1、第二章 质点运动学思考题2.1 质点位置矢量方向不变，质点是否一定作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？答：质点位矢方向不变，并且位矢的参考点一直在直线上，质点一定做直线运动；质点做直线运动时，若参考点选在直线上，位置矢量方向就不变，如选在直线外一点，位矢方向一定变。2.2 若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变，作何种运动？答：变速直线运动；匀速率曲线运动。2.3 “瞬时速度就是很短时间内的平均速度”，这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？答：不正确。正确的表述：t时刻的瞬
2、时速度就是由t到t+t时间内平均速度 ,当t0时的极限。瞬时速度很难在实验室直接测量，可以测量极小时间t内的作为t时刻瞬时速度的近似值。2.4 试就质点直线运动论证：加速度与速度同符号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但其加速度却在减小？答：由 , 同号时，因加速或减速是指的变化，设，则为加速运动；异号时，设，则， 为减速运动；存在：弹簧振子由最大位移到平衡位置的运动。2.5 设质点直线运动时瞬时加速度 =常数，试证明在任意相等的时间间隔内的平均加速度相等。答：由,设的速度为，求其平均加速度，由，积分，则，因是任意的，则，证毕。2.
3、6 在参考系一定的条件下，质点运动的初始条件的具体形式是否与计时起点和坐标系的选择有关？答：有关。2.7中学时曾学过 ， ， 这几个匀变速直线运动的公式，你能否指出在怎样的初始条件，可得出这几个公式？答： 质点做匀变速直线运动，初始时刻位于坐标原点且初速度为。, 初始时刻位于坐标原点且初速度为。2.8 试画出匀变速直线运动公式（2.3.7）和（.3.9）的图和图 a v0 t t2.9 对于抛体运动，就发射角为0-；=0；=/2这几种情况说明它们各代表何种运动答：0 a - 向下斜抛 =0 平抛= 平抛=/2 竖直上抛 =-/2 竖直下抛 2.10抛体运动的轨迹如图所示，试在图中用矢量表示它在
4、，各点处的速度和加速度 .11质点作上斜抛运动时，在何处速率最大，在何处速率最小？答：抛出点和落地点 速度最大； 顶点（最高点）速度最小2.12试画出斜抛运动的速率-时间曲线答： V 则 为双曲线。 0 t2.13在利用自然坐标研究曲线运动时，v、v、v 三个符号的含义有什么不同？答： 表示速度在切向上的投影 v：速度的大小 ：速度矢量，既有大小又有方向。2.14质点沿圆周运动，自A点起，从静止开始作加速运动，经B点到C点；从C点开始作匀速圆周运动，经D点直到E点；自E点以后作减速运动，经F点又到A点时，速度变成零。用矢量表示出质点在A，B，C，D，E，F各点的法向加速度和切向加速度的方向。2
5、.15什么是伽利略变换?它所包含的时空观有何特点?伽利略变换 x=x-vt y=y z=z t=t主要特点是认为时间和空间是绝对的，互不关联。习题2.1.1质点的运动学方程为(1) ；(2) 求质点的运动轨迹并用图表示。解: （1） 轨迹为 y =5 的直线 （2） 则轨迹为轨迹为直线2.1.2质点运动学方程为 (1).求质点轨迹。（2）求自t= -1至t= 1质点的位移。解：（1） z=2 则 xy=1 z=2 即为轨迹 z=2 平面上的双曲线（2）t=-1时， z=2t=1时， ，则位移 2.1.3质点的运动学方程为。 (1)求质点的轨迹。（2）求自t=0至t=1质点的位移。解：（1） 轨
6、迹为 为抛物线 （2）时 时则大小方向 与x轴夹角为26362.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为。0.75S后测得,，R1、R2均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向(角)。解瞬时速率飞行方向：由 ,2.2.2一小圆柱体沿岸抛物线轨道运动,抛物线轨道为 (长度:mm)。第一次观察到圆柱体在x=249mm处,经过时间2ms后圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度的近似值。解：由轨迹方程，,，瞬时速度的方向：2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐,离演奏者17米，另一人在广州听同一演秦的转播,广州离北京2320km,收听者离收音机2米,问谁先听到声音?声速为340米m/s。电磁波的传
7、播速率为30万km/s。解： 在广州的听众先听到。2.2.5火车进入弯道时减速,最初列车向北以90km/h.速率行驶,3min后以70km/h速率向北偏西30度方向行驶.求列车的平均加速度。解： 方向：（正南偏西）2.2.6 (1) ,R为正常数.求（1）t=0,/2时的速度和加速度。(2).求t=0,1时的速度和加速度.(写出正交分解式)。解：由（1） t = 0 时，t = 时，t = 0 时，t = 时，（2）t = 0 时，t = 1时，t = 0 时，t = 1 时，2.3.1图中a、b、c表示质点沿直线运动三种不同情况下的xt图。是说明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐
