1、一空间直角坐标系如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD的方向为正方向，以线段OA，OC，OD的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个 空间直角坐标系 ，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为 右手直角坐标系 ，即 右手拇指 指向x轴的正方向， 食指 指向y轴的正方向， 中指指向z轴的正方向二空间直角坐标系中的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做
2、点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x，y，z)，其中x叫做点M的 横坐标 ，y叫做点M的 纵坐标 ，z叫做点M的 竖坐标 例1在空间直角坐标系中，作出点M(6，2,4)例2长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|a，|BC|b，|CC1|c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。3. 在棱长均为2a的正四棱锥PABCD中，建立恰当的空间直角坐标
3、系，(1)写出正四棱锥PABCD各顶点坐标；(2)写出棱PB的中点M的坐标解：连接AC，BD交于点O，连接PO，PABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.四边形ABCD为正方形，且PO平面ABCD.OAa.POa.以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（1）正四棱锥PABCD中各顶点坐标分别为A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)(2)M为棱PB的中点，由中点坐标公式，得M(，)，即M(0，a，a) 例3在空间直角坐标系中，点P(2,1,4)(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平
4、面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(2，1，4)(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2,1，4)(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)变式：1.写出点P(6，2，7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P关于各坐标平面对称的点的坐标解：设点P在xOy平面、y
5、Oz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A，B，C，由PA平面xOy，PB平面yOz，PC平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，2,0)，点B(0，2，7)，点C(6,0，7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A(6，2,7)，B(6，2，7)，C(6,2，7)2.在棱长都为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABCA1B1C1各顶点的坐标正解取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连线OA，OO1，根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且|OA|2，以OA，OB，OO
6、1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABCA1B1C1各顶点的坐标分别为A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，1,0)，A1(，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，1,2)三空间向量在立体几何中的应用1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量(2) 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n.此时把向量n叫做平面的法向量2. 线面关系的判定直线l1的方向向量为e1(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为e2(a2，b2，c2)，平面的法向量为n1(x1，y1，
7、z1)，平面的法向量为n2(x2，y2，z2)(1) 如果l1l2，那么e1e2e2e1a2a1，b2b1，c2c1(2) 如果l1l2，那么e1e2e1e20a1a2b1b2c1c20(3) 若l1，则e1n1e1n10a1x1b1y1c1z10(4) 若l1，则e1n1e1kn1a1kx1，b1ky1，c1kz1(5) 若，则n1n2n1kn2x1kx2，y1ky2，z1kz2(6) 若，则n1n2n1n20x1x2y1y2z1z203. 利用空间向量求空间角(1) 两条异面直线所成的角范围：两条异面直线所成的角的取值范围是.向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为，则有cos|
8、cos|.(2) 直线与平面所成的角范围：直线和平面所成的角的取值范围是.向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin|cos|(3) 二面角二面角的取值范围是0，二面角的向量求法：() 若AB、CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图)() 设n1、n2分别是二面角-l-的两个面、的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)题型1空间向量的基本运算 例1已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)设a，b.(1) 求a和b
9、的夹角；(2)若向量kab与ka2b互相垂直，求k的值解：A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，a，b，a(1，1，0)，b(1，0，2)(1)cos，a和b的夹角为arccos.(2)kabk(1，1，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)，且(kab)(ka2b)，(k1，k，2)(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100，解得k或2.题型2空间中的平行与垂直例2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直
