1、栏目索引高考导航第第9 9讲空间几何体的三视图、表面积讲空间几何体的三视图、表面积与体积与体积栏目索引高考导航考情分析栏目索引高考导航总纲目录总纲目录考点一 空间几何体的三视图考点二 空间几何体的表面积与体积考点三 多面体与球的切、接问题栏目索引高考导航考点聚焦考点一空间几何体的三视图一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.栏目索引高考导航考点聚焦1.图1所示的是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图,其中DD1
2、=1,AB=BC=AA1=2.若此几何体的俯视图如图2所示,则可以作为其正视图的是()栏目索引高考导航考点聚焦答案答案 C由直观图和俯视图知,正视图中点D1的射影是B1,所以正视图是选项C中的图形.A中少了虚线,故不正确.栏目索引高考导航考点聚焦2.(2018课标全国,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()栏目索引高考导航考点聚焦答案答案 A本题考查空间几何体的三视图.两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的
3、木构件,易知俯视图可以为A.故选A.栏目索引高考导航考点聚焦3.(2018北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4栏目索引高考导航考点聚焦答案答案 C本题考查空间几何体的三视图和直观图,空间线、面的位置关系.由三视图得四棱锥的直观图如图所示.其中SD底面ABCD,ABAD,ABCD,SD=AD=CD=2,AB=1.由SD底面ABCD,AD,DC,AB底面ABCD,得SDAD,SDDC,SD栏目索引高考导航考点聚焦AB.SDC,SDA为直角三角形.又ABAD,ABSD,AD,SD平面SAD,ADSD=D,AB平面SAD.又
4、SA平面SAD,ABSA,即SAB也是直角三角形,从而SB=3.又BC=,SC=2,BC2+SC2SB2.SBC不是直角三角形.故选C.222SDADAB222152栏目索引高考导航考点聚焦 三视图还原为直观图的原则是“长对正、高平齐、宽相等”,另外,在将三视图还原为直观图时,借助于正方体或长方体能使问题变得具体、直观、简单.方法技巧方法技巧栏目索引高考导航考点聚焦方法归纳方法归纳由三视图还原直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱的位置.(3)确定几何体的直观图形状.栏目索引高考导航考点聚焦考点二
5、空间几何体的表面积与体积1.柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧=ch(c为底面周长,h为高);(2)S锥侧=ch(c为底面周长,h为斜高);(3)S台侧=(c+c)h(c,c分别为上、下底面的周长,h为斜高).1212栏目索引高考导航考点聚焦2.柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);(2)V锥体=Sh(S为底面面积,h为高);(3)V台=(S+S)h(S,S分别为上、下底面面积,h为高)(不要求记忆).1313SS3.球的表面积和体积公式(1)S球表=4R2(R为球的半径);(2)V球=R3(R为球的半径).43栏目索引高考导航考点聚焦命题角度一空间几何体
6、的表面积命题角度一空间几何体的表面积例例1(1)(2017课标全国,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10 B.12 C.14 D.16栏目索引高考导航考点聚焦(2)(2018课标全国,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为 .7815栏目索引高考导航考点聚焦答案答案(1)B(2)402解析解析由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体由上方的三棱锥A
7、-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1构成,其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,则梯形的面积之和为2=12.故选B.(2)因为母线SA与圆锥底面所成的角为45,所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形.设底面圆的半径为r,则母线长l=r.在SAB中,cosASB=,所以sinASB=.因为SAB的面积为5,即(24)2227815815栏目索引高考导航考点聚焦SASBsinASB=rr=5,所以r2=40.故圆锥的侧面积为rl=r2=40.1212221581522栏目索引高考导航考点聚焦疑难突破疑难突破 利用底面半径与母线的关系,以及SAB的面积值求出底面半径是解题的突破口.栏目索引高考导