8、标，位于坐标原点的时刻）。解：a：运动方程，b：运动方程，c：运动方程，2.3.2质点直线运动的运动学方程为,a为正常数.求质点速度和加速度并讨论运动特点(有无周期性,运动范围,速度变化情况等)。解：由，即运动学方程 具有周期性，周期为2，运动范围：速度变化情况：-a,a范围按正弦规律变化。2.3.3跳伞运动员的速度为，v铅直向下,、q为正常量,求其加速度,讨论当时间足够长时(即t),速度和加速度的变化趋势。解： 2.3.4直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站.列车原运动速率为 v0=180km/h，其速率变化规律如图所示。求列车行至x=1.5km时加速度的大小。解：由 y x x =
9、 1.5km时， ，则 ax = -0.747 m/s2.2.3.5在水平桌面上放置的A,B两物体,用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们联结起来.C点与桌面固定.已知物体A的加速度的=0.5g.求物体B的加速度。解：建坐标系o-x , 固定点为坐标原点A、B、C坐标分别为,滑轮半径为r，绳长为 L ， 绳不伸长： 2.3.6质点沿直线的运动学方程为. (1).坐标原点沿Ox轴方向移动2米,运动学方程如何?初速度有无变化? (2).将计时起点前移1s，运动方程如何？初始坐标和初速度都发生什么样的变化？加速度变不变？解：（1） 即 ，初速度无变化。 （2） 即 初始坐标： 初速度： 原来初始坐标
10、： 初速度： 加速度：改变计时起点后：没有变。2.4.1质点由坐标原点出发时开始计时,沿x轴运动,其加速度.在下列两种情况下质点的运动学方程,出发后6s时质点的位置,在此期间所走过的位移及路程;(1) 初速度v0 =0;(2) 初速度v0的大小为9cm/s, 方向与加速度的方向相反.解：（1）则：t=6s时，位置：， 位移：，路程：S=72cm（2）则：出发6s时的位置： 位移：由 路程：，t=3s2.4.2 质点直线运动瞬时速度的变化规律为。求=3至=5时间内的位移。解：由 2.4.3质点作直线运动,其瞬时加速度的变化规律为在t=0时,x=A,其中A, 均为正常数,求此质点的运动学方程。解：
11、由由初始条件，t=0,vx = 0 求得 C = 0则 由初始条件，t=0,x = A 求得 C = 0则 x = Acost2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动.刚着陆时,t=0时速度为且坐标为x=0.假设其加速度为，b=常量.求飞机速度和坐标随时间的变化。解：t=0时 ， 2.4.5在195m长的坡道上,一人骑自行车以18km/h的速度和-20的加速度上坡,另一自行车同时以5.4 km/h的初速度和0.2的加速度下坡。问：（1）经过多长时间两人相遇；(2)两相相遇时,各走多少路程。解：以斜面底端为坐标原点，沿斜面建 o-x坐标系单位换算：18km/h=5m./s -20 =-0.2
12、 5.4km/s=1.5m/s上坡人：减速运动下坡人：加速运动此时二人还未相遇，而此后上坡人开始向反方向运动上坡人：下坡人： 相遇时，可得：t=30s求路程：t=时上坡人停止此时路程为s1,停止后返回得路程为s1则：2.4.6站台上送行的人,在火车开动时站台在第一节车厢的最前面,火车开动后经过t=24s,第一节车厢的末尾从此人的面前通过,问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车作匀加速运动。解：以人站的位置为原点，建立坐标o-x,t时刻第一节车厢前沿的运动方程：设车厢长，第一节通过时间第七节通过时间：2.4.7在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率v0上抛二石子, 但在高处的石子早t0s被抛出。
13、.求二石子何时何处相遇.解：以低处石子抛出点为原点建坐标系：O-y以从高处抛出石子秒后开始计时，低处石子抛出点坐标：高处石子抛出点坐标：则： 相遇时：可得： 2.4.8电梯以1.0m./s的匀速率下降,小孩在电梯中跳离地板0.50m高,问当小孩再次落到地板上时,电梯下降了多少距离?解：（1）以电梯为参考系（惯性系）：建立坐标系0-y 落到地板上时： y = 0 则：t= 0.64s(2)再以地面为参考，电梯下降：2.5.1质点在O-xy平面内运动,其加速度为,位置和速度的初始条件为t=0时. 求质点的运动学方程并画出轨迹(本题用积分)解：由 轨迹 2.5.2在同一竖直面内的同一水平线上A,B两
