1、第5章存在和唯一性定理 第第5章存在和唯一性定理章存在和唯一性定理5.1 皮卡存在和唯一性定理皮卡存在和唯一性定理 5.2 佩亚诺存在定理佩亚诺存在定理 5.3 解的延伸解的延伸 5.4 比较定理及其应用比较定理及其应用 第5章存在和唯一性定理 5.1皮卡存在和唯一性定理皮卡存在和唯一性定理本节将利用皮卡的逐次迭代法，来证明微分方程初值问题解的存在和唯一性定理.为此，我们首先介绍一个条件.设函数f(x,y)在区域D内满足不等式:2121),(),(yyLyxfyxf其中常数L0,则称函数f(x,y)在区域D内对y满足李卜西兹条件（或简称李氏条件）.第5章存在和唯一性定理 易知，若函数f(x,y
2、)在凸形区域D内对y有连续的偏微商（这正是柯西当年建立微分方程初值问题解的存在和唯一性定理时所假设的一个条件），则f(x,y)在区域D内对y满足李氏条件；反之，结论不一定正确.例如，f(x,y)=|y|（对y）满足李氏条件，但当y=0时它对y没有微商.第5章存在和唯一性定理 定理定理5.1设初值问题:00d(,),(),dyf x yy xyx其中f(x,y)在矩形区域 byyaxxR00,:内连续，而且对y满足李氏条件.则初值问题式(5.1)在区间I=x0-h,x0+h上有且只有一个解，其中常数).,(max,min),(yxfMMbahRyx第5章存在和唯一性定理 注注5.1从定理5.1看
3、出，解的存在区间I与三个正数a、b、M的相对大小有关：当M相对于b（以及a）较小时，“解”的导数的绝对值较小，从而积分曲线从(x0,y0)向左右延伸的走向较平缓，它有可能在R内达到左右边界（即h=a）;反之，当M相对于b（以及a）较大时，积分曲线从(x0,y0)向左右延伸的走向较陡峭，有可能在R内首先达到上下边界（即h0是r0的连续函数，而且瑕积分 10d()rrF r（r10为常数）则称f(x,y)在G内对y满足Osgood条件.注意，李氏条件是Osgood条件的特例，这是因为F(r)=Lr满足上述要求.现在，我们把最先由美国数学家Osgood证明的有关解的一个唯一性定理叙述如下.第5章存在
4、和唯一性定理 定理定理5.2设f(x,y)在区域G内对y满足Osgood条件，则微分方程(5.10)在G内经过每一点的解都是唯一的.证明证明假设在G内可以找到一点(x0,y0)使得方程(5.10)有两个解y=y1(x)和y=y2(x)都经过(x0,y0)，而且至少存在一个值x1x0，使得y1(x1)y2(x1).不妨设x1x0，且y1(x1)y2(x1).令 0)()(def)(21xyxyxr)()(:sup21,10 xyxyxxxxx显然有 10 xxx，而且)(1xxx第5章存在和唯一性定理 和0)(xr.因此，我们有)(,()(,()()()(2121xyxfxyxfxyxyxr)(
5、)()(21xrFxyxyF亦即1d()()()r xdxxxxF r x从x到1x积分上式，得到 110d()rrxxF r其中0)(11xrr.但这不等式的左端是，而右端是一个有限的数.因此，这是一个矛盾，它证明了定理 5.2.第5章存在和唯一性定理 例例5.1设初值问题:d(,),(0)0dyF x yyx(5.11)其中函数.,10,2;0,10,42;0,10,2;,0,0),(22yxxxxyxxyxyxxyxyxF当当当当容易验证，函数F(x,y)在条形区域 yxS,10:内是连续的，可是对y不满足李氏条件.第5章存在和唯一性定理 对于上述初值问题式(5.11)，我们有皮卡序列1
