1、第六章第六章 微分学基本定理及其应用微分学基本定理及其应用6.1 中值定理中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理0 x)(0 xu0 x费马引理费马引理 设函数设函数f(x)在点在点 的某领域的某领域 内有定义，并且内有定义，并且在在 处可导，如果对任意的处可导，如果对任意的 ，有，有)(0 xux)()()()(00 xfxfxfxf 或或那么那么0)(0 xf证证 不妨设不妨设 时，时，（如果（如果可类似的证明）可类似的证明）.于是，对于于是，对于 ，有，有)(0 xux)
2、()(0 xfxf)()(0 xfxf)(00 xuxx )()(00 xfxxf 从而当从而当 时，时，0 x;0)()(00 xxfxxf当当 时时0 x0)()(lim)()(0)()(lim)()(0000000000 xxfxxfxfxfxxfxxfxfxfxx;0)()(00 xxfxxf根据函数根据函数f(x)在在 可导的条件极限的保号性，便得到可导的条件极限的保号性，便得到0 x0)(0 xf所以所以几何解释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC例如例如,32)(2 xxxf).1
3、)(3(xx,3,1上上连连续续在在 ,)3,1(上上可可导导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf证证.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则.0)(xf由由此此得得),(ba .0)(f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf.取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()(fxf,0)()(fxf,0 x若若;0)()(xfxf则有则有,0 x若若;0)()(xfxf则有则有;0)()
4、(lim)(0 xfxffx;0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()(ff.0)(f只只有有)11()(32 xxxf例例例例 0 ,10 ,sin)(xxxxf 上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件,但不但不是必要条件是必要条件.2)罗尔定理的结论中罗尔定理的结论中 不是唯一的不是唯一的.1)罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.关于罗尔定理的几点说明关于罗尔定理的几点说明3)将将罗尔定理的条件罗尔定理的条件1.2.1.2.换为换为 a,b b 上可导上可导,结论仍成立结论
5、仍成立.例例1 1.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在则则xf.3)1(,1)0(ff且且由介值定理由介值定理.0)(),1,0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1,0(011xxx 设设另另有有.0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但)1,0(,0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根).()(:bfaf 去掉了去掉了
6、与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()(fabafbf 结论亦可写成结论亦可写成二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证 分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线.,两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba作辅助函数作辅助函数).(
7、)()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF.0)(,),(Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()(abafbff即即).)()()(abfafbf 或或注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系数在这区间内某点处的导数之间的关系.,),(,)(内可导内可导在在上连续，上连续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成拉格朗日
8、中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.拉格朗日中值公式的几种表达形式拉格朗日中值公式的几种表达形式)()()()1abfafbf abafbff )()()()2)(之之间间与与在在ba)(之之间间与与在在ba)10()()()()3 ababafafbf)10()()()()4 xxxfxfxxf.)(,)(上上是是一一个个常常数数在在区区间间那那末末上上的的导导数数恒恒为为零零在在区区间间如如果果函函数数IxfIxf推论推论例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证 1,1,arc
9、cosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0 1,1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设,0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理几何解释几何解
10、释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxF 当当,1)(,)
11、()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf例例4 4).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型
12、及型及、:001 定义定义.00)()(lim)()()()(型未定式型未定式或或常把这种极限称为常把这种极限称为在通在通可能存在、也可能不存可能存在、也可能不存极限极限大，那末大，那末都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与时，两个函数时，两个函数或或如果当如果当 xFxfxFxfxaxxax6.2 6.2 洛必达法则洛必达法则.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(,)2(;)()(,0)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在都趋于零都
13、趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.证证 定义辅助函数定义辅助函数,0),()(1 axaxxfxf,0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()(Ff )(之间之间与与在在ax,aax 时时当当,)()(limAxF
14、xfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax .,该法则仍然成立该法则仍然成立时时以及以及时时当当 xaxx使用洛必达法则，即使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续定理的条件，可以继续满足满足型，且型，且仍属仍属如果如果)(),(00)()(xFxfxFxf .)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx 注注：例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx.1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxx
15、x求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23)00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx .1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式.1)00()(axbxxcoscoslim0 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2co
16、s26cos6lim2 .3)(注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好求极限方法结合使用，效果更好.例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310.31 型未定式解法型未定式解法、00,1,0,02 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0(xexx2lim 原式原式2limxxe.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类
