1、一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容 三、典型例题三、典型例题 第四章 随机变量的数字特征小结与典型例题1一、重点与难点21.重点重点数学期望的性质和计算数学期望的性质和计算2.难点难点数字特征的计算数字特征的计算方差的性质和计算方差的性质和计算相关系数的性质和计算相关系数的性质和计算二、主要内容3数学期望数学期望方方 差差离散型离散型连续型连续型性性 质质协方差与相关系数协方差与相关系数二维随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望定定 义义计计 算算性性 质质随机变量函数的随机变量函数的数学期望数学期望定定 义义协方差协方差的性质的性质相关系数相关系数定理定理离散型随机变量的
2、数学期望4的分布律为的分布律为设离散型随机变量设离散型随机变量 X.,2,1,kpxXPkk ,1绝对收敛绝对收敛若级数若级数 kkkpx,1数学期望数学期望的的为随机变量为随机变量则称级数则称级数Xpxkkk ,E XEX记为或1 .kkkE Xx p即连续型随机变量的数学期望5()d ,xf xxXE X若积分绝对收敛则称此积分值为连续型随机变量的数学期望记为 ()d.E Xxf x x即 ),(,xfX它的概率密度为它的概率密度为是连续型随机变量是连续型随机变量随机变量函数的数学期望6离散型随机变量函数的数学期望为离散型随机变量函数的数学期望为),2,1(,)(kpxXPXgYkk且且若
3、若则有则有1()().kkkE g Xg xp()()()d.E g Xg x f x x ),(,xfX它的分布密度为它的分布密度为是连续型的是连续型的若若则有则有数学期望的性质71.设设C是常数是常数,则有则有.E CC2.设设X是一个随机变量是一个随机变量,C是常数是常数,则有则有.E CXCE X3.设设X,Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有.E XYE XE Y4.设设X,Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,则有则有 .E XYE X E Y二维随机变量的数学期望8,(,)d d,iijijx pE Xxf x yx y 同理可得同理可得(,),X YE XE Y设
4、为二维随机变量 若都存在 则其期望值定义为 ;),(ijpYX的概率分布为的概率分布为.),(),(yxfYX的密度为的密度为,(,)d d,iijijy pE Yyf x yx y ;),(ijpYX的概率分布为的概率分布为.),(),(yxfYX的密度为的密度为 ,),(,.1是二元函数是二元函数为离散型随机变量为离散型随机变量若若yxgYX,),(),(iijjjipyxgYXgE .),(ijpYX的联合概率分布为的联合概率分布为当当,dd),(),(),(yxyxfyxgYXgE 则则则则 ,),(,.2是二元函数是二元函数为连续型随机变量为连续型随机变量若若yxgYX .),(),
5、(yxfYX的联合分布密度为的联合分布密度为当当9方差的定义10222 ,(),(),Var,(),.XEXE XE XE XXXDXVar XE XE XVar XX设是一个随机变量 若存在则称是的方差 记作或即称为标准差或均方差记为方差的计算11.)(为概率密度为概率密度其中其中xf22().Var XE XE X离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 21(),kkkVar XxE Xp连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差2()()d,Var XxE Xf xx .,2 ,1 ,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk 方差的性质121.设设 C 是常数是常数,则有则有 0.V
6、ar C 2.设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有2.Var CXC Var X.Var XYVar XVar Y3.,Var,X YXVar Y设相互独立存在 则4.01,Var XXC 的充要条件是以概率 取常数即.1 CXP协方差与相关系数的定义13Cov(,)r(X,Y).X YXYVar XVar Y称为随机变量与的相关系数Cov(,)()().X YE XE XYE Y()(),EXE XYE YXY称为随机变量与的协方差 记为Cov(X,Y),协方差的性质14).,(Cov),(Cov.1XYYX),(),(Cov),(Cov.2为常数为常数baYX
7、abbYaX).,(Cov),(Cov),(Cov.32121YXYXYXX 相关系数定理15(1)(,)1.r X Y(2)(,)1:,1.r X Ya bP YabX的充要条件是 存在常数使条件条件数学期望数学期望离散型随机变量的条件数学期望离散型随机变量的条件数学期望，则称，且如1ijiijijipxpbxP1jii jiEbx p 为为在在(=b(=bj j)发生条件下的条件数学期望，简称发生条件下的条件数学期望，简称条件期望。条件期望。16连续型随机变量的条件数学期望连续型随机变量的条件数学期望，则称如，度为发生的条件下的条件密在设随机变量dxyxfxyxfy)()()Eyxfx y
8、 dx 为在(=y)发生条件下的条件数学期望，简称条件期望条件期望。17条件期望的性质条件期望的性质(1)byEaba,则如(2)1212(1,2)iabEy iE abyaEybEy ，是常数，存在，则(3)E EE 特别地特别地E CyCC为常数181,()(1,2,)iiiiiPapiEp Ea设、均为离散型随机变量 且 的分布律为则(4)19三、典型例题 20解解1 ,(1),1,2,Var.kXP XkppkE XX设服从几何分布 它的分布律为求和11kkE Xk qp )1(pq 其中其中 11kkqkp2)1(qp ,1p 例例12211kkE Xkqp 112kkqkp3)1(