6、00()(,()d()0)xnnyxF x yxxy x),2,1,0;10;0)(0nxxy而且容易推出),2,1;10()1()(21nxxxynn由此可见，初值问题式(5.11)的皮卡序列是不收敛的.另外，可以验证)10(312xxy是初值问题式(5.11)的解；第5章存在和唯一性定理 5.2佩亚诺存在定理佩亚诺存在定理 1.欧拉折线欧拉折线早在18世纪，欧拉就依据微分方程的几何解释，提出用简单的折线来近似地描绘所要寻求的积分曲线，后人称这种方法为欧拉折线法.它是微分方程近似计算方法的开端.设微分方程：d(,)dyf x yx(5.12)和相关的初值问题:00d(,),()dyf x y
7、y xyx(5.13)第5章存在和唯一性定理 其中f(x,y)是在矩形区域byyaxxR00,:内给定的连续函数.令正数M为|f(x,y)|在R上的一个上界,则微分方程(5.12)在R内各点P的线素l(P)的斜率介于-M和M之间.由此不难推出：若y=y(x)是初值问题式(5.13)的一个解，则它满足不等式:00)(xxMyxy因此，为了保证初值问题式(5.13)的积分曲线y=y(x)在矩形R内，我们只需作下面的限制：bxxM0第5章存在和唯一性定理 亦即Mbxx0因此，只要令 Mbah,min则在区间|x-x0|h上初值问题式（5.13)的积分曲线:y=y(x)停留在R内.事实上，它停留在R内
8、的一个角形区)(:000hxxxxMyyh之中（见图5.1）.第5章存在和唯一性定理 图5.1 第5章存在和唯一性定理 现在，把区间|x-x0|h分成2n等份,则每等份的长度为hn=h/n，而2n+1个分点为),1,0(0nkkhxxnk注意，nx和nx为区间,00hxhx的两个端点.第5章存在和唯一性定理 其次，从初值点),(000yxP出发先向右作折线如下：延长在0P的线素)(0Pl，使它与垂线1xx 交于点),(111yxP.则由线素的定义可知).)(,(010001xxyxfyy取直线段,10PP作为折线的第一段，易知它停留在角形区h内；再在1P点延长线素)(1Pl，使它与垂线2xx
9、交于点).,(222yxP则有).)(,(121112xxyxfyy第5章存在和唯一性定理 取直线段,21PP作为折线的第二段，易知它停留在角形区h内；如此类推，我们在0P点的右侧作出一条折线 hnPPPP,210它的节点依次为nPPPP,210.用相同的方法，再从0P点出发可以向左作出一条折线 hnPPPP,012然后，在h内得到一条连续的折线,101nkknnPPPPPPP第5章存在和唯一性定理 其中节点Pk的坐标为(xk,yk),且);)(,(1111kkkkkkxxyxfyy而P-k的坐标为(x-k,y-k),且),2,1()(,(1111nkxxyxfyykkkkkk称n为初值问题式
10、(5.13)的欧拉折线.令欧拉折线n的表达式为)()(0hxxxyn(5.14)当x0 xx0+h时，有整数s，使得)10(1nsxxxss第5章存在和唯一性定理 由此不难推出欧拉折线的计算公式：).)(,()(),()(1100ssskkskkknxxyxfxxyxfyx(5.15)同理，当x0-hx0，使得不等式)()(IxKxfn对一切n=1,2,都成立，则称函数序列(5.17)在区间I上是一致有界的.如果对任意的正数，存在正数=()，只要x1、x2I和|x1-x2|，有),2,1()()(21nxfxfnn就称函数序列(5.17)在区间I上是等度连续的.第5章存在和唯一性定理 例如，函
11、数序列).,2,1()1()(nxxfnnn(5.18)在区间21x上是一致有界和等度连续的；在区间1x上是一致有界但不是等度连续的；而在区间2x上既不是一致有界又不是等度连续的.第5章存在和唯一性定理 Ascoli引理引理设函数序列(5.17)在有界闭区间I上是一致有界和等度连续的，则可以选取它的一个子序列,),(,),(),(21xfxfxfknnn使它在区间I上是一致收敛的.第5章存在和唯一性定理 3.佩亚诺存在定理佩亚诺存在定理我们先证明两个引理.引理引理5.1欧拉序列(5.14)在区间|x-x0|h上至少有一个一致收敛的子序列.证明证明在前面我们已经指出，所有欧拉折线n都停留在矩形区
