .
9、y 的的解解x10解法解法2:化为齐次方程化为齐次方程.原方程变形为原方程变形为ddyyxyx dd1yyxyxx ,yux 令令yuxu则则，1uuxuu 2(1)dduuxux 积分得积分得1lnlnuxCu将将yux 代入代入,lnxyCy得通解得通解例例1.解方程解方程d()d0.yxyxy 则则原原方方程程转转化化为为11322363.32xxyyx yy 例例2.解方程解方程解法解法 1:这是一个齐次方程这是一个齐次方程.解法解法 2:化为微分形式化为微分形式 3223(63)d(32)d0 xxyxx yyy 故这是一个全微分方程故这是一个全微分方程.yux 令令6PQxyyx3
10、0023(,)d6(d32)xyxxxyuxyyy 4224331222xx yy 4224331222xx yyC 所所求求通通解解为为：000(,)(,)d(,)dxyxyu x yP x yxQ x yy 12(1)(lnln)xyyyxy 提示提示:令令 u=x y,得得将方程改写为将方程改写为2(2)2lnd(ln1)d0 xxyy yxxdlnduuuxx()ln()xyyxy 3d1d2 ln2yyyxxxx (贝努利方程贝努利方程)2zy 令令(分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为提示提示:例例3.求下列方程的通解求下列方程的通解:13三三、线线性性微微分分方方程程解
11、解的的性性质质1.n阶线性微分方程的一般形式：阶线性微分方程的一般形式：).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn -二阶线性微分方程二阶线性微分方程.)()()(yp x yq x yf x 说明：说明：)(xf叫自由项叫自由项.)(),(),(xfxqxp均为均为已知函数已知函数.齐次齐次方程方程.非齐次非齐次方程方程.()0f x 当当时时，()0f x 当当时时，()()0yp x yq x y )()()(yp x yq x yf x 142.线性微分方程解的性质：线性微分方程解的性质：)1(0)()(yxqyxpy(1)如果函数如果函数)(1xy及及)(2xy
12、是方程是方程(1)的的两个解，两个解，那么那么对于任意常数对于任意常数，、21CC)()(2211xyCxyCy 仍然是仍然是(1)的解的解.的特解，的特解，那么那么就是方程就是方程(1)的的通解通解.如果如果与与是方程是方程(1)的两个的两个线性无关线性无关)(1xy)(2xy)()(2211xyCxyCy (2)(3)1221(2)(1).yyyy 若若、是是的的解解,则则是是的的解解)2()()()(xfyxqyxpy 15)2()()()(xfyxqyxpy (4)设设*y是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程的一个的一个特解，特解，y是与是与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)
13、通解，通解，那么那么*yyy 是二阶是二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程(2)的的通解通解.，)()()()(21xfxfyxqyxpy 1()()()yp x yq x yfx 2()()()yp x yq x yfx 设非齐次方程设非齐次方程(2)的右端的右端)(xf是几个函数之和，是几个函数之和，若若而而*1y*2y与与分别是方程分别是方程的的特解，特解，那么那么*2*1yyy 就是原方程的特解就是原方程的特解.(5)16常数常数,则该方程的通解是则该方程的通解是().123,yyy设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程()()()yP x yQ
14、x yf x的解的解,12,C C是任意是任意11223();AC yC yy1122123()();BC yC yCCy1122123()(1);CC yC yCCy1122123()(1).DC yC yCCyD例例4.提示提示:1323,yyyy都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关.(反证法可证反证法可证)1132233()()()CCyyCyyy(89 年考年考研研)1132233()()()DCyyCyyy1712()()10.yyyp x yq x 年年数数设设,为为方方程程的的两两个个解解,若若二二,)使使1212yyyy 为为该该方方程程的的解解,
15、为为该该方方程程对对应应的的齐齐次次方方程程 ,.的的解解,则则11,22()()()()yp x yq xyp x yq x ，解解：，1 1212()()()yyp xyyq x 由由已已知知：)，1212()()0yyp xyy 由由已已知知：)0 12 181.可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法(,)yf x y y 22d()dyf xx22dd(,)ddyyf xxx令令d()dyP xx d(,)dPf x Px 22dd(,)ddyyf yxx令令d()dyP yx d(,)dPPf y Py 逐次积分求解逐次积分求解 xyPy)(xyyPddddyPPdd