17、型型 .),00()(型型 0)1(步骤步骤:,10 .0100 或或例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 .0 型型 )2(步骤步骤:步骤步骤:型型00,1,0)3(ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例9 9 求求xxx 0lim解解 设设 取对数得取对数得,xxy xxylnln 0)ln(limlnlim00 xxyxx0ln000limlimlimeeyxyxxxx 1)0(0例例1010解解.lim111xxx 求求)1(xxxeln111lim 原式
18、原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 洛必达法则失效洛必达法则失效.)cos11(limxxx 原式原式.1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件泰勒公式泰勒公式主要是用多项式近似代替函数主要是用多项式近似代替
19、函数,且误差可由公式表且误差可由公式表示出来示出来.这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可用高次多项式来近似表示函数用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式同时给出误差公式.6.3 6.3 泰勒公式泰勒公式在利用微分作近似计算时在利用微分作近似计算时)()()()(0000 xxoxxxfxfxf )()()(000 xxxfxfxf (当当 时时)0 xx 不足不足:问题问题:寻找函数寻找函数)(xP,使得使得)()(xPxf 误误差差 )()()(xPxfxR 可可估估计计1 1、精确度不高；、精确度不高；2 2、误差不能估计、误差不能
20、估计.设设函函数数)(xf在在含含有有0 x的的开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1(n阶阶导导数数,)(xP为为多多项项式式函函数数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误差误差 )()()(xPxfxRnn 问题的提出问题的提出将求得的系数将求得的系数 a0,a1,a2,an代入代入(1)(1)式式,有有!)(,!2)(),(),(0)(020100nxfaxfaxfaxfann 200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxpnnnxxnxf)(!)(00)(2)来近似表达来近似表达f(x),),要求要求Pn n(x)与与f(x)之差是比之差
21、是比(x-x0 0)n高阶的高阶的无穷小无穷小,并给出误差并给出误差|f(x)-)-Pn n(x)|)|的具体表达式的具体表达式.设函数设函数f(x)在含有在含有x0 0的开区间内具有直到的开区间内具有直到(n+1)(n+1)阶导数阶导数,试找试找出一个关于出一个关于(x-x0 0)的的n n次多项式次多项式nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 (1)假设假设Pn n(x)与与f(x)在点在点x0 0的函数值及它的直到的函数值及它的直到n n阶导数都相等得阶导数都相等得)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnn
22、n 证明证明:)()(1()(0011之间之间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR )()(1()(1021022之间之间与与在在 xxnnRnn 之之间间与与在在nx 0()()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn ,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn 则由上式得则由上式得拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxx
23、nfxRnnn 注注:1)1)在不需要余项的精确表达式时，在不需要余项的精确表达式时，n n 阶泰勒公式也可阶泰勒公式也可 写成写成nnxxnxfxxxfxfxf)(!)()()()(00)(000 )(0nxxo (5)(5)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()(nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10
24、()!1(!2112 nxnxxnenxxxe由公式可知由公式可知!212nxxxenx 估计误差估计误差)0(x设设!1!2111,1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1(neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmx
25、x 解解)(!2114422xoxxex )(!4!21cos542xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx .127 原式原式例例3 3 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限 xxxxx30sincossinlim 解解 由于分式的分母由于分式的分母)0(sin33 xxx所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即31)(31limsincossinlim)(31cossin)(!2cos),(!3sin333030333333 xxox
26、xxxxxoxxxxxoxxxxxoxxxxx6.4 导数在研究函数上的应用导数在研究函数上的应用一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理1 1.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判
27、定法证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上上单单调调增增加加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 的的单单调调性性，在在判判定定函函数数20sin xxy 例例1 1内内，因为在（因为在（)20 解：解：0cos1 xy可可知知，所所以以由由定定理理1上上单单调调增增加加，在在函函数数20sin xxy 例例2 2解解.1
28、的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx.1 xey,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函数单调增加函数单调增加注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性来判别一个区间上的单调性).,(:D又又问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该若函数在
29、其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点点方法方法:.,)()(0)(数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 时，时，当当 x0,0)(xf上单调减少
30、；上单调减少；在在0,(单调区间为单调区间为，0,().,0 32xy 例例4 4解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1 x,0)(xf上上单单调调增增加加；在在1,(时，时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单调区间为，1,(，2,1).,2例例5 5证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xx
31、xf 则则,0)(),0(,),0)(xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在),0,0)0(f时时，当当0 x,0)1ln(xx).1ln(xx 即即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy ,00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在例例6 6 证明：当证明：当x11时时，xx132 证证 令令 则则),13(2)(xxxf )1(111)(22 xxxxxxf)13(20)13(20)1()(,0)1()1()(10)(11)(xxxxfxfffxfxxfxf 也也即即即即故故由由于于，有有当
32、当）内内，）上上连连续续，在在（，在在问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位 于所张弦的下方于所张弦的下方ABC二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点221xx 221xx 2)()(21xfxf 2)()(21xfxf)2(21xxf)2(21xxf)(1xf)(1xf)(2xf)(2xf定义定义的（或凸弧）的（或凸弧）上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）上的图
