1、v 根据理想流体的运动学特性，可以将理想流体的运根据理想流体的运动学特性，可以将理想流体的运动分为无旋运动和有旋运动两大类。动分为无旋运动和有旋运动两大类。v本章将在介绍二维运动引入流函数的概念，介绍无本章将在介绍二维运动引入流函数的概念，介绍无旋运动时引入势函数的概念，流函数和势函数是描述旋运动时引入势函数的概念，流函数和势函数是描述流体行为的重要概念。流体行为的重要概念。v求解流体无旋运动问题，一般通过解运动学方程求解流体无旋运动问题，一般通过解运动学方程（连续性方程）和动力学方程（运动方程），确定流（连续性方程）和动力学方程（运动方程），确定流场的速度分布和压力分布。场的速度分布和压力分
2、布。6.1 理想不可压缩流体运动基本方程6.2 二维无旋运动6.3 基本无旋流6.5 有旋运动6.4 理想流体绕圆柱的流动 连续性方程连续性方程 质量守恒定律对流质量守恒定律对流体运动的一个基本体运动的一个基本约束约束 用欧拉观点对质量守恒原用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动理的描述：连续介质的运动必须维持质点的连续性，即必须维持质点的连续性，即质点间不能发生空隙。因此，质点间不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体质量必净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变等于控制体内因流体密度变化而增加的质量。化而增加的质量。6.1 理想不可压缩流体运动基本方程理想不可压缩流体运动基本
3、方程连续性方程连续性方程xyzodxdydzuzabcdabcd 在时间段在时间段dt 里，沿着里，沿着 y 方向和方向和 z 方向净流入左右方向净流入左右和上下两对表面的流体质和上下两对表面的流体质量分别为量分别为tzyxyuydddd)(tzyxzuzdddd)(和和uy()()()0yxzuuutxyz0)(ut三维流动的连三维流动的连续性微分方程续性微分方程 在时间段在时间段dt 里，微元内流体质量的增加里，微元内流体质量的增加 根据质量守恒原理根据质量守恒原理简化简化或写成或写成对于不可压缩流体的流对于不可压缩流体的流动，密度是常数，连续动，密度是常数，连续方程为方程为()()()0
4、yxzuuuxyzu恒定流动的连续方程恒定流动的连续方程0yxzuuuxyzu,yxzxyzuuuxyz速度场的散度速度场的散度流体微团在三个互相垂直方流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和，也向上的线变形速率之和，也是流体微团的体积膨胀率。是流体微团的体积膨胀率。()()()110rzuruutrrrz22()(sin)()1110sinsinrvvr vtrrrr连续性方程在球坐标中的形式为连续性方程在球坐标中的形式为连续性方程在柱坐标中的形式为连续性方程在柱坐标中的形式为 连续方程连续方程 表明不可压缩流体微团在三个互相垂表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必
5、为零，若在一个方向上有直方向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。不会发生变化。0 u欧拉方程欧拉方程 作用于运动流体上的力分为两类，一类是作用于作用于运动流体上的力分为两类，一类是作用于整个流体体积上的力，称为彻体力，另一类是作用于整个流体体积上的力，称为彻体力，另一类是作用于流体表面上的力，称为表面力。流体表面上的力，称为表面力。在理想不可压缩流体运动中，微元体上的在理想不可压缩流体运动中，微元体上的作用力之和等于微元体质量与其运动加速度作用力之和等于微元体质量与其运动加
6、速度的乘积。的乘积。111xxxxxyzxyyyyxyzyzzzzxyzzuuuupuuuFtxyzxuuuupuuuFtxyzyuuuupuuuFtxyzz欧拉方程欧拉方程2()()()rrrrrzrrrzzzzzrzzuuuuuupuuFtrrrzruuuuu uupuuFtxryrzuuuuupuuFtxryzz222()sincot1()sincot1()sinsinrrrrrrrrrruuuuuuuupuFtrrrrruuuuuuuu upuFtrrrrrruuuuu uu uuupuFtrrrrrr球坐标形式的欧拉方程球坐标形式的欧拉方程 柱坐标形式的欧拉方程柱坐标形式的欧拉方程
