1、线性代数的软件实践线性代数的软件实践线性代数概念的几何含义线性代数概念的几何含义及及MATLAB绘图演示绘图演示西安电子科技大学西安电子科技大学 杨威杨威2010.72010.7一、线性方程组解的几何含义一、线性方程组解的几何含义二、二、向量及向量运算的几何含义向量及向量运算的几何含义四、四、行列式的几何含义行列式的几何含义五、线性变换的几何含义五、线性变换的几何含义(特征向量特征向量)六、二次型的几何含义六、二次型的几何含义基本内容基本内容三、三、向量组线性相关性的几何含义向量组线性相关性的几何含义一、进一步理解线性代数抽象概念一、进一步理解线性代数抽象概念 的几何含义的几何含义二、掌握二、
2、掌握MATLABMATLAB软件实现线性代数软件实现线性代数 基本运算的命令基本运算的命令基本目标基本目标三、灵活应用三、灵活应用MATLABMATLAB软件的绘图功能软件的绘图功能 演示线性代数概念的几何含义演示线性代数概念的几何含义一、一、线性方程组解的几何含义线性方程组解的几何含义1 1、二元方程组、二元方程组例例1 1 求下列非齐次线性方程组的解，并用求下列非齐次线性方程组的解，并用MATLABMATLAB绘出绘出解的情况。解的情况。432522121xxxx693232121xxxx662532121xxxx532232212121xxxxxx解：用解：用MATLABMATLAB解线
3、性方程组解线性方程组 Ax=b Ax=b 的方法有：的方法有：用用MATLABMATLAB绘制直线的简单方法为：绘制直线的简单方法为：（1 1）求逆法（）求逆法（A A为方阵）：为方阵）：x=inv(A)x=inv(A)*b b，或，或 x=A-1x=A-1*b b（2 2）初等行变换法：）初等行变换法：rref(A,b)rref(A,b)（3 3）左除法：）左除法：x=Abx=Ab ezplot()单引号内为直线方程单引号内为直线方程 在在MATLABMATLAB命令窗口中运行程序命令窗口中运行程序 g01.mg01.m，可以得到图形：，可以得到图形：一、一、线性方程组解的几何含义线性方程组
4、解的几何含义2 2、三元方程组、三元方程组例例2 2 求下列线性方程组的解，并用求下列线性方程组的解，并用MATLABMATLAB绘出解的情况。绘出解的情况。35.0223315321321321xxxxxxxxx030208321321321xxxxxxxxx254124575321321321xxxxxxxxx151078533232xxxxx（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）解：用解：用MATLABMATLAB的的 rref rref 命令可以解得：命令可以解得：用用MATLABMATLAB绘制平面的简单方法为：绘制平面的简单方法为：方程组（方程组（1 1）有唯一解）有唯一解方程组
5、（方程组（2 2）有无穷组解）有无穷组解方程组（方程组（3 3）和（）和（4 4）无解）无解 ezmesh()单引号内为平面方程单引号内为平面方程 在在MATLABMATLAB命令窗口中运行程序命令窗口中运行程序 g02.mg02.m，可以得到图形：，可以得到图形：一、一、线性方程组解的几何含义线性方程组解的几何含义3 3、用、用MATLABMATLAB解矛盾方程的近似解解矛盾方程的近似解例例3 3 下表给出平面坐标系中下表给出平面坐标系中5 5个点的坐标，求过这个点的坐标，求过这5 5个点的个点的圆心坐标。并用圆心坐标。并用MATLABMATLAB绘出该圆。绘出该圆。12345x-1.10.