12、域R内,即),2,1;()(00nhxxbyxn也就是说，欧拉序列(5.14)是一致有界的.第5章存在和唯一性定理 其次，注意折线n的各个直线段的斜率介于-M和M之间，其中M为|f(x,y)|在R内的一个上界.因此，容易证明折线n的任何割线的斜率也介于-M和M之间,亦即),2,1()()(ntsMtsnn其中s和t是区间x0-h,x0+h内的任意两点.由此可见，序列(5.14)也是等度连续的.第5章存在和唯一性定理 引理引理5.2欧拉折线y=n(x)在区间|x-x0|h上满足关系式:00()(,()d()xnnnxxyf xxxx(5.19)其中函数n(x)趋于零，即)(0)(lim0hxxx
13、nn(5.20)证明证明我们只考虑右侧的情形：x0 xx0+h.对于左侧的情形可作类似的讨论.利用恒等式 11(,)()(,)diixiiiiiixf x yxxf x yx就可得到11(,)()(,()d()iixiiiinnxf x yxxf xxxd i第5章存在和唯一性定理 其中1()(,)(,()d(0,1,1)iixniinxd if x yf xxxis同样,对于xsN,就有)()(,(),(1iiniixxxhxxfyxf这样以来，只要nN,就有 11()(,)(,()diiiixxniinxxd if x yf xxxdxhn同样，由于xsN,就有 ndn由此推出,只要nN,
14、就有nnsxn)(这就证明了式(5.20)成立，从而引理5.2得证.第5章存在和唯一性定理 定理定理5.3设函数f(x,y)在矩形区域R内连续，则初值问题:00d(,),()dyf x yy xyx在区间|x-x0|h上至少有一个解y=y(x)，这里矩形区域R和正数h的定义同定理5.1.证明利用引理5.1，我们可以选取欧拉折线序列(5.14)的一个子序列,),(,),(),(21xxxknnn使它在区间|x-x0|h上一致收敛,则极限函数)(lim)(xxknk第5章存在和唯一性定理 在区间|x-x0|h上是连续的.再利用引理5.2，由式(5.19)可知 00()(,()d()kkkxnnnx
15、xyf xxxx000()(,()d().xxxyf xxxxxh令k，则由nk(x)的一致收敛性和式(5.20)，以及f(x,y)的连续性，我们推出 这就证明了y=(x)在区间|x-x0|h上是初值问题式(5.13)的一个解,从而定理5.3得证.第5章存在和唯一性定理 注注5.2由上述佩亚诺定理的证明可知，初值问题式（5.13）的欧拉序列的任何一致收敛子序列都趋于初值问题式（5.13）的某个解.因此，如果初值问题式（5.13）的解是唯一的，那么它的欧拉序列就一致收敛到那个唯一的解.另外，我们从例5.1(Mller之例)看到，对于初值问题式（5.13）的皮卡序列就不具有欧拉序列的上述性质.从这
16、个意义上讲，欧拉序列似乎比皮卡序列合理.第5章存在和唯一性定理 注注5.3佩亚诺定理在相当广泛的条件（即只要求函数f(x,y)的连续性）下保证了初值问题解的存在性，而不保证唯一性.1925年前苏联数学家拉甫仑捷夫曾在矩形区域R内构造了一个连续函数F(x,y)，使得对应的微分方程 d(,)dyF x yx在R内经过每一点至少有两条不同的积分曲线.人们称这种复杂的现象为拉甫仑捷夫现象.如果微分方程在区域G内每一点都满足解的存在和唯一性条件，那么积分曲线族在局部范围内的结构是非常简单的：局部等价于一族平行直线.这一点在几何上很容易想象，而严格的分析证明在以后给出.第5章存在和唯一性定理 注注5.4一
