1、2023-5-131大数定律及中心极限大数定律及中心极限定理定理1.1.大数定律大数定律(1)频率具有稳定性频率具有稳定性)(.(,21APpnXXXffAnnnn则发生的频率记为次独立试验中，2023-5-132(2)平均值具有稳定性平均值具有稳定性12,.(E()nnnnXXXXXXn次独立测量中，记算术平均为数学期望为则2023-5-133定义定义1：设：设Xn(n=1,2,)是一随机变量序列，若是一随机变量序列，若存在随机变量存在随机变量X，使得对任意的正数，使得对任意的正数，恒有，恒有0|limXXPnn则称随机变量序列则称随机变量序列Xn依概率收敛于随机变依概率收敛于随机变量量X记
2、作记作.)(limXXPXXPnnn或1|limXXPnn或解释解释:记记An=|Xn-X|,pn=P(An)1,当当n时时.特别地特别地,X为常数为常数a,则则0|limaXPnn2023-5-134一、切比雪夫大数定律一、切比雪夫大数定律:设设X1,X2,Xn,是由相互独立的是由相互独立的 r.v.所构成的序列所构成的序列,E(Xk)=k,并且它们的方差并且它们的方差有公共的上界有公共的上界.1.11lim ,0),1,2()D(11nkknkknknXnPkC X都有则对2023-5-1351111E(),nnkkkkXnn证 明：因 为由契比雪夫不等式可得由契比雪夫不等式可得1111n
3、nkkkkPXnn 1.11lim 11nkknkknnXnPn即得令221111D()nnkkkkCXnnn121D()1nkkXn21Cn2023-5-136.,0 lim 1 lim 0,pnnpnnPpnnPPAAnAn即或有对于 设设nA是是n次独立重复试验中次独立重复试验中A发生的次数发生的次数,p是事件是事件A在每次试验中发生的概率在每次试验中发生的概率,则则伯努利定理伯努利定理说明说明,事件事件A发生的频率发生的频率nA/n依概率依概率收敛到事件收敛到事件A发生的概率发生的概率p,这就以严格的数学这就以严格的数学形式表达了频率的稳定性形式表达了频率的稳定性,就是说就是说,当当n
4、很大时很大时,事件事件A发生的频率与概率有较大差别的可能性发生的频率与概率有较大差别的可能性很小很小,因而在实际中便可以用频率来代替概率因而在实际中便可以用频率来代替概率.二二.伯努利大数定理伯努利大数定理:2023-5-137证明：证明：(,),Anb n p因为则有12,AnnXXX12nXXX其中，相互独立，且都服从0 1p以 为参数的（）分布。E(),kXp因而()(1)(1,2,)kD Xppkn由切比雪夫大数定理有由切比雪夫大数定理有121lim|()|1nnPXXXpnlim|1AnnPpn即2023-5-138三三.辛钦大数定理辛钦大数定理:设设 r.v.X1,X2,Xn,相互
5、独立相互独立,服从同服从同一分布一分布,且具数学期望且具数学期望 1.1 lim 0,),2,1(,)(E1nkknkXnPkX有则对2023-5-1392.中心极限定理中心极限定理 一一.独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理:xFnnXXXXYkXXnnkknkknkknkknkk对于的分布函数则 )(D)(E r.v.2,1,0)(D,)(E11112 设设 r.v.Xk(k=1,2,)相互独立相互独立,服从同一分布服从同一分布(i.i.d.)且具有有限的数学期望和方差且具有有限的数学期望和方差:2023-5-13101lim()lim nkknnnXnF xPxn1r.v.(
6、0,1).nkLknXnYNn 即序列2-1exp()d 22 xtt2023-5-1311二二.李雅普诺夫（李雅普诺夫（Liapunov)定理定理12nXXX设随机变量，相互独立，它们具有数学期望和方差：E(),kkX2D()0,1,2,kkXk221.nnkkB记n 若存在正数，使得当时，2211E|0nkkknXBnkkX=1则随机变量之和的标准化变量：2023-5-1312111E()D()nnkkkknnkkXXZX11nnkkkknXB()nF xx的分布函数对于任意，满足11lim()lim nnkkkknnnnXF xPxB2/21ed()2xttx 2023-5-1313三三
7、.棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理:.de21)1(lim ,),()2,1(.2-2txpnpnpXPxpnbnXvrtxnnn恒有对于服从二项分布设 limnnXnpPabnpq,.npPoisson因而当 较大时 我们可以用正态 分布的数值表来近似计算二项分布的概率 又为二项分布找到了一个近似计算公式 在使用时 只有当 很小时才能用分布来近似二项分布 而用棣莫佛拉普拉斯定理时则没有这个限制2-21ed 2tbat()(),b a2023-5-1314 .,1,r.v.,111.2121态性应具有正相当大时由此因素的影响最大中不能指出哪一个这么多的因素这表明是相同的的影响均具有权因素
8、对每个受诸多因素的影响似正态性具有近述中心极限定理实际上讲XnXXXnXXXnXnXnXXnn2023-5-1315三三 林德贝格中心极限定理林德贝格中心极限定理(1)（林德贝格条件）设随机变量（林德贝格条件）设随机变量X1,X2,Xn,相互独立，具有有限的数学期望及方差：相互独立，具有有限的数学期望及方差：),2,1()(D,)(E2 nkXXkkkk221,()(1,2,)0,nnkkkkBXfx kn记记的概率密度为林德贝格条件为：对任意的有0d)()(1lim1|22xxfxBnkkBxknnnk2023-5-1316(2)(林德贝格定理）林德贝格定理）对任意实数x,有xtnnkkkn
9、txBXPde21)(lim212则记),2,1(|nkBXAnkkknkknkknkknkAPAPBXP111)()(|max|0PkknXB 且2023-5-1317|1()dknnkxBkf x xxxfxBnkkBxknnkd)()(11|222，故可知上式右端极限为令0,n0|maxlim1nkknknBXP0|一致地依概率收敛于充分大时，和式中项上式表明，当nkkBXn2023-5-1318201 20(1,2,20),r.v.,(0,10),105.kkkV kVVP V1.例 一加法器同时收到个噪声电压设它们是相互独立的且都在区间上服从均匀布 记求的近似值2023-5-1319
