1、高三数学（I 卷） 第 1 页（共 4 页） 南通市 2020 届高考考前模拟卷（五五） 数学 （南通数学学科基地命题） 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . 1. 已知全集 U=R，集合 A=x3x7，B=xx27x+100，则 AB . 2. 已知 aR，复数满足 z 1+i=1+ai 且虚部为1(i 为虚数单位)，则 a . 3. 如图是某个容量为 100 的样本的频率分布直方图， 则数据在区间6， 10)上的频数是 . 4. 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为 . 5. 记函数 f(x)= x25x4的定义域为
2、 D，若在区间5，5上随机取一个数 x，则 xD 的概率为 . 6. 在各项都是正数的等比数列an中，a2，1 2a3，a1 成等差数列，则a6a7 a5a6的值是 . 7. 已知函数 f(x)= sin(x+) (0， 0)的最小正周期是 ， 若将该函数的图象向右平移 3个 单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式 f(x)= . 8. 已知不等式组 xy0， xy0， xa， 表示的平面区域为 S，若点 P(x，y)S，且 z=2x+y 的最大值 为 9，则实数 a 的值为 . 9. 已知 P 是以 F1，F2为左，右焦点的双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右支上的一
3、点，且满 足PF1 PF2 =0，tanP F1F2=1 4，则此双曲线的离心率为 . N （第 4 题） 输出 S 结束 a3 a5，S1 开始 Y aa1 SSa （第 3 题） 0.200 0.025 4 6 8 10 12 频率 组距 0.075 2 0.050 数据 高三数学（I 卷） 第 2 页（共 4 页） 10. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 2，P 为 AA1的中点，Q 为 CC1的中点，则三棱锥 BPQD 的体 积为 . 11. 若圆 C:x 2y22x4y3=0 关于直线 2axby6=0 对 称，则由点(a，b)向圆 C 所作切线长的最小值是 .
4、12. 在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 C= 3，若 2CA CB=4，则ABC 面积的最大值为 . 13. 已知函数 f(x)=ax3|2x 2(4a)x1|的最小值为 2，则 a . 14. 设函数 f1(x)= x 2，f 2(x)=2（xx 2） ，f 3(x)=1 3 |sin2x|. 取 ti = i 2019，i=0，1，2，2019， Sk=| fk(t1)fk(t0)| fk(t2)fk(t1)| fk(t2019)fk(t2018)|，k=1，2，3， 则 S1，S2，S3的大小关系为 . (用“”连接) 二、解答题：本大题共 6 小题，共
5、90 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分 14 分） 如图,在四边形 ABCD 中，ABCD，ABD=30，AB=2CD=2AD，DE平面 ABCD， EFBD，且 EF=1 3BD. 求证：(1) DE平面 ACF; (2)平面 ADE平面 BDEF. 16.（本小题满分 14 分） 在ABC 中， 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c， 且ABC 的面积 S 满足 S=1 2AB AC=1. (1) 若求角 A 的值； (2) 若 BC 边上的中线长为 13 2 ，求 a 的值. (第 15 题) E F B D A C C
6、1 D1 B1 A1 P A D C B Q （第 10 题） 高三数学（I 卷） 第 3 页（共 4 页） 17.（本小题满分 14 分） 国家提倡工匠精神，球宝行业对宝石的切割力求完美，以更好地展现宝石的魅力. 如图 1 是 一幅宝石切割效果图的侧面平面图，展示的是将一块圆心角为 90 ，半径为 4mm 的扇形图， 计划切割成顶部为等腰梯形的形状，即图 2 的形状，其中 OMAB 交 CD 于点 M，交 AB 于点 N. 切工的效果由很多参数衡量，冠高比就是其中一个，指的是宝石冠部高度与腰围直 径的百分比，即MN ABt%， t 的数值范围在区间11，18时效果最优. 切割在冠高比达到最
7、优效果的前提下，希望使得五边形 OADCB 的面积最大. (1) 设MOD=，将五边形 OADCB 的面积 S 表示成的函数关系式，并求 的取值范围; (2) 求 S 的最大值及取得最大值时的值. (取 cos 120.96，cos 60.86， 21.414， 31.732) 18.（本小题满分 16 分） 如图，焦点在 x 轴上的椭圆 C1与焦点在 y 轴上的椭圆 C2都过点 M(0，1)，中心都在坐标 原点，且椭圆 C1与 C2的离心率均为 6 3 . (1) 求椭圆 C1 与椭圆 C2 的标准方程； (2) 过点 M 且互相垂直的两直线分别与椭圆 C1， C2交于点 A，B(点 A、B
8、 不同于点 M), 当MAB 的面积取最大值时，求直线 MA，MB 斜率的比值. 图 2 D M N C B O A 图 1 D M N C B O A x O y B A M （第 18 题） 高三数学（I 卷） 第 4 页（共 4 页） 19.（本小题满分 16 分） 已知函数 f(x)(ax 2+x+1)ex，其中 e 是自然对数的底数，aR. (1) 当 a2 时，求 f(x)的极值; (2) 写出函数 f(x)的单调增区间; (3) 当 a0 时，在 y 轴上是否存在点 P，过点 P 恰能作函数 f(x)图象的两条切线?若存在， 求出所有这样的点; 若不存在，请说明理由. 20.（本