10、角坐标系，设ACBDN，连结NE.则N，E(0，0，1)，A(，0)，M. ，. 且NE与AM不共线 NEAM. NE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(2) 由(1)知， D(，0，0)，F(，1)， (0，1)， 0， AMDF.同理AMBF. 又DFBFF， AM平面BDF.题型3空间的角的计算例3(2013苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO4，底面半径OB2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EFDE.(1) 求异面直线EF与BD所成角的余弦值；(2) 求二面角F-OD-E的正弦值解：(1) 以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在
11、的线为y轴，OP所在的线为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)设F(x0，y0，0)(x00，y00)，且xy4，则(x0，y01，2)，(0，1，0)， EFDE，即，则y010，故y01. F(，1，0)，(，0，2)，(0，2，2)设异面直线EF与BD所成角为，则cos.(2) 设平面ODF的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令x11，得y1，平面ODF的一个法向量为n1(1，0)设平面DEF的法向量为n2(x2，y2，z2)，同理可得平面DEF的一个法向量为n2.设二面角F-OD-E的平面角为，则|cos|. sin.（
12、翻折问题）例4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD中，已知A45，C90，ADC105，ABBD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点(1) 求证： DC平面ABC； (2) 求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3) 求二面角BEFA的余弦值解：(1) 平面ABD平面BDC，又 ABBD， AB平面BDC，故ABDC，又 C90， DCBC，BCABC平面ABC，DC平面ABC，故DC平面ABC.(2) 如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示， 设CDa，则BDAB2a，BCa
13、，AD2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C，F(a，0，a)， ，(a，0，a)设BF与平面ABC所成的角为，由(1)知DC平面ABC， cos， sin.(3) 由(2)知 FE平面ABC, 又 BE平面ABC，AE平面ABC， FEBE，FEAE， AEB为二面角BEFA的平面角 .在AEB中，AEBEACa， cosAEB，即所求二面角BEFA的余弦为.课后巩固练习：1.(2013江苏卷)如图所示，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1) 求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2) 求平面ADC1与平面A
14、BA1所成二面角的正弦值解：(1) 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以(2，0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2) 设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1，1，0)，(0，2，4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2，1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos
15、|，得sin.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.2. (2013新课标全国卷)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AA1ACCBAB.(1) 证明：BC1平面A1CD；(2) 求二面角DA1CE的正弦值(1) 证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2) 由ACCBAB得ACBC. 以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，(
16、1，1，0)，(0，2，1)，(2，0，2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m为平面A1CE的法向量，则可取m(2，1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角D-A1C-E的正弦值为.3. (2013重庆)如图所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F为PC的中点，AFPB.(1) 求PA的长；(2) 求二面角B-AF-D的正弦值解：(1) 如图，连结BD交AC于O，因为BCCD，即BCD为等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD.以O为坐标原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐
17、标系Oxyz，则OCCDcos1，而AC4，得AOACOC3.又ODCDsin，故A(0，3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(，0，0)因为PA底面ABCD，可设P(0，3，z)，由F为PC边中点，得F，又，(，3，z)，因AFPB，故0，即60，z2(舍去2)，所以|2.(2) 由(1)知(，3，0)，(，3，0)，(0，2，)设平面FAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2(x2，y2，z2)由n10，n10，得因此可取n1(3，2)由n20，n20，得故可取n2(3，2)从而向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2.故二面角B-AF-D的正弦值为
18、.4. (2013连云港调研)在三棱锥SABC中，底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45角(1) 若D为侧棱SB上一点，当为何值时，CDAB；(2) 求二面角S-BC-A的余弦值大小解：以O点为原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知SBO45，SO3.O(0，0，0)，C(0，0)，A(0，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)(1) 设(01)，则(1)(3(1)，0，3)，所以(3(1)，3)因为(3，0)，CDAB，所以9(1)30，解得.故时， CDAB.(2) 平面ACB的法向量为n1(0，0
