1、xyo复习：复习：把直线画成把直线画成虚线虚线以表示区域以表示区域不包括边界不包括边界直线；直线；把直线画成把直线画成实线实线以表示区域以表示区域包括边界包括边界直线。直线。一般的一般的，二元一次不等式二元一次不等式Ax+By+C0在平面坐标系中在平面坐标系中表示表示直线直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的区域。某一侧所有点组成的区域。在直线的某一侧在直线的某一侧取取一个特殊一个特殊点（点（x0,y0），从，从Ax0+By0+C的的正负正负可以可以判断判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域表示直线哪一侧的平面区域。特殊的，当特殊的，当C0时，可以时，可以取（取（0，0）作为特殊点。作
2、为特殊点。线性规划有关概念线性规划有关概念由由x，y 的不等式的不等式(或方程或方程)组成的不等式组称为组成的不等式组称为x，y 的的约束条件约束条件。关于。关于x，y 的一次不等式或方程组的一次不等式或方程组成的不等式组称为成的不等式组称为x，y 的的线性约束条件线性约束条件。欲达到。欲达到最大值或最小值所涉及的变量最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称的解析式称为为目标函数目标函数。关于。关于x，y 的一次目标函数称为的一次目标函数称为线线性目标函数性目标函数。求线性目标函数在线性约束条件下。求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为的最大值或最小值问题称为线性规划问题线
3、性规划问题。满足。满足线性约束条件的解（线性约束条件的解（x，y）称为）称为可行解可行解。所有可。所有可行解组成的集合称为行解组成的集合称为可行域可行域。使目标函数取得最。使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为大值或最小值的可行解称为最优解最优解。基本概念：基本概念：z=2x+y象此问题一样，求线性目标函数在线性约束条件下的最值 的问题统称为线性规划问题。满足约束条件的解（x，y）叫做可行解。可行解组成的集合叫做可行域。（阴影部分）使目标函数取得最值的可行解叫做最优解最优解。目标函数目标函数，也叫线性目标函数。1255334xyxyx线性约束条件。x-4y+3=0 x-4y+3=03x+5y
4、-25=03x+5y-25=0 x=1x=12x+y=t2x+y=t1 1xyo可行域A（5，2）B（1，1）例题例题(1)已知已知求求z=2x+y的最大值和最小值。的最大值和最小值。01y01-yx0y-x551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2x551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)
5、B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2x3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2x3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值551Oxyy-x=
6、0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2x3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2x3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有
7、最大（小）值时有最大（小）值551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2x3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、Zmax=2x+y=2x2+(-1)=32.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0
8、，l0:y=-2x3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2x551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=
9、-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2x3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2x3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y
10、-x1、3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2x551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2x551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-
11、1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、3.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2x551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、Zmin=2x+y=2x(-1)+(-1)=-33.根据根据y=-2x平移到平移到区域的最后一个点区域的最后一个点时有最大（小）值时有最大（小）值2.将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且令且令z=0,画出直
12、线画出直线l0，l0:y=-2x实例分析：实例分析：设设x,y满足以下条件：满足以下条件：求求z=2x+y的最大值与最小值。的最大值与最小值。133065yxyyx线性约束条件 目标函数（线性目标函数）如图，分别作出如图，分别作出 三条三条直线，直线，o5x+6y=30y=1y=3xyy=1,y=3x,5x+6y=30 再找出不等式组再找出不等式组所表示的平面区域的公所表示的平面区域的公共区域。共区域。可行域可行域x将直线方程化为：将直线方程化为：y=-2x+z,且且令令z=0,画出直线画出直线l0，l0:y=-2xo5x+6y=30y=1y=3xyxl0:2x+y=0如图，平移直线如图，平移
13、直线l0，所对应的所对应的z随之增大；随之增大；所对应的所对应的z随之减小。随之减小。当直线当直线l0向上平移时，向上平移时，当直线当直线l0向下平向下平移移时时,o5x+6y=30y=1y=3xy(13,1)此时所对应的此时所对应的Z最小；最小；(245,1)此时所对应的此时所对应的Z最大。最大。从而得到：从而得到：zminzmax=2 +1=2 +1=1324553535o5x+6y=30y=1y=3xyxABCl0:y=-2x如图，在把如图，在把l0向上平移过程中，直线与平面区向上平移过程中，直线与平面区域首先相交于点域首先相交于点A ，当相交于点当相交于点B ，l1l2解线性规划问题的