7、如果不可压缩流体做定常运动，且彻体力有势如果不可压缩流体做定常运动，且彻体力有势W，即，即则欧拉方程沿流线则欧拉方程沿流线s的积分得到伯努利方程的积分得到伯努利方程流体做无旋流动时，欧拉方程积分可得流体做无旋流动时，欧拉方程积分可得理想不可压缩流体基本方程组理想不可压缩流体基本方程组 将不可压缩流体的连续性方程和运动方程组合在一起，将不可压缩流体的连续性方程和运动方程组合在一起，得到理想不可压缩流体的运动方程组，即得到理想不可压缩流体的运动方程组，即初始条件是初始条件是t=t0时时边界条件为边界条件为 方程组仍然是非线性的，速度方程组仍然是非线性的，速度u和压力和压力p互相影响，求解方互相影响
8、，求解方程相当困难。如果运动无旋，方程组可以得到重大简化。程相当困难。如果运动无旋，方程组可以得到重大简化。理想不可压缩流体无旋流动基本方程组理想不可压缩流体无旋流动基本方程组若流体作无旋运动，存在速度势，使若流体作无旋运动，存在速度势，使代入连续性方程代入连续性方程 上式是一个二阶线性偏微分方程，通常称为拉普拉斯方程。上式是一个二阶线性偏微分方程，通常称为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程的解具有可叠加性。拉普拉斯方程的解具有可叠加性。如果流体理想不可压缩，重力有势，运动无旋，由欧如果流体理想不可压缩，重力有势，运动无旋，由欧拉方程积分得到拉格朗日积分拉方程积分得到拉格朗日积分求出速度势后得到速度，
9、代入拉格朗日积分求出压力分布求出速度势后得到速度，代入拉格朗日积分求出压力分布p。理想不可压缩流体，重力有势，其基本方程组为理想不可压缩流体，重力有势，其基本方程组为初始条件是初始条件是t=t0时时边界条件为边界条件为6.2 二维无旋运动二维无旋运动v 真实流体是有粘性的流体，而粘性流体都是有旋的。真实流体是有粘性的流体，而粘性流体都是有旋的。在实际中，许多粘性流体的流动可以简化成理想的无在实际中，许多粘性流体的流动可以简化成理想的无旋运动。旋运动。v在数学上，处理无旋运动比有旋运动简单得多，可在数学上，处理无旋运动比有旋运动简单得多，可以通过求解线性运动方程决定速度分布，再由伯努利以通过求解
10、线性运动方程决定速度分布，再由伯努利积分决定压力。积分决定压力。v流函数和速度势函数是求解二维无旋问题的重要数流函数和速度势函数是求解二维无旋问题的重要数学工具。学工具。流函数的定义流函数的定义流体运动时各有关物理量在空间流体运动时各有关物理量在空间的分布仅依赖于两个坐标来确定的分布仅依赖于两个坐标来确定二维运动二维运动 ddxyxyuudd0 xyuyux0yxuuxyyxuuxy 如果流体质点的运动速度如果流体质点的运动速度都都与已知的与已知的x-y平面平行，且平面平行，且所有所有平面上的流动情况都相同，则二维流动的流线方程为平面上的流动情况都相同，则二维流动的流线方程为或或连续性方程连续
11、性方程为为或或全微分条件全微分条件 必然存在一个函数，使必然存在一个函数，使 流线是等流函数线，给予不同的常数可以得到一簇流流线是等流函数线，给予不同的常数可以得到一簇流线。通常将与流体接触的壁面视为零流线。线。通常将与流体接触的壁面视为零流线。这称为流函数，上式可得到流函数的定义式为这称为流函数，上式可得到流函数的定义式为当当 时，可得时，可得d0表示穿过表示穿过 M0 至至 M 连线的流量，连线的流量，它与连线路径无关，在起点它与连线路径无关，在起点 M0 确定的情况下是终点确定的情况下是终点 M 的坐标的坐标的函数。的函数。(,)dd(,)(,)x yuxuyyxMxyM x y000
12、根据定义确定流函数时选根据定义确定流函数时选取不同的起点取不同的起点 M0，流函数，流函数将相差一个常数，但同样不将相差一个常数，但同样不会影响对流场的描述。会影响对流场的描述。M0M 对于不可压流对于不可压流体的平面流动是体的平面流动是容易理解的，而容易理解的，而三维流动就得不三维流动就得不到这样的结论。到这样的结论。两点流函数两点流函数的差表示穿过的差表示穿过两点间任意连两点间任意连线的流量。线的流量。（常数）（常数）C不可压流体平面流动的流线方程不可压流体平面流动的流线方程 表示有流量表示有流量自自M1M2连线左连线左侧流进右侧，侧流进右侧，由此可确定流由此可确定流动方向。动方向。0)(