16、四、二阶微分方程求解四、二阶微分方程求解(12)数数 数数19例例5.解初值问题解初值问题解解:令令 20yye 00,xy 01xy (),yP y d,dPyPy 则则代入方程得代入方程得2d0dyPPey则则22111,22yPeC利用初始条件利用初始条件,0010,yxPy 10,C 得得根据根据ddyyPex积分得积分得2,yexC 00,xy 再再由由21,C 得故所求特解为故所求特解为1yex 得得2ddyPPeydd,yeyx 说明说明:解二阶可降阶微分方程初值问题时需注意解二阶可降阶微分方程初值问题时需注意(1)一般情况一般情况,边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便.(2
17、)遇到开平方时遇到开平方时,要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号.202.二二阶阶线线性性常常系系数数齐齐次次微微分分方方程程(1)标准形式：标准形式：0ypyqy pq其其中中、为为常常数数.(2)解法及通解形式：解法及通解形式：02 qprr特征方程特征方程注注：可可推推广广到到高高于于二二阶阶的的线线性性常常系系数数齐齐次次微微分分方方程程xrxreCeCy2121 rxexCCy)(21 )sincos(21xCxCeyx 通解的表达式通解的表达式特征根情况特征根情况12rr 实实根根12rrr 实实根根1,2ri 复复根根21特征方程特征方程:()(1)110()nnnnkyp
18、ypyp yp 均均为为常常数数1110,nnnnrp rprp 特征方程的特征方程的根根微分方程微分方程通解中的对应项通解中的对应项rxCe一项一项:1,2ri 一一对对虚虚根根12(cossin)xeCxCx 112()kr xkCC xC xe k一一对对 重重虚虚根根112()cosxkkeCC xC xx 112()sinkkDD xD xx 两项两项:k项项:2k项项:(,)iiC D以以上上均均为为任任意意常常数数r单单实实根根kr重重实实根根1,2ri注意：注意：n次次代数方程代数方程有有n个根个根,1 122.nny C yC yC y 通通解解为为且每一项含一个任意常数且每
19、一项含一个任意常数.对应着通解中的一项对应着通解中的一项,而特征方程的每一个根都而特征方程的每一个根都推广推广:223.二二阶阶线线性性常常系系数数非非齐齐次次微微分分方方程程()ypyqyf x(,)p q 为为常常数数根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为yY*y 非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解已经会求了已经会求了如何求？如何求？待定系数法待定系数法求特解求特解 的方法的方法*y23*()(,)yp yq yf xp qy 设设方方程程的的特特解解常常数数的的方方法法：:k 其其中中 不不是是特特征征根根；0，是是特特征征单单根根；1，是是特特征征二二重重
20、根根.2，(1)()()xmf xPx e 时时*()xmkyQxxe 则特解可设为则特解可设为(1)(2)(2)()()cos()sinxlnf xePxxPxx 时时(1)(2)*()cos()sinxmmkyeRxxRxxx 则特解可设为则特解可设为max,:ml n 其其中中，k 0,i 当当不不是是特特征征根根时时,1,i 当当是是特特征征根根时时.24(1)()()xmf xPx e 为特征方程的为特征方程的 k(=0,1,2)重根重根,*()xmkyQxxe 则设特解为则设特解为(1)(2)(2)()()cos()sinxlnf xePxxPxx 为特征方程的为特征方程的 k(=
21、0,1)重根重根,i*kxyx e 则设特解为则设特解为(1)(2)()cos()sinmmRxxRxx max,ml n 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.()(1)(2)121()nnnnnyp yp ypyp yf x 121(,)nnp ppp 为为常常数数25例例6.0.yy 求求的的通通解解0.1yy 解解法法：二二阶阶线线性性常常系系数数把把看看成成方方次次程程求求解解齐齐210r 特特征征方方程程：ri 12cossin.yCxCx 通通解解为为：0.2yy 把把看看成成的的二二阶阶方方解解法法：可可降降程程求求解解阶阶d(),dPyP yyPy
22、令令则则代代入入原原方方程程d0dPPyyddP Py y 221111222PyC 1.没没有有法法 简简单单一一般般的的对对二二阶阶方方程程,若若既既能能看看成成线线性性方方程程也也可可看看成成可可降降阶阶方方程程时时,最最好好用用线线性性方方程程求求解解.26例例7.求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解21.;yyxx 解解:它对应得齐次方程为它对应得齐次方程为0,yy 特征方程为特征方程为210,r 则得特征根为：则得特征根为：,ri 则齐次通解为则齐次通解为12cossin.yCxCx设原方程得特解为设原方程得特解为2*,yAxBxC*2,*2,yAxB yA则则代入原方程得代入