17、般说来，如果不要求f(x,y)的连续性，则初值问题式(5.13)可能是无解的.例如，设函数.0,0);,2,1(111,)1(;1,1),(*yxnnyxnyxyxfn当当当则用反证法易证初值问题:d(,),(0)0dyfx yyx（5.21）没有（连续的）解.第5章存在和唯一性定理 5.3解解 的的 延延 伸伸在前面几节中我们只满足于在局部范围内讨论初值问题解的存在性，本节将把这种讨论扩大到整体.设微分方程 d(,),dyf x yx(5.22)其中函数f(x,y)在区域G内连续.因此，我们可以利用5.2节的佩亚诺存在定理推出：对于区域G内任何一点P0(x0,y0)，微分方程(5.22)至少
18、有一个解y=(x)满足初值条件:00)(yxy(5.23)第5章存在和唯一性定理 其中y=(x)的存在区间为|x-x0|h，而正数h与初值点P0的邻域R有关.因此，我们只知道上面的解在局部范围内是存在的.现在，我们要讨论该解在大范围内的存在性.主要的结果为解的延伸定理.第5章存在和唯一性定理 定理定理5.4设P0为区域G内任一点，并设为微分方程(5.22)经过P0点的任一条积分曲线,则积分曲线将在区域G内延伸到边界(换句话说，对于任何有界闭区域 ，积分曲线将延伸到G1之外).证明证明设微分方程(5.22)经过P0的解有如下表达式：)(101GGPG)()(:Jxxy其中,J表示的最大存在区间.
19、先讨论积分曲线在P0点右侧的延伸情况.令J+为在P0点右侧的最大存在区间，即J+=Jx0,).如果J+=x0,)，那么积分曲线在G内就延伸到无限远，从而延伸到区域G的边界.否则，我们就有下面两种可能：第5章存在和唯一性定理 (1)J是有限闭区间.令,10 xxJ，其中常数01xx.注意，当 Jx时，积 分 曲 线停 留 在 区 域G内.令)(11xy，则Gyx),(11.因为区域G是一个开集，所以存在矩形区域 11111,:byyaxxR使得GR 1.在矩形区域1R内我们可以利用定理 5.3 推出，微分方程(5.22)至少有一个解)()(111hxxxy第5章存在和唯一性定理 满足初值条件1(
20、x1)=y1，其中h1是某个正数.然后，令.,)(;,)()(111110hxxxxxxxxxy当当则)(xyy 是连续可微的，而且它在区间,110hxx上满足微分方程(5.22).因此，它是积分曲线在区间,110hxx上的表达式.由于已设积分曲线的最大右侧存在区间为,10 xxJ，所以J必需包含区间,110hxx.这是一个矛盾.因此，J不可能是有限闭区间.第5章存在和唯一性定理(2)J+是有限半开区间.令J+=x0,x1)，其中常数x1x0.注意，当xJ+时，积分曲线停留在区域G内，即 JxGxx,)(,(我们要证：对于任何有限闭区域 ，不可能使 GG 1JxGxx,)(,(1成立.否则，设
21、G1是G内一个有限闭区域，使得式(5.24)成立.则有(x0)=y0和)(,)(xxfx)(Jx(5.25)第5章存在和唯一性定理 它等价于 0001()(,()d()xxxyf xxxxxx(5.26)因为f(x,y)在G1上是连续的，而且G1是一个有限的闭区域，所以|f(x,y)|在G1上有上界K,且K0.因此，由式(5.24)和式(5.26)可见，在J+上|(x)|有上界K,从而由拉格朗日中值公式推出不等式 JxxxxKxx212121,)()(由此不难证明：当xx1时，(x)的极限存在.然后，令)(lim11xyxx(5.27)第5章存在和唯一性定理 再定义函数 显然，)(xy是连续的