14、步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案。（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；总结：总结：从这个问题的求解过程可以从这个问题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的看出，最优解一般在可行域的边边界上界上，而且通常在可行域的，而且通常在可行域的顶点顶点处处取得。取得。课堂练习课堂练习(1)已知已知求求z=2x+y的最大值和最小值。的最大值和最小值。01y01-yx0y-x551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)3max z
15、min3z（2）已知）已知求求z=3x+5y的最大值和最小值。的最大值和最小值。153y5x35y-x1xy551Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(-2,-1)B(3/2,5/2)11;17minmax ZZ巩固练习巩固练习 设满足约束条件 021xxyxy求 32zxy的最大值。例例:营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，的蛋白质，0.06kg的脂的脂肪，肪，1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.07kg蛋白质，蛋白质，0.14kg
16、脂肪，花费脂肪，花费28元；而元；而1食物食物B含有含有0.105kg碳水化碳水化合物，合物，0.14kg蛋白质，蛋白质，0.07kg脂肪，花费脂肪，花费21元。为了元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物需要同时食用食物A和食物和食物B多少多少kg？食物kg碳水化合物kg蛋白质/kg脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格解：设每天食用解：设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为，总成本为z，那么那么00671461475770
17、006.007.014.006.014.007.0075.010.0105.0yxyxyxyxyxyxyxyx目标函数为：目标函数为：z28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目标函数把目标函数z28x21y 变形为变形为xyo5/75/76/73/73/76/72834zxy 它表示斜率为它表示斜率为随随z变化的一组平行直变化的一组平行直线系线系.34 是直线在是直线在y轴上轴上的截距，当截距最的截距，当截距最小时，小时，z的值最小。的值最小。28zM 如图可见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可经过可行域上的点行域
18、上的点M时，截距时，截距最小，即最小，即z最小。最小。M点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组6714577yxyx得得M点的坐标为：点的坐标为：7471yx所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B约约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为最低成本为16元。元。例、要将两种大小不同的钢板截成三种规格，每张钢板例、要将两种大小不同的钢板截成三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：A规格规格规格第一种
19、钢板211第二种钢板123今需要三种规格的成品分别为今需要三种规格的成品分别为15，18，27块，块，用数学关系式和图形表示上述要求。用数学关系式和图形表示上述要求。0248101418612162612 142241081618 20解：设需要截第一种钢板解：设需要截第一种钢板x张，第二种张，第二种钢板钢板y张，则张，则2x+y 15X+2y 18X+3y 27x 0,xNy 0,yN2x+y=15X+2y=1824X+3y=27x=3,y=9;x=4,y=889.例六.gsp例、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产例、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车皮车皮甲种肥料的主要原料
20、是磷酸盐甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产这两，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？少车皮，能够产生最大的利润？解：设解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合分别为计划生产甲
21、、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo0y0 x6615y18x10y4x解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y车皮，能够产车皮，能够产生利润生利润Z万元。目标函数为万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：，可行域如图：把把Zx0.5y变形为变形为y2x2z，它表示斜率为，它表示斜率为2，在，在y轴上的截距为轴上的截距为2z的一组直线系。的一组直线系。xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，时，截距截距2z最大，即最大，即z最大。最大。故生产甲种、乙种肥料各故生产甲种、乙种肥
22、料各2车皮，能够产生最大利润，车皮，能够产生最大利润，最大利润为最大利润为3万元。万元。M 容易求得容易求得M点的坐标为点的坐标为（2，2），则），则Zmin3某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、元、2000元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备两种设备上加工，在每台上加工，在每台A、B上加工上加工1件甲所需工时分别为件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为两种设备每月有效使用台数分别为400h和和500h。如何安排生产可使收入最大？。如何安排生产可使收入最大？设每月生产甲产品
23、设每月生产甲产品x件，生产乙产品件，生产乙产品y件，每月收件，每月收入为入为z，目标函数为，目标函数为Z3x2y，满足的条件是，满足的条件是0050024002yxyxyx练习练习：Z 3x2y 变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。223zxy23XYO400200250500 当直线经过点当直线经过点M时，截距最大，时，截距最大，Z最大。最大。M解方程组解方程组50024002yxyx可得可得M（200，100）Z 的最大值的最大值Z 3x2y800故生产甲产品故生产甲产品200件，件，乙产品乙产品100件，收入件，收入最大，为最大，为80万元。万元。线性规划的实际应用小结 解线性规划应用问题的一般步骤：1、理清题意，列出表格；、理清题意，列出表格；2、设好变元，列出线性约束条件（不、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）等式组）与目标函数；与目标函数；3、准确作图；、准确作图；4、根据题设精度计算。、根据题设精度计算。
