1、经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2求值： 解：.总结升华：对数恒等式中要注
2、意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，cR+，且不等于1，N0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1
3、】求值(1) (2)lg2lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2lg50+(lg2)2 解：(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a0，b0.
4、求证：.证明： a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a0，b0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即 .类型四、换底公式的运用4(1)已知logxy=a， 用a表示； (2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：am=x， bn=x， cp=x， ；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1) (2)；(3)法一： 法二：.总结升华：运
5、用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5求值(1) log89log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 举一反三：【变式1】求值：解：另解：设 =m (m0). ， ， ， lg2=lgm， 2=m，即.【变式2】已知：log23=a， log37=b，
6、求：log4256=?解： ，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域： (1)； (2).思路点拨：由对数函数的定义知：x20，4-x0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x20，即x0，所以函数；(2)因为4-x0，即x0且a1，kR).解：(1)因为， 所以， 所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为 ax-k2x0， 所以()xk. 1当k0时，定义域为R； 2当k0时， (i)若a2，则函数定义域为(k，+)；
7、 (ii)若0a2，且a1，则函数定义域为(-，k)； (iii)若a=2，则当0k0且a1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4log28.5； 解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.48.5，所以log23.4log28.5； 解法3：直接用计算器计算得：log23.41.8，log28.53.1，所以log23.4log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8log0.32.7；(3)注：底数是常数，但
8、要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当a1时，y=logax在(0，+)上是增函数，且5.15.9，所以，loga5.1loga5.9当0a1时，y=logax在(0，+)上是减函数，且5.1loga5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则当a1时，y=ax在R上是增函数，且5.15.9所以，b1b2，即当0a1时，y=ax在R上是减函数，且5.1b2，即.举一反三：【变式1】（2011 天津理 7）已知则（ ）A B C D解析：另，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得 又为单调递增函数， 故
9、选C.9. 证明函数上是增函数. 思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1x2 则 又y=log2x在上是增函数 即f(x1)0且a1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=logax(xR+， tR).当a1时，t=logax为增函数，若t1t2，则0x1x2， f(t1)-f(t2)=， 0x11， f(t1)f(t2)， f(t)在R上为增函数，当0a1或0a1， f(x)在R上总是增函数.10求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间. 解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4. y=t为减
10、函数，且00，即-1x0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是. 解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R， 当a=0时，此不等式变为2x+10，其解集不是R； 当a0时，有 a1. a的取值范围为a1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0a1， a的取值范围为0a1.13已知函数h(x)=2x(xR)，它的反函数记作g(
11、x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a1)，记ABC的面积为S. (1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x0). 并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a， log2a)， B(a+4， log2(a+4)， C(a+8， log2(a+8) (a1)，如图. A，C中点D的纵坐标为log2a+log2(a+8) S=|BD|42=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2 =2log2(1+). 由于a1时，a2+8a9， 11+，又函数y=log2x在(0，+)上是增函数， 02log2(1+)2log2，即0S2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1a1a21，a21，且a2a1， a1+a2+80， +8a20， +8a10， a1-a20， 11+f(a2) S=f(a)在(1，+)上是减函数.(4)由S2，即得，解之可得：1a4-4.12 / 12