22、.由(5.26)和(5.27)可见，)(xy在区间10 xxx上满足.,;,)()(1110 xxyxxxxx当当00()(,()d.xxxyf xxx它蕴含)(xy在区间,10 xx上是微分方程(5.22)的一个解，而且满足初值条件(5.23).这就是说，上面的积分曲线可延伸到区间,10 xx上.这与的最大存在区间为),10 xx是矛盾的.因此，对任何有限闭区域GG 1，关系式(5.24)是不可能成立的.第5章存在和唯一性定理 总结上面的讨论可知，积分曲线在P0点的右侧将延伸到区域G的边界.同样可证，积分曲线在P0点的左侧也将延伸到区域G的边界.因此，定理5.4得证.由定理5.1和定理5.4
23、可以得出下面的推论.第5章存在和唯一性定理 推论推论5.1设函数f(x,y)在区域G内连续，而且对y满足局部的李氏条件（即对区域G内任一点q，存在以点q为中心的一个矩形区域 ，使得在Q内f(x,y)对y满足李氏条件（注意，相应的李氏常数L与矩形区域Q有关），则微分方程(5.22)经过G内任一点P0存在唯一的积分曲线，并且在G内延伸到边界.GG 1第5章存在和唯一性定理 注注5.5由有限覆盖定理容易推出：如果G是有界闭区域，则f(x,y)在G上满足局部李氏条件等价于它在G上满足整体李氏条件.但当G是开区域时，G上的局部李氏条件则弱于G上的整体李氏条件.对于任意区域G，如果f(x,y)在G上对y有
24、连续的偏导数，则f对y满足局部李氏条件.第5章存在和唯一性定理 例例5.2试证微分方程 22ddyxyx(5.28)任一解的存在区间都是有界的.证明证明 事实上，由于22yx 在整个),(yx平面上连续，并且对y有连续的偏导数，所以利用上面的推论可知，这微分方程经过平面上任何一点0P的积分曲线是唯一存在的，并将延伸到无限远.但我们还不能说，积分曲线的最大存在区间是无界的.其实，我们要证明它的存在区间是有界的.设)(xyy 是微分方程(5.28)满足初值条件00)(yxy的解.令),00 xJ为它的右侧最大存在区间，其中00 x.当00时，J显然是一个有限区间.当00时，则存在正数1x，使得 J
25、x),01.因此，上面的解)(xyy 在区间),01x内满足(5.28),亦即 第5章存在和唯一性定理).0()()(0122xxxyxxy由此推出)()()(01221xxxyxxy或)(1)()(01221xxxyxxy然后，从x1到x积分此不等式，即得 0)(arctan)(arctan111111xxxxyxxyx它蕴含)(00111xxxxx由此推出0是一个有限数，亦即J+是一有限区间.第5章存在和唯一性定理 同样可证，解y=y(x)的左侧最大存在区间J-=(0,x0也是一个有限区间.因此，该解y=y(x)的最大存在区间是有限区间(0,0)，它与解的初值(x0,y0)有关.第5章存在
26、和唯一性定理 例例5.3在平面上任取一点P0(x0,y0)，试证初值问题 200d(),()dxyyxy ey xyx（5.29）的右行解（即从P0点出发向右延伸的解）都在区间x0 x上存在.证明证明事实上，首先由上面的推论可知，对于平面上任意一个包含P0点的区域G，初值问题式（5.29）的解都存在且唯一，并可延伸到G的边界.第5章存在和唯一性定理 其次，容易看出，直线L:y=x是微分方程所对应的线素场的水平等斜线，并且线素的斜率在L上方为负，而在L下方为正.换句话说，积分曲线在L上方是单调下降的，而在L下方是单调上升的.现在假设P0点位于L的上方（即x0y0），则利用初值问题式（5.29）的
27、（右行）解在条形域 yyxxS,:00上的延伸定理和积分曲线在L上方的单调下降性，易知必与L相交（参见图5.2）.第5章存在和唯一性定理 图5.2 第5章存在和唯一性定理 再假设P0L或P0在L下方（即x0y0），则在区域 yxxG,:0上应用（右行）解的延伸定理，得出初值问题式（5.29）的解可延伸到G的边界.另一方面，在L下方，积分曲线是单调上升的，并且它在向右延伸时不可能从水平等斜线L的下方穿越到上方.因此，它必可向右延伸直至跨越区间x0 x.第5章存在和唯一性定理 一般而言，微分方程解的最大存在区间因解而异，对不同的解需要在不同的区间上进行讨论.因此，当我们并不知道解的最大存在区间时，
