1、线性微分方程解的结构 第六节第六节二、二阶线性微分方程解的性质二、二阶线性微分方程解的性质三、二阶线性微分方程解的结构三、二阶线性微分方程解的结构 第十二章第十二章 二、二阶线性微分方程解的性质二、二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质性质性质 1(齐次线性方程齐次线性方程解的叠加原理解的叠加原理)若函数若函数)(1xy与与)(2xy是方程是方程(6.1)的两个的两个解解,则则 2211yCyCy 也是也是(6.1)的解的解.(21,CC是任意常数）是任意常数）)1.6(0)()(yxqyxpy)2.6()()()(xfyxqyxpy 证证yxqyxpy)()
2、()()(22112211 yCyCxpyCyC)(2211yCyCxq )()()()(22221111yxqyxpyCyxqyxpyC 000.)1.6(2211的的解解是是方方程程yCyCy 性质性质2.)2.6()()()2.6()()1.6()(的的解解必必是是方方程程的的解解，则则是是方方程程的的解解，是是方方程程若若xyxyxyxy )1.6(0)()(yxqyxpy)2.6()()()(xfyxqyxpy 性质性质3.)1.6()()()2.6()(),(2121的的解解必必是是齐齐次次线线性性方方程程解解，则则的的均均是是非非齐齐次次线线性性方方程程若若xyxyxyxy)1.
3、6(0)()(yxqyxpy)2.6()()()(xfyxqyxpy 性质性质4(非齐次线性方程非齐次线性方程解的叠加原理解的叠加原理):)(是方程是方程若若xyi)()()(xfyxqyxpyi ),2,1(ni 是方程：是方程：的解，则的解，则)(1xycinii .,)()()(211均均为为常常数数的的解解，其其中中nniiicccxfcyxqyxpy 注注 性质性质1 性性质质4可推广到可推广到n阶线性微分方阶线性微分方程的情形程的情形.例例2是方程：是方程：分别分别和和已知已知xyxxy3cos81sin221 ,cos xyy xyy3cos 的解，的解，.2coscos的的一一
4、个个特特解解试试求求xxyy 解解)3cos(cos212coscosxxxx ,cos1xyyy 满足：满足：,3cos2xyyy 满足：满足：.3cos161sin4)(2121为所求特解为所求特解xxxyyy 问题问题1是是否否有有类类似似的的结结论论？三、二阶线性微分方程解的结构三、二阶线性微分方程解的结构回顾：回顾：)3.6(0)(yxpy,)4.6()3.6(的的一一个个特特解解是是的的通通解解，为为若若 yY.)4.6(的通解的通解是是则则 yY对对于于方方程程)4.6()()(xqyxpy )2.6()()()(xfyxqyxpy 问题问题2答答:的通解吗？的通解吗？一定是一定
5、是)1.6(2211yCyCy 不一定不一定.)1.6()(),(21均均是是二二阶阶齐齐次次线线性性方方程程若若xyxy的解，的解，例如：例如：)(1xy是某二阶齐次线性方程的解是某二阶齐次线性方程的解,)(2)(12xyxy 也是齐次线性方程的解也是齐次线性方程的解)()2()()(1212211xyCCxyCxyC 并不是通解并不是通解.但是但是则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题,还需引入还需引入函数的函数的线性相关线性相关与与线性无关线性无关概念概念.定义定义12.1)(,),(),(21xyxyxyn设设是定义在是定义在区间区间 I 上的上的n 个函数个函数,21nkkk使
6、得使得Ixxykxykxyknn ,0)()()(2211则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关；否则称为；否则称为 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数);,(,)1(2 xeeexxx，例例3下列各函数组在给定区间上是线性相关下列各函数组在给定区间上是线性相关还是线性无关？还是线性无关？,02321 xxxekekek若若,022321 xxxekekek则则”“xdd,042321 xxxekekek得得令令,0 x 04020321321321kkkkkkkkk.0321 kkk求解得求解得线性无关线性无关解解);,(x,sin,cos,1)