19、，1)，设平面SBC的法向量n2(x，y，z)，则n20，n20，则解得取n2(1，1)，所以cosn1，n2.又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为.5. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA12，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B1B、DA的中点(1) 求二面角D1-AE-C的大小；(2) 求证：直线BF平面AD1E.(1) 解：以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图则相应点的坐标分别为D1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，(0，0，2)(1，1，1)(1，1，1)，(1，1，1)(
20、1，0，0)(0，1，1)，(0，1，0)(1，0，0)(1，1，0)设平面AED1、平面AEC的法向量分别为m(a，b，1)，n(c，d，1)由由m(2，1，1)，n(1，1，1)，cosm，n0，二面角D1AEC的大小为90. (2) 证明：取DD1的中点G，连结GB、GF.E、F分别是棱BB1、AD的中点，GFAD1，BED1G且BED1G，四边形BED1G为平行四边形，D1EBG.又D1E、D1A平面AD1E，BG、GF平面AD1E，BG平面AD1E，GF平面AD1E.GF、GB平面BGF，平面BGF平面AD1E.BF平面AD1E，直线BF平面AD1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空
21、间向量来证明直线BF平面AD1E，亦可)6. (2013苏州调研)三棱柱ABCA1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB2，AC4，A1A3.D是BC的中点(1) 求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2) 求二面角B1-A1D-C1的正弦值解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).(1，2，3)，(0，4，0). 设平面A1C1D的一个法向量为n(x，y，z) nx2y3z0，n4y0. x3z，y0.令z1，得x3.n(3，0，1)设直线DB1与平面A1C1D所成角
22、为， (1，2，3)， sin|cosn|.(2) 设平面A1B1D的一个法向量为m(a，b，c)(2，0，0)， ma2b3c0，m2a0， a0，2b3c.令c2，得b3.m(0，3，2)设二面角B1A1DC1的大小为， |cos|cos|m，n|，则sin. 二面角B1A1DC1的正弦值为. 7. (2013南通二模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B平面ABC，ABAC，且ABACA1B2.(1) 求棱AA1与BC所成的角的大小；(2) 在棱B1C1上确定一点P，使二面角PABA1的平面角的余弦值为.解：(1) 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2
23、，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，(0，2，2)，(2，2，0)cos，故AA1与棱BC所成的角是.(2) P为棱B1C1中点，设(2，2，0)，则P(2，42，2)设平面PAB的法向量为n1(x，y，z)，(2，42，2)，则故n1(1，0，)，而平面ABA1的法向量是n2(1，0，0)，则cosn1，n2，解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P(1，3，2)近六年高考题1. 【2010高考北京理第16题】(14分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE；(3)求二面角
24、A-BE-D的大小【答案】设AC与BD交与点G。因为EF/AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF/平面EG， 因为平面BDE，AF平面BDE， 所以AF/平面BDE.（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD. 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.则C（0，0，0），A（，0），B（0，0）.所以，.所以,所以,.所以BDE.(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量.设平面ABE的法向量,则，. 即所以且 令则. 所以. 从而。 因为二面角为锐角， 所以二面角的大小为. 2【2011高考北京
25、理第16题】（共14分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，.（1）求证：平面PAC；（2）若，求PB与AC所成角的余弦值；（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.3. 【2012高考北京理第16题】（本小题共14分） 如图1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE=2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如图2.(I)求证：A1C平面BCDE；(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由，与平面所成角的大小
26、。4. 【2013高考北京理第17题】(本小题共14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5，(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值【答案】解：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0
27、,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的法向量为m(3,4,0)所以cosn，m.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.5. 【2014高考北京理第17题】（本小题满分13分）如图，正方体的边长为2，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于，.（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.6. 【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点() 求证：；() 求二
28、面角的余弦值；() 若平面，求的值【解析】解：（）证明：为等边三角形，为中点，又平面平面，平面平面，平面，（）以为原点建立如图坐标系，平面的法向量；设平面的法向量，则取又二面角为钝角，二面角的余弦值为（）平面，解得（舍）或考点定位：本题考点为线线垂直的证明和求二面角，要求学生掌握空间线线、线面的平行与垂直的判定与性质，利用法向量求二面角以及利用数量积为零解决垂直问题.7.【2016高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】面面面面，面面面又面取中点为，连结，以为原点，如图建系易知，则，设为面的法向量，令，则与面夹角有假设存在点使得面设，由（2）知，有面，为的法向量即综上，存在点，即当时，点即为所求.