28、就无从下手.在特定的条件下，下面的定理对解的最大存在区间作出了先验的断言.第5章存在和唯一性定理 定理定理5.5设微分方程 d(,)dyf x yx(5.22)其中函数f(x,y)在条形区域 S:x,-y 内连续，而且满足不等式：)()(),(xByxAyxf(5.30)其中A(x)0和B(x)0在区间x上是连续的,则微分方程(5.22)的每一解都以区间x为最大存在区间.第5章存在和唯一性定理 证明证明设微分方程(5.22)满足初值条件 Syxyxy),(,)(0000的一个解为:y=y(x),即要证的最大存在区间为x.先证它的右侧最大存在区间为x0,).假设它的右侧最大存在区间为x0,0)，
29、其中0是一常数(x00).我们在0的两侧分别取常数x1和x2，使得 01122010,xxxxxxx因此，在有限闭区间x0,x2上函数A(x)和B(x)是连续有界的；令A0和B0分别是它们正的上界.再利用式(5.30)，我们得到),(),(2000yxxxByAyxf(5.31)第5章存在和唯一性定理 而且不妨设正数 012141defAxxa因为y=y(x)在x0,0)上存在，所以我们有.),(,)(1111Syxyxy现在，以(x1,y1)点为中心作一矩形区域 11111,:byyaxxR其中正数b1是充分大的.显然，R1是条形区S内的一个有限闭区域.由式(5.30)容易推出，不等式101
30、10),(,)(),(RyxBbyAyxf(5.32)第5章存在和唯一性定理 成立.令 111101101,min,1)(MbahBbyAM并以(x1,y1)点为中心作矩形区域 11111,:byyhxxR则11RR.我们在1R内可以应用定理 5.4 推出，微分方程(5.22)过),(11yx的解必可向右延伸到1R的边界.另一方面，从(5.32)可知，解在1R内必停留在角形区域 11111,hxxxxMyy因此，解可向右延伸直至跨越区间x0,x1+h1).由于,4101Aa 0111lim1AMbb第5章存在和唯一性定理 因此只要取充分大的正数b1，就有 1211xxah由此推出，在区间x0
31、xx2存在.但是，区间x0,x2)严格大于的右侧最大存在区间 x0,0).这与假设矛盾，因此证明了的右侧最大存在区间必定是x0,).同样可证的左侧最大存在区间必定是(,x0.因此，的最大存在区间是(,).第5章存在和唯一性定理 例例5.4考虑R1上的微分方程 xx 它满足条件x(t0)=x0的解是 00t txx e-=于是解存在的最大开区间是(-,).第5章存在和唯一性定理 例例5.5考虑R1上的微分方程 21xx它满足条件x(0)=0的解是 tanxt=显然这个初值问题的解存在的最大开区间就是(,)22pp-+，是一个有限区间，虽然方程右端函数对一切t有定义.第5章存在和唯一性定理 5.4
32、比较定理及其应用比较定理及其应用为了对微分方程的解的存在区间作出估计，仅应用延伸定理是不够的，有时需要分析有关线素场的几何特征.下面的几个定理为这种分析提供了理论依据.定理定理5.6(第一比较定理）第一比较定理）设函数f(x,y)与F(x,y)都在平面区域G内连续且满足不等式：GyxyxFyxf),(),(),(5.33)又设函数y=(x)与y=(x)在区间axb上分别是初值问题 00d(,),()dyf x yy xyx（5.34）第5章存在和唯一性定理 与00d(,),()dyF x yy xyx（5.35）的解，其中(x0,y0)G，则有.),()(;),()(00 xxaxxbxxxx