23、原方程得222,AAxBxCxx222,AxBxACxx即即则则11,20ABAC 1,1,2,ABC 2*2,yxx 则所求通解则所求通解*yyy 122cossin2.yCxCxxx ()()xmf xePx 型型272.32sin;yyyx解解:它对应得齐次方程为它对应得齐次方程为320,yyy特征方程为特征方程为2320,rr则得特征根为：则得特征根为：121,2,rr 则齐次通解为则齐次通解为122.xxyC eC e设其特解为设其特解为*cossin,yExFx *sincos,yExFx 则则代入该方程得代入该方程得*cossin,yEx Fx cossin3(sincos)2(
24、cossin)sin,Ex FxEx FxEx Fxx 32cos(32)sin0cossin,EFExFEFxxx 即即()30,31EFE F 则则311010EF ，31*cossin,1010yxx 则则则原方程得通解是则原方程得通解是:12231cossin.1010 xxyC eC exx 1(1 sin0 cos)xx()()cos()sinxlmf xep xxPxx 型型28321 3.(0)(0)(0)0yyyyyy 求求定定解解问问题题解：解：()xmP x e 属属型型.0,本本题题32320,rrr 特特征征方方程程为为1230,1,2,rrr 其其特特征征根根为为故
25、对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为1YC 2xC e 23xC e 设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为*,ybx 代入方程得代入方程得21,b 故故12*,yx 原方程通解为原方程通解为2123xxyCC eC e 12.x 由初始条件得由初始条件得 1230CCC 12322CC 2340CC 123341 14CCC 于是所求解为于是所求解为2311442xxyeex 21(324)4xxyxee 29时可设特解为时可设特解为 1)()cosf xxx 当当23)()cosxf xxxe当当*yx()cosaxbx*y ()cos()sin x axbxcxdx2 xke()yyf
26、x 时可设特解为时可设特解为()sincxdx (填空填空)设设例例8.210r ri 22)()xf xe 当当*y 2 xke时可设特解为时可设特解为 0(1)()cos0 sin xf xexxx2(2)()1xf xe (20121.2.()()(3)20:)()f xfxfxf x已已知知满满足足练练数数习习()()2,().xfxf xef x 及及求求的的表表达达式式()xf xe 30欧拉方程是特殊的变系数方程欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量代换通过变量代换特点特点:各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的的方程的方程(其中其中npp
27、p21,叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)4.(1)欧欧拉拉方方程程 数数()1(1)11()nnnnnnx yp xypxyp yf x 形如形如(1)定义定义:(2)解法：解法：次数相同次数相同可化为常系数微分方程可化为常系数微分方程.作变量变换作变量变换ln,txetx 或或将自变量换为将自变量换为,t得到一个常系数线性微分方程得到一个常系数线性微分方程.222dd420(0).ddyyxxyxxx 欧欧拉拉方方程程的的通通解解为为练习练习(04数一数一)：122ccyxx 31P353 题题2(1)求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:2()20,xCyy 消去消去 C
28、 得得22(1)1.yy P353 题题2(2)求以求以212xxyC eC e 为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为121,2,rr故特征方程为故特征方程为(1)(2)0,rr2320,rr即即因此微分方程为因此微分方程为320.yyy22()1xCy 22()1xCy 五、微分方程求解的逆问题五、微分方程求解的逆问题12(09)0().xyaybyyCC x e 练练习习数数一一:若若的的通通解解为为(0)2,(0)0yaybyxyy 则则方方程程满满足足的的解解为为 .32例例10.求一连续可导函数求一连续可导函数()f x使其
29、满足下列方程使其满足下列方程:0()sin()dxf xxf xtt 原方程可化为原方程可化为:令令uxt 0()sin()dxf xxf uu 则有则有()()cosfxf xx(0)0f 利用公式可求出利用公式可求出1()(cossin)2xf xxxe.分分析析：这这类类方方程程叫叫积积分分方方程程，其其解解法法是是化化为为微微分分方方程程解解:两边同时对两边同时对 求导求导x()()cosfxf xx 六、微分方程应用问题六、微分方程应用问题-求未知函数求未知函数330()()()d,.(.11)xxf xf xetfxttf x 设设二二阶阶可可导导,求求例例且且解解:,uxt设设d
30、d,ut tu0 xx00()dxtfxtt 0()()(d)xxu f uu 0()()dxxu f u u 00()d()d,xxxf u uuf u u 00()()d()d,xxxf xexf u uuf u u 求导得：求导得：0()()d()()xxf xef u u xf xxf x 0()()dxxfxef u u 即即再求导得：再求导得：()fx (),xefx ()(),xfxfxe 即即这是二阶线性常系数非齐次方程这是二阶线性常系数非齐次方程340()()dxxfxef u u 还还可可化化为为：()()(0)xfxef xf ,(0)1f 又又,()()1xfxef x