13、)(1212CCMM如图中所示如图中所示,若若M1M22C1C画出穿过微元弧长的流量示意图，可以帮助记忆流函数定义。画出穿过微元弧长的流量示意图，可以帮助记忆流函数定义。在直角坐在直角坐标系中标系中rururdddrurur,1xuyuyx,xuyuyxdddyuxddxuydxdyd在极坐在极坐标系中标系中ddrurru drddr流函数与流量的关系流函数与流量的关系ddnQul 在流体作二维运动的流场中，用任意曲线将两点连接在流体作二维运动的流场中，用任意曲线将两点连接起来，某时刻通过该曲线上的微元线段起来，某时刻通过该曲线上的微元线段dl的流量为的流量为un是微元线是微元线段上段上M点出
14、点出的法向速度的法向速度于是于是dddddddddyxQlxyylxlxycos(,)cos(,)nxyuun xun ydcos(,)cos(,)dxyQun xun yl结合流函数的定义式可得结合流函数的定义式可得dBBAAQ 上式表明单位时间内通过曲线微元上的流量等于流函数的上式表明单位时间内通过曲线微元上的流量等于流函数的微分。沿曲线积分，得到流经任意微分。沿曲线积分，得到流经任意线段线段AB的的流量流量 可知，流经任意曲线可知，流经任意曲线AB的流量等于该曲线两个端点的流量等于该曲线两个端点上的流函数之差，上的流函数之差，与曲线的形状无关。与曲线的形状无关。流函数方程流函数方程 已知
15、流函数可以求得任意二维流场的速度场，流已知流函数可以求得任意二维流场的速度场，流体在体在x-y平面内作有旋运动，旋转角速度不为零，有平面内作有旋运动，旋转角速度不为零，有2222zxy 22220 xy将流函数的定义式代入上式，得将流函数的定义式代入上式，得 流体在流体在x-y平面内作无旋运动，旋转角速度为零，平面内作无旋运动，旋转角速度为零，有有流体二维流动引入流函数，可以通过改写方程减少未知量，流体二维流动引入流函数，可以通过改写方程减少未知量，使计算简便。因此广泛使用流函数表示流体的流动。使计算简便。因此广泛使用流函数表示流体的流动。无论是无旋运动还是有旋运动，只要流体作二维运动，都无论
16、是无旋运动还是有旋运动，只要流体作二维运动，都可以采用流函数的概念。可以采用流函数的概念。如果流体运动无旋，其旋度为零。如果流体运动无旋，其旋度为零。这是全微分方程的充要条件，必然存在一个函数全微分为这是全微分方程的充要条件，必然存在一个函数全微分为 这称为速度势函数。可知速度势的方向导数是速度。速度势有类这称为速度势函数。可知速度势的方向导数是速度。速度势有类似力势的特性，即与起点位置无关，只决定于两点之间的势差。似力势的特性，即与起点位置无关，只决定于两点之间的势差。无旋运动无旋运动或或比较上两式得到速度分量和函数之间的关系比较上两式得到速度分量和函数之间的关系),(),(),(),(),
17、(),(000000000ddd),(zyxzyxzzyxzyxyzyxzyxxzuyuxuzyxM0M1),(zyx),(000zyx),(00zyx),(0zyxOyxz速度势函数速度势函数的求法（一）的求法（一）与路径无关，与路径无关，可选一条简便的可选一条简便的路径计算。路径计算。MM0dlu 起点不同，速起点不同，速度势相差一个常度势相差一个常数，不会影响对数，不会影响对流场的描述。流场的描述。速度势函数速度势函数的求法（二）的求法（二）寻找全微分，寻找全微分，确定速度势确定速度势),(1zyf),(d1zyfxuxyzuyuzxux 要按照定义要按照定义求速度势，不求速度势，不要误
18、认为做三要误认为做三个独立的不定个独立的不定积分。积分。给出流场，给出流场，求解速度势，求解速度势，要先检查流场要先检查流场是否无旋。是否无旋。zuyuxuzyxdddd代入代入确定确定例例已知已知速度场速度场0,6,3322zyxubxyubybxu 此 流 动 是此 流 动 是不可压缩流体的不可压缩流体的平面势流，并求平面势流，并求速度势函数。速度势函数。求证求证由由066bxbxzuyuxuzyxbyxuyuyx6)(3)(d)33(2322yfbxybxyfxbybxbxyuyy60)(yfCyf)(知知yxyxxyxxybxyxbxyuxuyx002),()0,()0,()0,0(d