33、当当(5.36)证明证明在区间ax0，使得,0)(x)(00 xxx(5.37)如果式(5.36)中的第一式不成立，则至少存在一个x1(x0)，使得(x1)=0.再令 bxxxx0,0)(|min利用式(5.37)，可推出),(0)(,0)(0 xxx第5章存在和唯一性定理 它蕴含 0)(但是另一方面，由于()=0，则有 所以再利用式(5.33)，可推出)()(def0),(),()()()(fF与()0矛盾，故证明了式(5.36)中的第一式成立.同理可证式(5.36)中的第二式也成立.第5章存在和唯一性定理 注注5.6定理5.6的几何意义是明显的：斜率小的曲线向右不可能从斜率大的曲线的下方穿
34、越到上方.应该注意的是，两个线素场只有在同一点，才能比较它们斜率的大小.现在考虑初值问题:00d(,),()dyf x yy xyx(5.38)其中函数f(x,y)在矩形区域 byyaxxR00,:上连续，并且令.,min,),(max),(MbahyxfMRyx第5章存在和唯一性定理 如果在区间|x-x0|h上初值问题式(5.38)有两个解y=Z(x)和y=W(x)，使得初值问题式(5.38)的任何解y=y(x)都满足不等式：)(),()()(0hxxxZxyxW则称y=W(x)和y=Z(x)分别为初值问题式(5.38)的最小解和最大解.由这个定义容易看出，最大解和最小解都是唯一的.下面的定
35、理肯定了最大解和最小解的存在性，并为第二比较定理的证明作了必要的准备.第5章存在和唯一性定理 定理定理5.7存在正数0(m=1,2,)，并且当m时，m单调下降且趋于0.由佩亚诺存在定理，存在hm0(当m时,hmh)，使得初值问题式(5.39)在区间|x-x0|hm上有解y=m(x)，即函数m(x)满足方程:00()(,()dxmmmxxyf xxx(5.40)第5章存在和唯一性定理 因为hmh(m)，所以可取到正数h，使得初值问题式(5.38)和(5.39)的解都在区间I:|x-x0|上存在.注意到),2,1;()(0mIxbyxm和由(5.40)所得的估计式 2112112()()(,()d
36、()xmmmmxxxf xxxMxx(xI;m=1,2,)所以m(x)在I上为一致有界与等度连续.利用Ascoli引理可知，m(x)在区间I上有一致收敛的子序列.这里不妨设m(x)本身在I上一致收敛.令)(lim)(xxmm第5章存在和唯一性定理 最后，我们来证明y=(x)是初值问题式(5.38)在I上的右行最大解和左行最小解.事实上，设y=y(x)是初值问题式(5.38)的任一解，则对初值问题式(5.38)和(5.39)应用第一比较定理可得.),()(,),()(0000 xxxxxyxxxxxymm当当在上面两式中令m，取极限就推出：y=(x)是右行最大解和左行最小解.在初值问题式(5.3
37、9)中以-m代换m，同样可证在区间I上初值问题式(5.38)有左行最大解和右行最小解.由于初值问题式(5.38)的所有解在(x0,y0)点均相切，因此初值问题式(5.38)的左行最大（小）解和右行最小（大）解就可拼接为整个区间上的最大（小）解.第5章存在和唯一性定理 注注5.7类似于解的延伸定理，我们可以把初值问题式(5.38)的最大解和最小解从局部延伸到区域G的边界.此外，容易知道：初值问题式(5.38)的解是唯一的，当且仅当它的最小解和最大解是恒同的.定理定理5.8(第二比较定理第二比较定理)设函数f(x,y)与F(x,y)都在平面区域G内连续且满足;),(),(),(GyxyxFyxf又