9、)1(qqp ,12pq 22()Var XE XE X2211ppq .2pq 21解解 从数字从数字0,1,2,n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望求这两个数字之差的绝对值的数学期望.,的绝对值的绝对值为所选的两个数字之差为所选的两个数字之差设设 X ,3 ,2 ,1 nX的所有可能取值为的所有可能取值为则则,2 11 nnXP,21)1(2 nnXP一般的一般的.,2,1,21)1(nknknkXP 1 nkE XkP Xk nknknk121)1(.32 n例例222解解.,)(,!0 的值的值与与求求已知已知为为的概率的概率取非负整数值取非负
10、整数值设随机变量设随机变量BAaXEnABpnXnn ,的分布列的分布列是是因为因为Xpn 0nnXP 0!nnnBA,1 BAe,BeA 得得0!nnBE XnAn 1)!1(nnnBA,aABeB .,aBeAa 因此因此例例323 某银行开展定期定额有奖储蓄某银行开展定期定额有奖储蓄,定期一年定期一年,定额定额60元元,按规定按规定10000个户头中个户头中,头等奖一个头等奖一个,奖奖金金500元元;二等奖二等奖10个个,各奖各奖100元元;三等奖三等奖100个个,各奖各奖10元元;四等奖四等奖1000个个,各奖各奖2元元.某人买了五个某人买了五个户头户头,他期望得奖多少元他期望得奖多少
11、元?解解因为任何一个户头获奖都是等可能的因为任何一个户头获奖都是等可能的,.的期望的期望金数金数先计算一个户头的得奖先计算一个户头的得奖X42341088891011011011010210100500pX分布列为分布列为例例424 的数学期望为的数学期望为X432111150010010210101010E X ),(45.0元元 买五个户头的期望得奖金额为买五个户头的期望得奖金额为 55 EXE X ).(25.245.05元元 252 (1),11,()(0)0,.Var.Xcxf xxE XX 设随机变量的密度函数为其他求和解解,)(是偶函数是偶函数因为因为xf ()dE Xxf xx
12、所以 112d)1(xxcx,0 222()Var XE XE XE X例例526 1122112d)1()1(21d)1()1(21xxcxxxc 1122d)1(xxcx 11121112d)1()1(2)1()1(2xxcxxc 1d)(xxxf2()dx f xxVar X11 Var,2(1)2(1)XVar X于是1 Var.23X故27).1,min(,)1(1)(2XExxfX求求的概率密度的概率密度设随机变量设随机变量 解解)1,min(XE xxfxd)()1,min(11d)(d)(xxxxfxxfx 12112d111d11xxxxxx 12102d112d12xxxx
13、x.212ln1 例例628解解 (,)1sin(),0,0,(,)2220,cos(),Var.X Yxyxyf x yZXYE ZZ设二维连续型随机变量的联合密度函数为其他且求和 cos()(,)d dE Zxy f x yx y yxyxyxdd)sin()cos(212020 20d)2cos(2cos21xxx,0 例例7292()Var ZE Zyxyxyxdd)sin()(cos2120202 2033d2coscos61xxx.92 30解解.),(,0,20,10),21(76),(),(2数数的协方差矩阵及相关系的协方差矩阵及相关系求求其他其他函数为函数为的联合密度的联合密
14、度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量YXyxxyxyxfYX (,)d dE Xxf x yx y xyxyxxdd)21(7610202 xxxd767121023 ,75 例例831122220061()d d72E Xxxxyx y,7039 239523 Var,707490X故1220061()d d72E Yy xxyy x 因为,78 122220061()d d72E Yyxxyy x,2134 234846 Var,217147Y故321220061()d d72E XYxy xxyy x,2117 Cov(,)X YE XYE X E Y故,147178752117
15、),(的协方差矩阵为的协方差矩阵为于是于是YX.147461471147149023 的相关系数的相关系数与与YXCov(,)(,)X Yr X YVar XVar Y.6915 33例9 证明题1(),2(1)0,2(2)(3).xXf xexE XVar XXXXX 设随机变量 的概率密度为证明证明与不相互独立证明与不相关1()（）E Xxf x dx 证证12xxedx 0 3422()2Var XE XE X故故2 20 xx e dx 22E Xx f x dx 212xx edx2002xxx exe dx0022xxxeedx 02xxedx 3520(,)()()()XXxP
16、Xx XxP XxP Xx P Xx证明（）与不相互独立，因为任给奇函数奇函数随机变量函数随机变量函数 的数学期望的数学期望3()E X X 0(,)Cov X XE X XE X E X0(,)(,)Cov X Yr X YVar XVar Y 102|xx xedx 3637110(0,)2.(0,1)XYNEXYVarXYXYN例设 与 相互独立，且都服从分布，试求：和提示：先证明服从分布）xx-22-022EX-Y EX-EY 0VarX-Y VarX VarY 1X-YN(0,1)122EX-Yxe dxxe dxp2p2p证：x222x220221EXY xe dx22x e dx
17、122VarXY1 38222222ln22222(,),(0),1 21212lnexp222XxxxxaXNYaaE YVar YE Ya edxeedxxxadx 例11 已知求及解：39402222222()2ln2222222222222211lnlnln222()ln2()1ln2(ln)2211(ln)lnln22(ln),xxataaaxexaxxaxa xxaaaxatE Yeedta e +-考 虑 被 积 函 数的 指 数可 以 化 为:令代 入 到 积 分 式12222222222222222ln1214lnexp222exp 2 ln2lnxxaE Ya edxxxadxaaa e222222222222ln2ln2lnln (1)aaaaVar YE YE Ya ea ea ee 4142434445