33、形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称恒有恒有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理2 2.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfb
34、ababaxf 例例7 7.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法拐点的求法证证,)(二阶可导二阶可导xf,)(存在且连续存在且连续xf 拐点的概念拐点的概念,)()(0两边变号两边变号在在则则xxfxf ,)(,(00是拐点是拐点又又xfx,)(0取得极值取得极值在在xxf,条件条件由可导函数取
35、得极值的由可导函数取得极值的.0)(xf方法方法1:1:,0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 例例8 8的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的区区间间求求曲曲线线14334 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711
36、,32().,32,32,0,0,(凹凸区间为凹凸区间为方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例9 9.)2,0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得2)43(f,0 2)47(f,0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2,0).0,47(),0,43(.)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在
37、若若xfyxfxxf 注意注意:例例1010.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx ,0,)0,(y内内但但在在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,0,),0(y内内在在.),0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题一、函数极值及其求法一、函数极值及其求法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(0000000
38、00的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注
39、意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的使函数取得极值的点称为点称为极值点极值点.定理定理2 2(第一充分条件第一充分条件)xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判判断断极极值值点点在在驻驻点点左左右右的的正正负负号号检检查查xf .)4(求极值求极值(不是极值
40、点情形不是极值点情形)例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10)3)(1(3 xx定理定理3 3(第二充分条件第二充分条件)证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000,0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 所所以以
41、，函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值 同理可证同理可证(2).(2).例例2 2解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff.)(在在该该点点连连续续但但函函数数xf注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在为零的点，则为零的点，则并且至多有有限个导数并且至多有有限
42、个导数处可导，处可导，上连续，除个别点外处上连续，除个别点外处在在若函数若函数baxfbaxf二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题步骤步骤:1.1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最则这个极值就是最值值.(最大值或最小值最大值或最小值)2 2 设设f(x)在在(a,b)内的驻点为内的驻点为 x1,x2,xn,则比较则比较f(a),f(x1),f(xn),f(b)的的大小大小,其中最大的便是其中最大的便是f(x)在在a,b上的上的最大值最大值,最小的便是最小的便是f(x)在在a,b上的最小值上的最小值例例3 3解解)1)
43、(2(6)(xxxf.4,314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程,0)(xf.1,221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34)1(f;7;142)4(f，最大值最大值142)4(f比较得比较得.7)1(f最小值最小值例例4 4 把一根直径为把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁的圆木锯成截面为矩形的梁.问问矩形截面的高矩形截面的高h和宽和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大面模量最大.解解 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题261bhw 由图看
44、出，由图看出，b b与与h h有下面的关系：有下面的关系：222bdh 因而因而)(6132bbdw hbd0)3(6122 bdw解得解得db31 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0 0，d）内部取得；现在，内部取得；现在，在（在（0 0，d)内只有一个根内只有一个根0 w,31db 当当 时，时，w的值最大，这时，的值最大，这时，,31db 1:2:3:323231222222 bhddhdddbdh实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)(1)建立目标函数建立目标函数;(2)(2)求最值求最值;小）值小）值值即为所求的最（或最值
45、即为所求的最（或最点，则该点的函数点，则该点的函数若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 函数图形的描绘函数图形的描绘第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势及其他变化趋势;第五步第五步例例1 1.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解,0:xD非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf ,0)(xf令令,2 x得驻点得驻点,0)(xf令令.3 x得特殊点得特殊点2
46、)1(4lim)(lim2 xxxfxx,2 ;2 y得水平渐近线得水平渐近线2)1(4lim)(lim200 xxxfxx,.0 x得铅直渐近线得铅直渐近线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3)926,3(:补补充充点点);0,31(),0,31(),2,1(A),6,1(B).1,2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC例例2 2.21)(22的图形的图形作函数作函数xex 解解),(:D偶函数偶函数
47、,图形关于图形关于y轴对称轴对称.,2)(22xexx ,0)(x令令,0 x得驻点得驻点,0)(x令令.1,1 xx得得特特殊殊点点.4.021)(0:xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex ,0.0 y得水平渐近线得水平渐近线x)1,(),1()0,1(1)1,0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21,1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21,1(e xyo11 21例例3 3.1)(23的的图图形形作作函函数数 xxxxf解解),(:D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()(xxxf).13(2)(xxf,0)(xf令令.1,31 xx得驻点得驻点,0)(xf令令.31 x得特殊点得特殊点:补补充充点点),0,1(A),1,0(B).85,23(C列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点凹凸区间及极值点与拐点与拐点:x)31,(),1()31,31(31)1,31(0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf)(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0,1(A)1,0(B)85,23(C11 3131