6、64.10.65.0y1.24.1-0.8-1.01.2解：设圆心坐标为解：设圆心坐标为(x(x，y)y)，根据圆心到已知，根据圆心到已知5 5点的距离点的距离相等，列方程：相等，列方程：2222112,5iixxyyxxyyi进行化简，可以得到以下线性方程组：进行化简，可以得到以下线性方程组：22222121221122223131331122224141441122225151551122222222xxxyyyxyxyxxxyyyxyxyxxxyyyxyxyxxxyyyxyxy 在在MATLABMATLAB命令窗口中运行程序命令窗口中运行程序 g03.mg03.m，可以得到图形：，可以得
7、到图形：二、二、向量及向量运算的几何含义向量及向量运算的几何含义1 1、向量的几何含义、向量的几何含义二维（三维）向量可以理解为平面坐标系（空间坐标系）二维（三维）向量可以理解为平面坐标系（空间坐标系）中一个有方向的线段，其起点在坐标原点。中一个有方向的线段，其起点在坐标原点。如下图所示。如下图所示。二、二、向量及向量运算的几何含义向量及向量运算的几何含义2 2、向量加法的平行四边形法则，如图所示、向量加法的平行四边形法则，如图所示3 3、负向量与向量减法：、负向量与向量减法：u-v=u+(-v)u-v=u+(-v)二、二、向量及向量运算的几何含义向量及向量运算的几何含义4 4、向量的数乘、向
8、量的数乘设设u=(1,2,3)u=(1,2,3)T T,那么那么2u=(2,4,6)2u=(2,4,6)T T,如如图所示图所示,可知可知2u2u与与u u共共线，它们的长度是线，它们的长度是2 2倍关系。倍关系。二、二、向量及向量运算的几何含义向量及向量运算的几何含义5 5、向量的线性表示举例、向量的线性表示举例例例4 4 已知向量已知向量 128,211uvw ，请用向量，请用向量u u和和v v来线性表示向量来线性表示向量w w，并用，并用MATLABMATLAB绘制出线性表示绘制出线性表示情况。情况。解：求解方程组解：求解方程组wvxux21，解得：，解得：122,3xx 在在MATL
9、ABMATLAB命令窗口中运行程序命令窗口中运行程序 g04.mg04.m，可以得到图形：，可以得到图形：三、三、向量组线性相关性的几何含义向量组线性相关性的几何含义1 1、若两个向量的夹角不为零（不共线），则、若两个向量的夹角不为零（不共线），则这这 两个向量线性无关两个向量线性无关2 2、若两个向量的夹角为零（共线），则这两、若两个向量的夹角为零（共线），则这两个个 向量线性相关向量线性相关3 3、若三个向量不共面，则这三个向量线性无、若三个向量不共面，则这三个向量线性无关关4 4、若三个向量共面，则这三个向量线性相关、若三个向量共面，则这三个向量线性相关三、三、向量组线性相关性的几何含义
10、向量组线性相关性的几何含义5 5、三个、三个3 3维向量线性相关性的判断维向量线性相关性的判断例例5 5 分析向量组分析向量组1232,0,1373uvw 的线性相关性，的线性相关性，并用并用MATLABMATLAB绘制其图形。绘制其图形。解：设解：设A=(u,v,w)A=(u,v,w)，计算，计算A A的行列式的行列式|A|A|，可以判断其线性，可以判断其线性相关性。相关性。在在MATLABMATLAB命令窗口中运行程序命令窗口中运行程序 g05.mg05.m，可以得到图形：，可以得到图形：四、行列式四、行列式的几何含义的几何含义1 1、行列式的几何含义、行列式的几何含义设设u u、v v为
11、二维列向量，以它们为相邻边构成的平行四为二维列向量，以它们为相邻边构成的平行四边形的面积为矩阵边形的面积为矩阵A=(u,v)A=(u,v)的行列式的行列式|A|A|的绝对值。的绝对值。设设u u、v v，w w为三维列向量，以它们为相邻棱构成的平行为三维列向量，以它们为相邻棱构成的平行六面体的体积为矩阵六面体的体积为矩阵A=(u,v,w)A=(u,v,w)的行列式的行列式|A|A|的绝对值。的绝对值。四、行列式四、行列式的几何含义的几何含义2 2、行列式几何含义的应用举例、行列式几何含义的应用举例例例6 6（1 1）已知三角形）已知三角形ABCABC三个顶点的坐标分别为：三个顶点的坐标分别为：
12、(1,2),(3,3),(4,1)(1,2),(3,3),(4,1)，计算该三角形的面积；，计算该三角形的面积；（2 2）已知凸九边形九个顶点的坐标分别为：）已知凸九边形九个顶点的坐标分别为：(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3),(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3),(-7,0),(-5,6),(-3,8),(-7,0),(-5,6),(-3,8),计算该九边形的面积。计算该九边形的面积。（3 3）在平面坐标系中画出以上三角形和九边形。）在平面坐标系中画出以上三角形和九边形。解：解：(1)(1)如图所示