38、设函数y=(x)与y=(x)在区间axb上分别是初值问题 00d(,),()dyf x yy xyx(5.34)第5章存在和唯一性定理 与00d(,),()dyF x yy xyx(5.35)的解),(00Gyx，并且)(xy是(5.34)的右行最小解和左行最大解（或者：)(xy是(5.35)的右行最大解和左行最小解），则有如下比较关系：;),()(0bxxxx当.),()(0 xxaxx当证明证明此定理容易从定理5.6和定理5.7推出.第5章存在和唯一性定理 例例5.6讨论微分方程 dsin()dyxyx(5.41)的解的延伸趋向.解解易见y=0是微分方程(5.41)的零解.而且由定理5.1
39、和定理5.5推出，该方程过任何一点的解y=y(x)都是唯一的，并在无穷区间-x0，则由解的唯一性可知y=y(x)0(0 x x 时，必须在H的下方，亦即 由该不等式可直接推出式(5.42).其次，要证：与L相交.为此，考虑双曲线族).,2,1()0,0(:kyxkxyHk及其界定的区域).,2,1()0,0()1(:kyxkxykGk第5章存在和唯一性定理 则由方程(5.41)可知，积分曲线的斜率y(x)满足不等式：.)(,(,0)(1;)(,(,1)(0212nnGxyxxyGxyxxy当当),2,1(n现在，从点P0(0,y0)出发向右作一连续的折线:y=u(x)(x0)，使得它的节点Pk
40、分别在双曲线Hk上，而各直线段的斜率满足条件：.)(,(,0;)(,(,1)(212nnGxuxGxuxxu当当由此由第一比较定理得出，从P0点出发的积分曲线:y=y(x)(x0)一定在折线的下方（参见图5.3）.第5章存在和唯一性定理 图5.3 第5章存在和唯一性定理 考虑折线的节点Pk(xk,yk).注意，xkyk=k.现任取三个相邻的节点Pn、Pn+1和Pn+2，其中n为奇数.则有.,)1(,)2(1122nnnnnnynxynxynx而且yn+1=yn,yn+2yn.因此，我们推出.,121nnnnnnyxxyxx从而.112nnnnxxxx再利用 12122nnnnnnxxyyyy第
41、5章存在和唯一性定理 可推出.21)(2)()(12121121222nnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxyy也就是说，直线段Pn,Pn+2的斜率小于1/2，其中n为奇数.因此，如果从P1点出发作一直线)(21:111xxyyL则折线将在L1的下方.所以积分曲线也在L1的下方.因为P0点在L的上方而在L1的下方，而且当x增大时直线L1将从L的上方进入下方，所以积分曲线也从L的上方进入下方.这就证明了和L的相交性.第5章存在和唯一性定理 例例5.7设初值问题 22d(1),(0)0dyxyyx(5.44)的解在右侧的最大存在区间为0,)，试证：.14证明证明由推论5.1可知，初值
42、问题式(5.44)的解存在且唯一，并可延伸到包含坐标原点的任意区域的边界.下面我们仅给出证明的梗概，而把细节留给读者完成.第5章存在和唯一性定理(1)先证：.14当|x|1时，显然有 2222)1(1)1()1(yyxy因此，我们可以应用比较定理，把初值问题式(5.44)的解与如下两个可积的初值问题：2d(1),(0)0dyyyx(5.45)和2d1(1),(0)0dyyyx(5.46)的解分别比较，从而得到.14第5章存在和唯一性定理(2)再证：1.在初值问题式(5.44)的积分曲线上取一点(,)，其中01，则初值问题 2d(1),()dyyyx(5.47)是可积的，容易算出它的解的右侧最大存在区间为0 xC()，其中.11)(C由于2222d1d(1)110d(1)d(1)C 第5章存在和唯一性定理(3)最后证：取正数，使01-1，则初值问题 的解在右侧的最大存在区间为)(0Cx.计算表明，4)1(C而且.422d(1),(0)0dyyyx(5.48)1d()|0dC因此当110时4)(C.最后，再对(5.44)和(5.48)应用比较定理可得.4