31、 ,()()1xfxf xe 即即,这个方程是一这个方程是一阶线性非齐次方程，阶线性非齐次方程，()d()d()()dP xxP xxf xeQ x exC dd(1)dxxxeeexC 112xxeCe(0)1f 又又,1,2C1()1().2xxf xee 0()()()d,.(.11)xxf xf xetfxttf x 设设二二阶阶可可导导,求求例例且且35()()12.()0,yf xf xf x 设设曲曲线线,其其中中是是可可导导函函数数且且例例已已知知()0,1(1)yf xyxxt t 曲曲线线与与直直线线及及所所围围成成的的曲曲边边x梯梯形形绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所得得的
32、的立立体体体体积积值值是是该该曲曲边边梯梯形形面面积积.t 值值的的倍倍,求求该该曲曲线线方方程程解解：如如图图xyo()yf x t1由由已已知知：21()dtf xx 1()d(1)ttf xx (1)t两两边边对对 求求导导得得：21()()d()(2)tf tf xxtf t (1)1(2)f 由由方方程程得得：(2)t两两边边对对 求求导导得得：2()()2()()f t ftf ttft ()f tz 记记，dd22,ddzzzzttt 则则d11d2ttzz 变变形形为为：2133tzz 21()33()tf tf t 2133xyy (09)数数三三36()0,1(0)1,()
33、d d()d d(,)0,0(01),3.()1ttDDtf xffxyx yf tx yDx yytxxttf x 设设函函数数在在区区间间上上具具有有连连续续导导数数,且且满满足足,其其中中求求的的例例表表达达式式.(11年数学三年数学三)ytx otxyt 解解：如如图图00()d dd()dtttxDfxyx yxfxyy 0d()dttxxfuu 0()()dtf tf xx 00()d()dttf txf xx ()d d()d dttDDf tx yf tx y 2()2tf t 0()()dttf tf xx 20()()()d2ttf ttf tf xx (2)()2()t
34、f tf t 两两边边求求导导得得：24()(01)(2)f xxx 故故371,(0,1)0,FCF 例例14.已知曲线积分已知曲线积分无关无关,其中其中解解:因积分与路径无关因积分与路径无关,故有故有cossinxFxFxsinsinyF yxFx即即因此有因此有(,)sin dcosd LF x yyx xx y 与与路路径径(,)0F x y 求求由由确确定定的的().yf x 隐隐函函数数tanxyFyxFtanyyx 01xy secyx(,)cos(,)sin F x yxF x y yxxyy 383693()13!6!9!(3)!nxxxxy xn(1)验证函数验证函数()x
35、 满足微分方程满足微分方程;xyyye(2)利用利用(1)的结果求幂级数的结果求幂级数30(3)!nnxn 的和的和.解解:(1)3693()13!6!9!(3)!nxxxxy xn25831()2!5!8!(31)!nxxxxy xn 4732()4!7!(32)!nxxxyxxn (02考研考研)例例15.0!nnxn 所以所以yyyxe，(0)1,y(0)0y 30(3)!nnxn 12231cos()323xxexex 30(3)!(2)nnxn 39cos(0)xtt 用变量代换用变量代换化简方程化简方程2(1)0 xyxyy001,2.xxyy 并并求求其其满满足足的的解解(05考
36、研考研)解解:ddddddyytyxtx 1dsindytt ddddytytx 222cosd1d1()sindsindsintyyttttt 22231dcosdsindsindytytttt22d0dyytyy 将将，代代入入原原方方程程，整整理理得得：12cossinyCtCt 通通解解为为：2121yC xCx 从从而而原原方方程程的的通通解解为为：221yxx 由由初初始始条条件件得得所所求求为为：例例16.4022()zfxy 22220zzxy ()()0;fufuu (1)0,(1)1ff 满足等式满足等式(I)验证验证(II)若若，求函数，求函数()f u的表达式的表达式.
37、()f u0(,)设函数设函数在在内具有二阶导数，且内具有二阶导数，且练习：练习：(06考研考研)4112(00(9).xyaybyyCC x e 若若方方程程的的通通解解为为数数一一(0)2,(0)0yaybyxyy则则方方程程满满足足的的解解为为 .120().xyaybyyCC x e因因方方程程的的通通解解为为解解：1r 所所以以特特征征根根为为二二重重根根2(1)0,r特特征征方方程程为为2210rr即即2,1ab 2(0)2,(0)0yyyxyy 求求方方程程满满足足转转化化为为：的的解解.*ycxd 设设，2yyyx 代代入入得得：1,2cd*2yx 所所以以，2yyyx 则则的的通通解解为为：12()(2).xyCC x ex(0)2,(0)0yy 120,1CC (2).xyxex 故故所所求求解解为为：