19、6d3dd),(Cbxybx233ybxyxbybxyuxuyxyxd6d)33(dd),(22Cbxybxybx22333按定义求按定义求按三个不定积分求按三个不定积分求ddddrururlu0)(2222222zyxu满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。极坐标中速度势函数的微分为极坐标中速度势函数的微分为 不可压流体无旋流动的速不可压流体无旋流动的速度势函数满足拉普拉斯方程。度势函数满足拉普拉斯方程。dldrxyrddrururr1,例例已知已知速度场速度场0,2urqur 此流动是不此流动是不可压缩流体的平可压缩流体的平面势流，并求速面势流，并求速度势
20、函数。度势函数。求证求证22222,2yxyquyxxquyx0 xuyuyxCrqln20yuxuyxrrqrururd2dddr=0 奇点奇点已知已知速度场速度场ruur2,0例例 此流动是不此流动是不可压缩流体的平可压缩流体的平面势流，并求速面势流，并求速度势函数。度势函数。求证求证22222,2yxxuyxyuyxCxyCtanArc220 xuyuyx0yuxuyxd2dddrururr=0 奇点奇点 以上速度势函数和流函数的关系是在不可压缩流以上速度势函数和流函数的关系是在不可压缩流体平面无旋流动的条件下建立的。体平面无旋流动的条件下建立的。v在不可压缩流体在不可压缩流体平面有旋流
21、动中就平面有旋流动中就只有流函数，没有只有流函数，没有速度势。速度势。v在不可压缩流体在不可压缩流体三维无旋流动中就三维无旋流动中就只有速度势，没有只有速度势，没有流函数。流函数。注意注意如不可压缩流体平面流动的流函数如不可压缩流体平面流动的流函数22yxx 流动有旋，不存在速度势。流动有旋，不存在速度势。12,2xuyuyx求流函数求流函数求速度势求速度势查是否平查是否平面不可压面不可压查是否查是否无旋无旋二维无旋运动二维无旋运动 比较速度势和流函数的定义式，可以得到流体作二维比较速度势和流函数的定义式，可以得到流体作二维无旋运动时的势函数和流函数的关系无旋运动时的势函数和流函数的关系 势函
22、数等于常数时可以得到等势线，在等势线上速度势函数等于常数时可以得到等势线，在等势线上速度势的数值是一定的。流函数等于常数可以得到流线。势的数值是一定的。流函数等于常数可以得到流线。联系两者的关系称为哥西联系两者的关系称为哥西-黎曼条件。可以证明流线黎曼条件。可以证明流线和等势线正交，因为和等势线正交，因为将速度势的定义式代入不可压缩流体的连续性方程得将速度势的定义式代入不可压缩流体的连续性方程得上式称为拉普拉斯方程。它是线性方程，两个解的和或差上式称为拉普拉斯方程。它是线性方程，两个解的和或差也是原方程的解，因此复杂流场的解可以由一些简单流场的也是原方程的解，因此复杂流场的解可以由一些简单流场
23、的解叠加而得到。解叠加而得到。求解拉普拉斯方程关键在于求得给定的边界条件下的特解，求解拉普拉斯方程关键在于求得给定的边界条件下的特解，得到势函数，从而确定速度场。得到势函数，从而确定速度场。在固壁上，势函数应满足的边界条件是法向速度为零。对在固壁上，势函数应满足的边界条件是法向速度为零。对于用流函数表示的绕流问题，要求零流线与物体壁面重合。于用流函数表示的绕流问题，要求零流线与物体壁面重合。势流基本方程势流基本方程6.3 基本无旋流基本无旋流 均匀流、径向流和环流等基本无旋流，可以作为均匀流、径向流和环流等基本无旋流，可以作为叠加求解复杂无旋运动问题的基本数学单元。叠加求解复杂无旋运动问题的基
24、本数学单元。均匀流均匀流 均匀直线流动是最简单的流型，具有平行的直线流均匀直线流动是最简单的流型，具有平行的直线流线，速度分布均匀。其速度分布为线，速度分布均匀。其速度分布为 其中其中U是均匀流的速度，是均匀流的速度，C是积分常数。当流体绕过是积分常数。当流体绕过物体时，远离物体表面的来流可以近似认为是均匀流。物体时，远离物体表面的来流可以近似认为是均匀流。积分可得速度势和流函数积分可得速度势和流函数ruo2x14y233120rQuruddddd2ruru rQrrul22lnln22QQrxy 实际上是与流动平面垂实际上是与流动平面垂直的一条无限长线源，单直的一条无限长线源，单位长度源强为