10、 E()kV:解 易知5,20).,2,1,100/12()D(kVkr.v.,限定理知由独立同分布的中心极20120 5-20 5(0,1),100/12 20100/12 20kkVVZN近似服从正态分布于是105P V 0.38720100/12520-VP-20 5105-20 5100/12 20100/12 20VP2023-5-13200.38720100/12520-1VP387.02de21-12tt1-(0.387)1050.349.P V 即有0.3492023-5-1321例例2.一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波已知每遭受一次波浪的冲击浪的冲击,纵
11、摇角大于纵摇角大于30的概率的概率p=1/3,若船舶遭若船舶遭受了受了90000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有2950030500次纵摇角大于次纵摇角大于30概率是多少概率是多少?解解:我们将船舶每遭受一次波浪冲击看成是一我们将船舶每遭受一次波浪冲击看成是一次试验次试验,并假定每次试验是独立的并假定每次试验是独立的,在在90000次次波浪冲击中纵摇角度大于波浪冲击中纵摇角度大于30的次数记为的次数记为X,则则X是一个是一个r.v.且且Xb(90000,1/3)其分布律其分布律2023-5-132290000-9000012,0,1,90000.33kkkP XkCk 所求概率为所求概率
12、为P29500X3050090000-30500900002950012 33kkkkC 显然显然,直接计算十分麻烦直接计算十分麻烦,我们利用棣莫佛我们利用棣莫佛-拉拉普拉斯定理来近似求解普拉斯定理来近似求解:即有即有:2023-5-13233050029500 XP)-(1-30500)-(1-)-(1-29500 pnpnppnpnpXpnpnpP)-(1-29500-)-(1-30500 pnpnppnpnp90000,1/3.np其中即有2950030500PX0.9995.(5 2 2)-(-5 2 2)2023-5-1324例例3 有有240台电话分机，独立使用，每台话机约台电话分
13、机，独立使用，每台话机约有有5%的时间使用外线。问总机至少需要多少外的时间使用外线。问总机至少需要多少外线才能线才能90%以上的概率保证各分机用外线不必等候。以上的概率保证各分机用外线不必等候。解：设解：设X为为240台分机中同时需用外线的台台分机中同时需用外线的台数，显然数，显然Xb(240,0.05).即求最小的即求最小的N,使得使得9.00NXP由于由于n=240很大，而很大，而E()240 0.0512XnpD()12 0.9511.4Xnpq由棣莫佛拉普拉斯定理知2023-5-13250 PXN(1.28)查正态分布表得121.29,16.363.3817.17NNN因而得于是故取即
14、总机至少需要条外线才可满足要求。0.89970.9,(1.29)0.90150.91212()()11.411.4N12 ()0.93.38N0 121212 11.411.411.4XNP2023-5-1326(2)0.977)4,(x一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50kg，标准差为5kg。若用最大载重量为5t的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977（其中是标准正态分例布函数）。121,2,)(,inXiinnXXXn解：设装运的第 箱的重量，（单位：kg),是所求箱数。由条件可以把视为独立同分布的随机变量，
15、而 箱总重量2023-5-132712nnTXXX是独立同分布的随机变量之和。()50,iE X由条件知()5,iD X从而有()50,nE Tn()5nD Tn50,25),nTNnn近似地根据独立同分布的中心极限定理，（50015TnNn近似地即（，）2023-5-13285000nP T 由5050005055nTnnPnn1000 10()0.977(2)nn 1000 102nn由此可见98.02,98n 从而即最多可以装箱。2023-5-1329例例5 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、数是一个随机变量，
16、设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有若学校共有400名学生，设各学生参加会议名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求参）求参加会议的家长数加会议的家长数X超过超过450人的概率；（人的概率；（2）求恰）求恰有有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。的概率。1(1,2,400)kXkk解：（）以，记第 个学生来kX参加会议的家长数，则的分布律为Xk 0 1 2pk 0.05 0.8 0.15E()1.1
17、,kX易知D()0.19,1,2,400.kXk2023-5-13304001.kkXX而由独立同分布的中心极限定理，随机变量4001400 1.1400 1.14000.19400 0.19kkXX(0,1),N近似地服从正态分布于是450P X 400 1.1450400 1.1400 0.19400 0.19XP400 1.111.147400 0.19XP 1(1.147)0.12572023-5-1331(2)Y以 记恰有一名家长来参加会议的学生数，则(400,0.8),Yb由棣莫弗由棣莫弗-拉普拉斯定理得拉普拉斯定理得340P Y 400 0.8340400 0.8400 0.8 0.2400 0.8 0.2YP400 0.82.5400 0.8 0.2YP(2.5)0.9938