14、点分别以30度,60度为发射角同时抛出两小球,欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点,求A,B两点间的距离,已知小球在A点的发射速率vA= 9.8m/s。解：建坐标o-xy如图：A、B的运动学方程：A、B相遇时，所用时间相同。A: 则 B: 则 相遇时： v10 = 9.8 m/s , 则 v20 = 5.66 m/s , t = 0.5 sm2.5.3迫击炮弹的发射角为60度,发射速率为150m/s,炮弹击中倾角30度的山坡上的目标,发射点正在山脚,求弹癯点到发射点的距离OA.解：建坐标系 o-xyA 点坐标（x,y） 则 则 = 1297.5 m= 750 m OA = 1530 m2.5
15、.4轰炸机沿与铅直方向成53度俯冲时,在763m的高度投放炸弹,炸弹在离开飞机5.0s时击中目标,不计空气阻力.(1)轰炸机的速率是多少?(2)炸弹在飞行中经过的水平距离是多少?(3)炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少?解： t=5.0s,y=763m,g=10ms-2则：v0y = 127.2m/s1) 2) 3) ,2.5.5雷达观测员正在监视一越来越近的物体。在某时刻，他得到这样的消息：（1）抛射休达到最大高度且正以速率v沿水平方向运动;(2)观察者到抛射体的直线距离为;(3)观测员观察抛体的视线与水平方向成角.问:（1）抛射体命中点到观察者的距离D等于多少?(2)何
16、种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才击中目标?何种情况下抛体在未到达观测员以前就命中目标?设地球表面为平面且观测员位于抛体轨迹所在的竖起平面以内.AByovx解：建坐标o-xy(如图)抛体在顶点时t=0,抛体运动方程： 落点A的坐标（） AB之间距离： ,D0时，抛体落点在观察者前方；x O Oy2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶,在我们所讨论的时间范围内,其运动学方程为 (长度:m,时间:s).t=0时,列车在图中O点.此圆弧形轨道的半径r=1500米,求列车驶过O点以后前进至1200米处的速率及加速度.解:建坐标系如图，自然坐标系。 由 s=1200m时 （略） 40m/s 则 =-
17、2m/s2 =2.27m/s2 （a与v的夹角）2.6.2 火车以200km/h的速度驶入圆弧轨道，其半径300m，司机一进入圆弧轨道立即减速，减速度为2g，求火车在何处加速度最大？为多少？解：因进入圆弧轨道火车减速 越来越小， 也减小 ，也减小所以，火车刚进入圆弧轨道时加速度最大。由 2.6.3斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动,当斗车到达图中所示位置时,轨道曲率半径为150米,斗车速率为50km/h,切向加速度at=0.4g,求斗车的加速度.解： 方向：与切向夹角与水平夹角2.8.1飞机在某高度的水平面上飞行,机身的方向是自东北向西南,与正西夹15度的角,风以100km/h的速率自西南
18、向东北方向吹来,与正南夹45度角,结果飞机向正西方向运动,求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度. 解：269.2km/h 方向正南偏西750193.2km/h 方向正西2.8.2飞机在静止空气中的飞行速率是235km/h它朝正北的方向飞行,使整个飞行时间内都保持一条南北向公路的上空.地面观察者利用通讯设备告诉驾驶员正在刮着速率等于70km/h的风,但飞机仍能以235km/h的速率沿公路方向飞行.(1).风的方向是怎样的?(2).飞机的头部指向哪个方向?也就是说,飞机的轴线和公路成怎样的角度? 解：235km/h ， 235km/h ， 70km/h，风指向西北，北偏西81.4度，飞机的轴线和
19、公路成17.2度角指向东北；如果风向东北,会是北偏东81.4度，飞机的轴线和公路成17.2度角指向西北。2.8.3一辆卡车在平直路面上以恒速度30m/s行驶,在此车上射出一个抛体,要求在车前进60m时,抛体仍落回到车上原抛出点,问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向。空气阻力不计.解：以地面为静系，卡车为动系，抛出体在t时间后仍能落到车上。 卡车对地运动： 抛体对卡车为竖直上抛运动： 则车前进60m的时间：t = 60/30 =2s 经2s抛体落回车上原抛点， 竖直向上。 2.8.4河的两岸互相平行,一船由A点朝与岸垂直的方向匀速驶去,经10min到达对岸C点,若船从A点出发仍按第一次渡河
20、速率不变但垂直地到达彼岸的B点,需要12.5min,已知BC=120m,求：（1）河宽l； (2)第二次渡河时船的速度u；(3)水流的速度v。解：选船为运动质点，地面为基本参考系，水为运动参考系由伽利略速度变换： B C 1) 两次渡河船的矢量关系如图1），2） 由1） ，则=120/600 m/s = 0.2 m/s A B由2） 2) A 则 L = 200 m , | = 1/3 m/s. 由2.8.5圆弧公路与沿半径方向的东西向公路相交如图.某瞬时汽车甲向东以20km/h的速率行驶;汽车乙在=30度的位置向东北方向以速率20km/h行驶求此瞬时甲车相对乙车的速度解：由 北 y其矢量关系为下图，夹角：=60为等边三角形 甲 x 东20km/h 方向南偏东600 乙