25、位长度源强为Q Q为正称为为正称为点源，点源，Q为负为负称为点汇。称为点汇。径向流径向流ruoxy21423311tan22QQyxdddd2rQu rur等势线等势线流线流线点源处点源处ur,0，是流场的奇点，是流场的奇点以点源为以点源为圆心的同圆心的同心圆心圆从点源出发从点源出发的半射线的半射线xruur20d2ddddrururlu 流线是同心圆、径向流线是同心圆、径向速度为零的流动称为环流。速度为零的流动称为环流。在柱坐标中旋转角速度和在柱坐标中旋转角速度和径向速度均为零。径向速度均为零。环 量环 量 以 逆以 逆时针为正，顺时针为正，顺时针为负。时针为负。o21y2331uxy1ta
26、n22环流环流22ln2ln2yxrrrrururd2ddd等势线等势线流线流线点涡处点涡处ur,0，是流场的奇点，是流场的奇点从点源出发从点源出发的半射线的半射线以点源为圆以点源为圆心的同心圆心的同心圆o21y2331ux一对等强度的源和汇叠加的极限情况一对等强度的源和汇叠加的极限情况间距间距0h保持不变保持不变mhq强度强度qmhqqh0lim即即偶极子方向：汇偶极子方向：汇源源偶极子强度：偶极子强度：Myqxo2aqM(x,y)r1r2r12AB偶极流偶极流 强度为强度为M，方向为方向为 x 轴的偶极轴的偶极子的速度势子的速度势1220lim(lnln2aqqrr）1202limln2a
27、qrqr12202limln 12aqrrqr12202lim2aqrrqr2022coslim2aqqarcos2Mr222Mxxyyqxo2aqp(x,y)rArBr12AB 强度为强度为M，方向为方向为 x 轴的偶极轴的偶极子的流函数子的流函数1220lim(2aqq）20sinlim2aqqhr sin2Mr 222Myxy yqxohqp(x,y)rArBr12AB 偶极子方向为 x 轴，结果反号。xy偶极子的流线偶极子的流线22222)4()4(CmCmyx圆心在圆心在 y 轴上与轴上与 x 轴相切的圆轴相切的圆=C=Cm偶极子的等势线偶极子的等势线021221xCmyxC2122
28、1)4()4(CmyCmx 圆心在圆心在 x 轴上与轴上与 y 轴相切的圆轴相切的圆021222yCmyxC6.4 理想流体绕圆柱的流动理想流体绕圆柱的流动 长圆柱物体在静止流场中作匀速直线运动，在静坐标系长圆柱物体在静止流场中作匀速直线运动，在静坐标系中观察到绕圆柱的流体运动时非定常的。采用固结在圆柱物中观察到绕圆柱的流体运动时非定常的。采用固结在圆柱物体的动坐标系，在其中观察到绕圆柱的流体运动时定常的，体的动坐标系，在其中观察到绕圆柱的流体运动时定常的，于是问题转化为作匀速直线流通的流体绕静止的长圆柱物体于是问题转化为作匀速直线流通的流体绕静止的长圆柱物体运动。运动。理想流体绕圆柱体流动理
29、想流体绕圆柱体流动绕长圆柱流动绕长圆柱流动的流函数为的流函数为221(1)2MU yUxy零流线方程为零流线方程为221(1)02MyUxy202MrU220020(,)MxyUyxr xr 故零流线可表示故零流线可表示为为偶极矩满足的流动边界条件为偶极矩满足的流动边界条件为流体不能穿透物体表面，绕圆柱粘附在其表面的边界流线流体不能穿透物体表面，绕圆柱粘附在其表面的边界流线是零流线。是零流线。上式表明，零流线是圆心位于坐标原点、半径为上式表明，零流线是圆心位于坐标原点、半径为r0的圆，的圆，以及以及ox轴与该圆连接的两个分支。轴与该圆连接的两个分支。根据拉普拉斯方程，有均匀流和偶极流叠加得到流
30、函数。根据拉普拉斯方程，有均匀流和偶极流叠加得到流函数。满足边界条件的流函数为满足边界条件的流函数为速度势为速度势为 在极坐标中，流体绕经圆柱体的速度分布与速度势在极坐标中，流体绕经圆柱体的速度分布与速度势的关系为的关系为当当r=r0时，满足边界条件的速度分布为时，满足边界条件的速度分布为圆柱体表面的速度方向沿圆周切线方向。圆柱体表面的速度方向沿圆周切线方向。当角度为当角度为180度时，称为前临界点，速度为零；当为度时，称为前临界点，速度为零；当为0度时，度时，称为后临界点，速度为零；当为称为后临界点，速度为零；当为90度时，速度最大。度时，速度最大。为求压力分布，不计重力影响可列出伯努利方程