8、航考点聚焦例例2(1)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3 B.C.1 D.(2)(2018福建福州质检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()33232命题角度二空间几何体的体积命题角度二空间几何体的体积A.+6 B.+6 C.+6 D.+22333栏目索引高考导航考点聚焦答案答案(1)C(2)C解析解析(1)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,易知AD平面B1DC1.=AD=2=1.故选C.(2)由三视图可知,该几何体是由直四棱柱与半圆锥组成,因为V直四11A
9、 B DCV1311B DCS131233栏目索引高考导航考点聚焦棱柱=(1+2)22=6,V半圆锥=,所以该几何体的体积为V=V直四棱柱+V半圆锥=6+,故选C.12122112333栏目索引高考导航考点聚焦方法归纳方法归纳求解几何体的表面积及体积的技巧(1)三棱锥的体积:等体积转化是常用的方法.(2)求不规则几何体的体积:常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体.(3)求表面积:关键思想是空间问题平面化.栏目索引高考导航考点聚焦1.(2016课标全国,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17B
10、.18C.20D.28283栏目索引高考导航考点聚焦答案答案 A由三视图可知,该几何体是一个球被截去后剩下的部分.设球的半径为R,则该几何体的体积为R3,即=R3,解得R=2.故其表面积为422+322=17.选A.18784328378437814栏目索引高考导航考点聚焦2.(2018河南开封定位考)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为()A.4B.2C.D.43栏目索引高考导航考点聚焦答案答案 B由题意知,该几何体的直观图如图所示,该几何体为圆柱的一部分.设底面扇形的圆心角为,由tan=,得=.故底面面积为22=,该几何体的体积为3=2.31331232323栏目
11、索引高考导航考点聚焦3.(2018湖北八校联考)九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”,将底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.D.5 367 362 333 32栏目索引高考导航考点聚焦答案答案 A由三视图知,该几何体的左侧为“堑堵”,其底面是直角边长分别为,1的直角三角形,高为1;右侧为“阳马”,一条长为的侧棱垂直于底面,且底面是边长为1的正方形,如图所示,所以该几何体的体积V=11+11=.故选A.331231335 36栏目索引高考导航
12、考点聚焦考点三多面体与球的切、接问题与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.栏目索引高考导航考点聚焦例例 (2018课标全国,10,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12 B.18 C.24 D.54 33333栏目索引高考导航考点聚焦答案答案 B解析解析设ABC的边长为a,则SABC=aasin 60=9,解得a=6(负值舍去).ABC的外接圆半径r满足2r=,得r=2,球心到平面ABC的距离为=2.所以
13、点D到平面ABC的最大距离为2+4=6.所以三棱锥D-ABC体积的最大值为96=18.故选B.1236sin603224(2 3)1333栏目索引高考导航考点聚焦方法归纳方法归纳多面体与球接、切问题的求解策略涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内接、外切的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(或直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.栏目索引高考导航考点聚焦1.(2018福建福州质检)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面积为,一个侧面的周长为6,
14、则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为()A.4B.8C.16D.323 343栏目索引高考导航考点聚焦答案答案 C如图所示,设底面边长为a,则底面面积为a2=.所以a=.又一个侧面的周长为6,所以AA1=2.设E,D分别为上、下底面的中心,连接DE,设DE的中点为O,则点O即为正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心,连接OA1,A1E,则OE=,A1E=1.在RtOEA1中,OA1=2,即外接球的半径R=2.所以外接球的表面积S=4R2=16.故选C.343 34333333223221(3)栏目索引高考导航考点聚焦2.已知三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,BC=CD=1,AB=,则该三棱锥外接球的体积为 .2答案答案 43解析解析因为BC=1,CD=1,BCCD,所以BD=.又AB=,且AB平面BCD,所以AD=2,ABCD.所以CD平面ABC.所以CDAC.所以三棱锥A-BCD的外接球的球心为AD的中点,且半径为1.所以三棱锥A-BCD的外接球的体积为.2243