7、2(22xx0sincos122 xx使使故该函数组在任何区间故该函数组在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;解解),(,Ix,1,1321 CCC不不全全为为零零的的常常数数特别地特别地,对于两个函数的情形：对于两个函数的情形：则函数则函数)(1xy 与与)(2xy在在 I 上上线性无关线性无关.定理定理上上连连续续，若若在在设设,I)(),(21baxyxy 常常数数常常数数或或 )()()()(1221xyxyxyxy例如：例如：常数常数 xxxtancossin.cos,sin在在任任何何区区间间上上线线性性无无关关xx注注可以证明：可以证明：的的两两个个解解，则则在在是是二二阶阶
8、齐齐次次线线性性方方程程设设,I)1.6()(),(21baxyxy 上上线线性性无无关关在在,I)(),(21baxyxy.,0)()()()()(2121Ixxyxyxyxyxw 1.齐次线性微分方程解的结构齐次线性微分方程解的结构推论推论阶阶齐齐次次线线性性微微分分是是设设nnixyi),2,1()(n个线性无关的特解，则此方程的通解为个线性无关的特解，则此方程的通解为0)()()(1)1(1)(yxpyxpyxpynnnn方程：方程：)()()()(2211xyCxyCxyCxynn .21为为任任意意常常数数，其其中中nCCC如果如果 y1(x)与与 y2(x)是方程是方程(6.1)
9、的的两个线性无关两个线性无关的的特解特解,那么那么 就是方程就是方程(6.1)的通解的通解.2211yCyCy .0解解的的解解，并并求求此此方方程程的的通通 yy均均是是方方程程验验证证：xyxysin,cos21 ,tan12常数常数又又 xyy.sincos21是是所所给给方方程程的的通通解解xCxCy 验证：验证：0coscoscos)(cos xxxx0sinsinsin)(sin xxxx.sin,cos21均均是是所所给给方方程程的的解解xyxy 例例5定理定理12.2(二阶非齐次线性方程二阶非齐次线性方程(6.2)的解的结构的解的结构)2.非齐次线性微分方程解的结构非齐次线性微
10、分方程解的结构证证 由由性质性质3,可知可知)(*)(xyxYy 是非齐次线性方程是非齐次线性方程(6.2)的解的解,又又Y 中含有中含有两个独立任意常数，因而两个独立任意常数，因而也含有两个独立任意常数，因而它是也含有两个独立任意常数，因而它是(6.2)的通解的通解.)(*)(xyxYy 例例6).()()()(,3221321则则该该微微分分方方程程的的通通解解为为常常数数，的的三三个个不不同同解解，且且是是微微分分方方程程设设 yyyyxfyxqyxpyyyy;)(32211yyCyCA );()()(322211yyCyyCB ;)(332211yCyCyCC .)()()(33222
11、11yyyCyyCD D都是方程都是方程已知已知232221,xeyxxyxyx 例例722)1(2 xxyyxyx.的的解解，求求此此方方程程的的通通解解解解(1)由由性质性质3，知知xeyyyxyyy 132121,：均均是是对对应应齐齐次次线线性性方方程程.的的解解(2)0)1(yyxyx线线性性无无关关与与21yy齐次线性方程齐次线性方程(2)的通解为：的通解为：2211yCyCY xeCxC21 由定理由定理12.2，知，知原方程原方程(1)的通解为：的通解为：.2211xeCxCyYyx ,21常常数数又又 xexyy求二阶非齐次线性微分方程求二阶非齐次线性微分方程(6.2)的通解
12、的通解的的关键：关键：注注1确定与其相对应的二阶齐次线性方程确定与其相对应的二阶齐次线性方程 (6.1)的两个线性无关的解的两个线性无关的解;2求求(6.2)的一个特解的一个特解.内容小结内容小结解的叠加原理解的叠加原理函数组线性相关与线性无关函数组线性相关与线性无关1、二阶线性微分方程解的性质、二阶线性微分方程解的性质2、二阶线性微分方程解的结构、二阶线性微分方程解的结构思考题思考题:,1)()(2试试求求为为齐齐次次线线性性方方程程有有一一特特解解对对应应有有一一特特解解设设xxxfyxPy 的的表表达达式式；)(),()1(xfxP.)2(此此方方程程的的通通解解思考题解答思考题解答由由条条件件可可得得)1(02)(2 xxP )()1)(223xfxxPx ,1)(xxP 解解得得33)(xxf 代入原方程，得代入原方程，得331xyxy 331xyxy ,101)2(yyxy有有一一特特解解显显见见故故齐齐次次线线性性方方程程的的通通解解由由解解的的结结构构定定理理知知，xxCCy1221 原原方方程程的的通通解解为为221xCCY