31、为求压力分布，不计重力影响可列出伯努利方程22022Uupp222422000222412(sincos)1/2()rppuurrUUrr 2201(14sin)2ppU2012ppU2032ppU代入速度代入速度分布得分布得在圆柱表面上在圆柱表面上压力分布为压力分布为当角度为当角度为0或或180度时压力为度时压力为当角度为当角度为90或或270度时压力为度时压力为v 流体绕圆柱体的压力分布，在流体绕圆柱体的压力分布，在0到到90度的范围内计度的范围内计算值与实验值相差很大，这是由于没有考虑到粘性的算值与实验值相差很大，这是由于没有考虑到粘性的影响，实际流体流过圆柱体表面时，柱体表面薄层流影响
32、，实际流体流过圆柱体表面时，柱体表面薄层流体的粘性力影响很大。体的粘性力影响很大。v在在70到到100度的范围内，流体将与柱体发生分离，不度的范围内，流体将与柱体发生分离，不再粘附在柱体表面上，而在柱体后缘形成涡旋区。再粘附在柱体表面上，而在柱体后缘形成涡旋区。v采用理想流体模型计算，圆柱体只受到来流的对称采用理想流体模型计算，圆柱体只受到来流的对称性压力，受到的阻力为零，这显然与实际情况相违背。性压力，受到的阻力为零，这显然与实际情况相违背。著名的达朗伯悖理表述了这一矛盾现象。著名的达朗伯悖理表述了这一矛盾现象。物体在静止流体中开始运动时，也会引起周围流体开物体在静止流体中开始运动时，也会引
33、起周围流体开始运动。物体以定常速度运动，所获得的动能是物体的动始运动。物体以定常速度运动，所获得的动能是物体的动能能Eb和引起运动的流体质点的动能和引起运动的流体质点的动能Ef 之和，即之和，即vfMMM222211()d d d22bfxyzVEEEMUuuux y z 提供给物体运动的能量大于物体自身运动需要的能提供给物体运动的能量大于物体自身运动需要的能量，就好像是增大了质量的物体在运动。量，就好像是增大了质量的物体在运动。212ffEM U附加质量如附加质量如下式定义下式定义视质量为视质量为例例20fMr圆柱体以速度圆柱体以速度U运动时，附加质量为运动时，附加质量为有环量的绕圆柱流动有
34、环量的绕圆柱流动v 有环量存在的绕圆柱流动，是一种无旋流动与有旋有环量存在的绕圆柱流动，是一种无旋流动与有旋运动同时存在的复杂流场。运动同时存在的复杂流场。v流场中因为柱体旋转而具有环量，环量的出现使运流场中因为柱体旋转而具有环量，环量的出现使运动流体中的物体受到了升力。动流体中的物体受到了升力。v确定流场的速度分布后，柱体受到的升力可以通过确定流场的速度分布后，柱体受到的升力可以通过其表面的压力分布求得。其表面的压力分布求得。202202(1)cos2(1)sin2rUrrrUrr202202(1)cos(1)sin2rruUrruUrr 流场的速度势和流函数由理想流体绕圆柱体和环流流场的速
35、度势和流函数由理想流体绕圆柱体和环流叠加得到叠加得到可得到流场的速度分布为可得到流场的速度分布为002sin2ruuUr 在柱体表在柱体表面上面上0ucr01sin4U r 令令 得到得到 上式给出上式给出临界点位置临界点位置的三种情况：的三种情况：当当 时，分别位于时，分别位于 和和 有两个对称分布的临界点。有两个对称分布的临界点。当当 时，时，和和 ，两个临界点合二为，两个临界点合二为 一，位于柱体表面一，位于柱体表面y轴的正下方。轴的正下方。当当 时，在柱体表面以外有一个临界点，这时在柱时，在柱体表面以外有一个临界点，这时在柱 体表面周围形成一个非圆形流线的环流运动区域。体表面周围形成一
36、个非圆形流线的环流运动区域。04 rU 04 rU cr1180270cr1270cr2270360cr227004 rU 2222002242200422221()2(sincos)121(1)sin4ppruUrUrrrr UrUr 22220220021(4sinsin)224UpUUprr由理想流体绕圆柱的压力分布和速度分布得由理想流体绕圆柱的压力分布和速度分布得在柱面上在柱面上r=r0压力分布对称于压力分布对称于y轴，而不对称于轴，而不对称于x轴。轴。圆柱体表面下半部分的压力处处大于上半部分各点的压力，圆柱体表面下半部分的压力处处大于上半部分各点的压力，最大压力在临界点出，最小压力在