13、，三角形如图所示，三角形 ABC ABC 的面积就等于向量的面积就等于向量ABAB和向和向量量ACAC所构成平行四边形面积的一半。其中：所构成平行四边形面积的一半。其中：ABOBOA ACOCOA 解：解：(2)(2)如图所示，凸九边形面积是由如图所示，凸九边形面积是由9-2=79-2=7个三角形面积个三角形面积组成。组成。在在MATLABMATLAB命令窗口运行程序命令窗口运行程序g06.mg06.m，即可以算出三角形，即可以算出三角形和九边形面积，同时可以得到图形：和九边形面积，同时可以得到图形：五、线性变换的五、线性变换的几何含义几何含义1 1、线性变换几何含义举例、线性变换几何含义举例
14、例例7 7 已知向量已知向量 。请分析经过线性变换。请分析经过线性变换21xiiyA x 后，向量后，向量 与向量与向量 的几何关系。其中的几何关系。其中 分别为：分别为：iyxiA12310100.50,010102AAA4cossin,sincos2A 在在MATLABMATLAB命令窗口运行程序命令窗口运行程序g07.mg07.m，可以得到图形：，可以得到图形：五、线性变换的五、线性变换的几何含义几何含义2 2、特征向量几何含义的举例、特征向量几何含义的举例例例8 8 已知矩阵已知矩阵MATLABMATLAB分析特征向量的几何含义。分析特征向量的几何含义。123131212,251524
15、AAA42132A，求它们的特征值和特征向量，并用，求它们的特征值和特征向量，并用解：用解：用MATLABMATLAB求矩阵特征值和特征向量的方法为：求矩阵特征值和特征向量的方法为：用用MATLABMATLAB演示矩阵演示矩阵A A的特征向量几何含义的命令为：的特征向量几何含义的命令为：（1 1）r=eig(A),r=eig(A),列向量列向量r r为矩阵为矩阵A A的特征值的特征值（2 2）V,D=eig(A)V,D=eig(A)，对角矩阵，对角矩阵D D的对角线元素为矩阵的对角线元素为矩阵A A的特的特征值，矩阵征值，矩阵V V的列向量为矩阵的列向量为矩阵A A的特征向量。的特征向量。ei
16、gshow(A)eigshow(A)在在MATLABMATLAB命令窗口运行程序命令窗口运行程序g08.mg08.m，可以分别得到图形：，可以分别得到图形：五、线性变换的五、线性变换的几何含义几何含义3 3、线性变换应用举例（刚体的平面运动）、线性变换应用举例（刚体的平面运动）例例9 9 用下列数据表示一个用下列数据表示一个“A”A”形状的刚体。形状的刚体。利用线性变换，对该刚体进行以下平面运动。利用线性变换，对该刚体进行以下平面运动。（1 1）向上移动）向上移动1515，向左移动，向左移动3030；（2 2）先逆时针转动）先逆时针转动9090,然后向上移动然后向上移动3030，向右移动，向右
17、移动2020；（3 3）先向上移动）先向上移动3030，向右移动，向右移动20,20,然后逆时针转动然后逆时针转动9090。x04610853.56.16.53.220y014140011664.54.500解：用解：用3 3n的矩阵的矩阵X X来表示刚体图形，其中第来表示刚体图形，其中第3 3行全为行全为1 1。设平移矩阵为：设平移矩阵为：，平移变换为：，平移变换为：。04610853.56.16.53.220014140011664.54.500111111111111X121001001cMccossin0sincos0001ttRtt转动矩阵为：转动矩阵为：，转动变换为：，转动变换为：
18、。1YMX2YRX 在在MATLABMATLAB命令窗口运行程序命令窗口运行程序g09.mg09.m，可以得到图形：，可以得到图形：六、二次型的六、二次型的几何含义几何含义1 1、利用正交变换化二次型为标准形的几何含义。、利用正交变换化二次型为标准形的几何含义。例例10 10 用正交变换，把下列二次型化为标准形，并讨论变用正交变换，把下列二次型化为标准形，并讨论变换前后所对应的二次曲线换前后所对应的二次曲线 及及 。12,f x xc12,fy yc 221211221,625fx xxx xx 221211222,342fx xxx xx解：用解：用MATLABMATLAB命令命令eigei
19、g可以算出二次型矩阵的特征值分别可以算出二次型矩阵的特征值分别为：为：4.38204.3820，6.6180 6.6180 和和3.70163.7016，-2.7016-2.7016。在在MATLABMATLAB命令窗口运行程序命令窗口运行程序g10.mg10.m，可以得到图形：，可以得到图形：六、二次型的六、二次型的几何含义几何含义2 2、二次型正定、负定的几何含义。、二次型正定、负定的几何含义。例例11 11 分析下列二次型的正定性，并画出对应的二次曲分析下列二次型的正定性，并画出对应的二次曲面面 。12,ff x x 221211221,625fx xxx xx 221211222,342fx xxx xx 221211223,23fx xxx xx 21214,3fx xx 在在MATLABMATLAB命令窗口运行程序命令窗口运行程序g11.mg11.m，可以得到图形：，可以得到图形：谢谢！谢谢！