9、小题满分 16 分） 已知 nN*且 3， 如果数列an满足:对于任意的 i=1， 2， ， n， 均有 ai S n1， 其中 S= a1+ a2+an，那么称数列an为“紧密数列” . (1) 若“紧密数列”an:a1,a2,a3,a4为等差数列，a1=2，求数列an的公差 d 的取值范围; (2) 数列an: a1, a2, an为“紧密数列” ，求证:对于任意互不相等的 m,n,k1,2,3,n, 均有 am+anak; (3) 数列an: a1, a2, , an为“紧密数列” ，对于任意的 i=1,2,n，aZ，且 ai+1ai (1in1)成立，求 S 的最小值 Tn. 高三数学
10、 II（附加题） 第 1 页（共 1 页） 南通市 2020 届高考考前模拟卷（五五） 数学(附加题) 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题 ，并在相应的答题区域内作答 ， 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 设点(x，y)在矩阵 M 对应变换作用下得到点(3x，xy) (1) 求矩阵 M; (2) 若直线 l:xy2 在矩阵 M 对应变换作用下得到直线 l，求直线 l的方程. B选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，求点 2， 4 到曲线 cos 上点
11、的距离的最大值. C选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分） 设 x，y，z 均为正实数，且 x yz=4，求证： x2 1x y2 1y z2 1z的最小值. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 某校模仿中国诗词大会)节目举办学校诗词大会，进入正赛的条件：电脑随机抽取 10 首古诗， 参赛者需背完且能够正确背通 8 首及以上的进入正赛. 若学生甲参赛， 他背通每一首古诗的正确 的概率均为2 3. (1) 求甲进入正赛的概率;(取2 8 390.013，结果取两位有效数
12、字) (2) 若进入正赛，则采用积分淘汰制,规则:电脑随机抽取 4 首古诗，每首古诗背通正确加 2 分，错 误减 1 分由于难度增加:甲背诵每首古诗正确的概率为1 2，求甲在正赛中积分 X 的概率分布列 及数学期望. 23 （本小题满分 10 分） 设正项数列an满足：a2= 1 4，且对于nN *，都有2an+1 n(n+1)anan+1 2an n(n+1)，且 1 anN *. (1) 求 a1，a3; (2) 求数列an的通项公式. 高三数学参考答案 第 1 页（共 2 页） 南通市 2020 届高考考前模拟卷（五五） 试题试题参考答案参考答案( (详细答案见教参详细答案见教参) )
13、一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1、答案答案： 3，5) 2、答案答案： 2 3、答案答案： 70 4、答案答案： 60 5、答案答案： 3 10 6、答案答案： 51 2 7、答案答案：sin 2x2 3 8、答案答案：3 9、答案答案： 17 3 10、答案答案：4 3 11、答案答案：10 12、答案答案：2 3 13、答案答案：1 2 14、答案答案：S2S1 S3 二、解答题（共二、解答题（共 90 分）分） 15、（本小题满分 14 分） （略,见图） 16、 （本小题满分 14 分） （1）A= 4； （2）a= 5. 17、 （本小题满分 14
14、分） （1） 12， 6; （2）= 12； 18、 （本小题满分 16 分） （1）3x2y21; （2）32 3 3 . (第 15 答) E F B D A C 高三数学参考答案 第 2 页（共 2 页） 19、 （本小题满分 16 分）1 2 （1）e- 1 2; （2）当 a0 时， f(x)的单调增区间(2， 1 a)； 当 a0 时， f(x)的单调增区间(2，)； 当 0a1 2时， f(x)的单调增区间(， 1 a)； 当 a1 2时， f(x)的单调增区间(，)； 当 a1 2时， f(x)的单调增区间(，2)和( 1 a，)； （3）在 y 轴上存在点 P 恰能作曲线的两
15、条切线，点 P 的纵坐标的取值范围为0，1）-5e-3. 20、 （本小题满分 16 分） （略） 数学数学(附加题附加题) 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三三小题小题，请选定其中两小题请选定其中两小题 ，并在相应的答题区域内作答并在相应的答题区域内作答 ， 若多做若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 答案答案：M= 30 11 B选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 答案答案：2 2 C选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分） 答案答案：1 4 【必做题】第【必做题】第22题题、第第23题，每题题，每题10分，共计分，共计20分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） （1）0.3 ; （2）E（X）=2. 23 （本小题满分 10 分） （1）a3=1 9; （2）an= 1 n2 (nN *).