37、圆柱体截面的顶点。最大压力在临界点出，最小压力在圆柱体截面的顶点。绕圆柱体的有环量无旋运动，压力分布与速度环量有关。绕圆柱体的有环量无旋运动，压力分布与速度环量有关。马格努斯效应马格努斯效应0 xyFFb U作用在圆柱体上的压力合力在作用在圆柱体上的压力合力在x轴和轴和y轴上的投影分别为轴上的投影分别为理想流体作有环量的平移流动时，对产生环量的绕轴线自旋理想流体作有环量的平移流动时，对产生环量的绕轴线自旋的长圆柱体作用的力，是与圆柱体自旋轴线垂直的横向力。的长圆柱体作用的力，是与圆柱体自旋轴线垂直的横向力。升力的方向，可以由来流速度矢量方向逆环流方向转过升力的方向，可以由来流速度矢量方向逆环流
38、方向转过90度度得到。得到。因为是理想流体绕圆柱体流动，所以圆柱体在水平方向受到因为是理想流体绕圆柱体流动，所以圆柱体在水平方向受到的阻力为零。的阻力为零。无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动?0 u这个分类是这个分类是 很重要的很重要的旋度 判别的唯一标准是看流速场的旋度是否为零判别的唯一标准是看流速场的旋度是否为零有旋流动和无旋流动的判别有旋流动和无旋流动的判别6.5 有旋运动有旋运动 涡线是涡量场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的曲线，涡线是涡量场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的曲线，该瞬时位于涡线上各点对应的涡量都沿着涡线的切向。该瞬时位于涡线上各点对应的涡量都沿着涡线的切向。与流线与流线一
39、样，涡线是与欧拉观点相对应的概念。一样，涡线是与欧拉观点相对应的概念。涡线涡线涡量、涡线、涡管和涡通量涡量、涡线、涡管和涡通量 对于有旋流动，将流速场的旋度对于有旋流动，将流速场的旋度称为涡量，它是流体微团旋转角速称为涡量，它是流体微团旋转角速度矢量的两倍。涡量场是矢量场。度矢量的两倍。涡量场是矢量场。u2涡量涡量 根据定义，涡线的微分方程为根据定义，涡线的微分方程为0d lkjilzyxdddd),(d),(d),(dtzyxztzyxytzyxxzyx0dddzyxzyxkji 实际上这是两个微分方程，其中实际上这是两个微分方程，其中 t 是参数。可求解得到两族是参数。可求解得到两族曲面，
40、它们的交线就是涡线族。曲面，它们的交线就是涡线族。其中其中涡线微分方程涡线微分方程 在流场中，取一条在流场中，取一条不与涡线重合的封闭曲不与涡线重合的封闭曲线线 L，在同一时刻过，在同一时刻过 L上上每一点作涡线，由这些每一点作涡线，由这些涡线围成的管状曲面称涡线围成的管状曲面称为涡管。为涡管。涡管涡管涡线涡线涡管涡管 与涡线一样，涡与涡线一样，涡管是瞬时概念管是瞬时概念涡通量涡通量AAAAAAId2d)(dnnundAAn涡管强度涡管强度 通过流场中某曲面通过流场中某曲面 A 的涡量通量的涡量通量AAdn称为涡通量。称为涡通量。通过涡管任一截面通过涡管任一截面 A 的涡的涡通量又可称为涡管强
41、度通量又可称为涡管强度A留下一个问题：为留下一个问题：为什么可取任一截面什么可取任一截面计算涡管强度计算涡管强度速度环量、斯托克斯定速度环量、斯托克斯定理理速度环量速度环量 定义流速矢量定义流速矢量 u 沿有向曲线沿有向曲线 L 的线积分为速度环量的线积分为速度环量Llu d斯托克斯定理斯托克斯定理LAAlunddudlndA封闭曲线封闭曲线 L 是是 A 的周界，的周界，L 的方向的方向 与与 n 成右手系。成右手系。沿沿 L 的速度环量的速度环量通过通过 A 的涡通量的涡通量=例例已知已知 不可压缩流体速度分布不可压缩流体速度分布0,22zyxuuzyau 涡线方程及涡线方程及沿封闭围线沿
42、封闭围线的速度环量的速度环量求求0222zbyx22220zyayyuxuzyazxuzuzuyuxyzzxyyzx求涡量场求涡量场 求涡线求涡线yzyxdzd0d2122CxCzy 求速度环量求速度环量 在在 z=0 平面上，涡量为平面上，涡量为ayzyx)sgn(,00d)sgn(ddAAzAAayAAnA 关于关于 x 轴对称轴对称旋涡随空间的变化规律旋涡随空间的变化规律奥高定理奥高定理AVAVddnuunuVAdA 矢量场通过一封闭曲面的通量矢量场通过一封闭曲面的通量（流出为正）等于矢量场的散度（流出为正）等于矢量场的散度在封闭曲面所围空间域上的积分。在封闭曲面所围空间域上的积分。根据
43、不可压缩根据不可压缩流体连续方程流体连续方程0 u 奥高定理可解释为：不可压奥高定理可解释为：不可压缩流体通过任一封闭曲面的体缩流体通过任一封闭曲面的体积流量为零。积流量为零。0)()()()(yuxuzxuzuyzuyuxuuuzyxxyzxyzzyxkjiu涡量场是无源场（管形场）涡量场是无源场（管形场）矢量场的散度表示矢量场的源汇强度。散度为零的矢量场也矢量场的散度表示矢量场的源汇强度。散度为零的矢量场也称无源场，其矢量线必成管状，所以也称管形场。称无源场，其矢量线必成管状，所以也称管形场。涡量的散度必为零涡量的散度必为零 由于涡管侧壁没有涡由于涡管侧壁没有涡通量，所以根据涡量场是通量，
44、所以根据涡量场是无源场可得如下结论：无源场可得如下结论：涡线涡线涡管涡管 在同一时刻，穿在同一时刻，穿过同一涡管的各断面的涡过同一涡管的各断面的涡通量都是相同的。即同一通量都是相同的。即同一时刻，一根涡管对应一个时刻，一根涡管对应一个涡管强度。涡管强度。结论结论这是个纯运动学这是个纯运动学范畴的定理范畴的定理回答了前面的问题回答了前面的问题 涡管不能在流体涡管不能在流体中产生与消失，要中产生与消失，要么成环形，要么两么成环形，要么两端位于流场的自由端位于流场的自由面或固体边界。面或固体边界。L是由确定流体质点组成的封闭线，是是由确定流体质点组成的封闭线，是一个系统，在流动中会改变位置和形状。一
45、个系统，在流动中会改变位置和形状。旋涡随时间的变化规律旋涡随时间的变化规律Llu dLttluddddd 封闭流体线封闭流体线上的速度环量上的速度环量对于时间的变对于时间的变化率等于此封化率等于此封闭流体线上的闭流体线上的加速度环量。加速度环量。加速度环量加速度环量L(t)tt+dt u(t+dt)u(t)速速 度度环量对环量对时间的时间的全导数全导数tddLtludddLtlu ddLt)(ddluLLttddddluluLLtuuluddLLut2dd2lu 表表示示对对空空间间微微分分 d表表示示对对时时间间微微分分简要的证明简要的证明无旋与有势无旋与有势的等价性的等价性无旋流动无旋流动
46、有势流动有势流动0uzuyuxuzyxdddduzuyuxuzyx0ddAALnlu速度势速度势 MM0dlu与路径无关，在起点固定的与路径无关，在起点固定的条件下，是终点位置的函数。条件下，是终点位置的函数。),(),(0000ddd),(zyxMzyxMzyxzuyuxuzyx定义定义无旋流动无旋流动有势流动有势流动等 价u0zyxxxxkjiu无旋流动无旋流动有势流动有势流动开尔文定理开尔文定理若质量力有势，理想不可压缩流体的运动方程为：若质量力有势，理想不可压缩流体的运动方程为：pWtddu加速度加速度有有 势势封闭流体线上的速度环量不随时间变化封闭流体线上的速度环量不随时间变化 =c
47、onst加速度加速度无无 旋旋封闭流体线上的封闭流体线上的加速度环量为零加速度环量为零tt+dt亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理v某时刻组成涡某时刻组成涡管的流体质点将管的流体质点将永远组成涡管。永远组成涡管。v涡管的强度在涡管的强度在流动中保持不变。流动中保持不变。容易通过开尔文定理予容易通过开尔文定理予以证明，上述以证明，上述亥姆霍兹定亥姆霍兹定理成立的条件应与开尔文理成立的条件应与开尔文定理相同。定理相同。开尔文定理说明，若质量力有势，流体为理想不可开尔文定理说明，若质量力有势，流体为理想不可压缩流体，那么涡通量不会产生，初始时刻为无旋的流压缩流体，那么涡通量不会产生，初始时刻为无旋的流动将永远保持无旋，而有旋流动的涡通量则有保持性，动将永远保持无旋，而有旋流动的涡通量则有保持性，既不会消失，也不会扩散。既不会消失，也不会扩散。粘性对旋涡运动的影响粘性对旋涡运动的影响 开尔文定理也反过来说明了之所以在实际流体的运开尔文定理也反过来说明了之所以在实际流体的运动中会有旋涡的产生、发展和消失，以及涡量在流场中动中会有旋涡的产生、发展和消失，以及涡量在流场中的扩散现象，粘性的存在应该是最重要的因素。的扩散现象，粘性的存在应该是最重要的因素。
