1、第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能1 实际上，各种分子都有一定的内部结构。例如气实际上，各种分子都有一定的内部结构。例如气体分子有的为单原子分子（如体分子有的为单原子分子（如HeHe，NeNe），有的为双原），有的为双原子分子（如子分子（如HH2 2，NN2 2，O O2 2），有的为多原子分子（如），有的为多原子分子（如CHCH4 4，HH2 2O O）。）。为了用统计的方法计算分子的平均转动动能和平均为了用统计的方法计算分子的平均转动动能和平均振动动能，以及平均总动能，需要引入运动自由度的概振动动能，以及平均总动能，需要
2、引入运动自由度的概念。念。因此，气体分子除了因此，气体分子除了平动之外，还可能有转动平动之外，还可能有转动及分子内原子的振动。及分子内原子的振动。上节我们讨论了在平衡态下气体上节我们讨论了在平衡态下气体分子的平均平动动能和温度的关系，分子的平均平动动能和温度的关系，那里只考虑了分子的平动。那里只考虑了分子的平动。不同分子的结构不同分子的结构kTt23第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能2每一个每一个“平方项平方项”对于一个运动自由度。对于一个运动自由度。计算一个物体的能量时，其经典表示式常以计算一个物体的能量时，其经典表示式常
3、以“平方平方项项”之和出现。之和出现。例如：一个物体的平动动能例如：一个物体的平动动能222,212121zyxtkmmmEvvv转动动能转动动能222,212121zzyyxxrkJJJE一维振子的能量一维振子的能量222121vmkxEk一一 什么是自由度什么是自由度第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能31.单原子分子：单原子分子：可当质点处可当质点处理，描写它的空间位置，需理，描写它的空间位置，需要要 几几 个平动自由度？个平动自由度？zyx),(zyxPo需要需要 3 个平动自由度。个平动自由度。t t3 3tt表示平
4、均平动自由度。表示平均平动自由度。自由度是描写物体在空间位置所需的独立坐标数。自由度是描写物体在空间位置所需的独立坐标数。所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的最少的所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的最少的坐标数。坐标数。一一 什么是自由度什么是自由度第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能42.气体中的双原子分子：气体中的双原子分子：确定质心需确定质心需3个平动自由度（个平动自由度（t t3 3）；）；以其两原子的连线为以其两原子的连线为 x x 轴，轴，它对它对x x 轴的转动惯量很小，轴的转动惯量很小，相应的转动能量可略去，
5、因相应的转动能量可略去，因此需要此需要2 2个转动自由度个转动自由度总自由度数：总自由度数：i it tr r3 32 25 5r r2 2 a.a.不考虑振动，即认为分子是刚性的（哑铃式）需要几不考虑振动，即认为分子是刚性的（哑铃式）需要几个平动自由度？个平动自由度？rr表示平均表示平均转动自由度转动自由度。第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能5b.b.若考虑振动，即认为分子是非刚性的（非哑铃式）需若考虑振动，即认为分子是非刚性的（非哑铃式）需要几个平动自由度？要几个平动自由度？除除3 3个平动自由度（个平动自由度（t t
6、3 3）和）和2个转动自由度个转动自由度（r 2）外，还要考虑分子振动的自由度（外，还要考虑分子振动的自由度（v2）。）。说明：由于对分子内部振动的能量用经典方法不能作说明：由于对分子内部振动的能量用经典方法不能作出正确的说明，正确的说明需要量子力学；另外在常出正确的说明，正确的说明需要量子力学；另外在常温下用经典方法认为分子是刚性的也能给出与实验大温下用经典方法认为分子是刚性的也能给出与实验大致相符的结果。所以，这里我们暂不考虑分子内部的致相符的结果。所以，这里我们暂不考虑分子内部的振动而认为分子是刚性的，即用经典物理统计方法。振动而认为分子是刚性的，即用经典物理统计方法。2.气体中的双原子
7、分子：气体中的双原子分子：第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能63.三个或三个以上的刚性气体分子三个或三个以上的刚性气体分子，需几个自由度？，需几个自由度？首先需首先需3个平动自由度和个平动自由度和3个转动自由个转动自由度。度。平动自由度平动自由度t t3 3；转动自由度转动自由度r r3 3；总自由度数：总自由度数：i it tr r3 33 36 6再增加一个绕轴自转的自由度再增加一个绕轴自转的自由度（常用转角（常用转角表示）。表示）。至于非刚性分子，还需增加振动自由度（忽略）。至于非刚性分子，还需增加振动自由度（忽略）。
8、zyxoC C第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能7vrtiu 自由度数目自由度数目 平动平动 转动转动 振动振动单原子分子单原子分子 3 0 3双原子分子双原子分子 3 2 5多原子分子多原子分子 3 3 6刚性分子能量自由度刚性分子能量自由度tri分子分子自由度自由度平动平动转动转动总总第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能8 二、分子平均动能按自由度均分的统计规律二、分子平均动能按自由度均分的统计规律考虑气体分子在每一个自由度的平均动能：考虑气体分子在每一
9、个自由度的平均动能：221vmt)(21222zyxmvvvkT23222zyxvvvkTmx23232vkTmx21212v由温度公式有分子平均平动动能由温度公式有分子平均平动动能又又则有则有得得即在即在 x x 方向的自由度上平均方向的自由度上平均分配了分配了 kTkT /2/2 的能量的能量。第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能9222121zymmvv 由于分子运动在哪个方向都不占优势，因此，在由于分子运动在哪个方向都不占优势，因此，在 y y、z z 方向的自由度上也都平均分配方向的自由度上也都平均分配 了了 kTk
10、T /2/2 的能量。的能量。即：每个平动自由度上分配了一份即：每个平动自由度上分配了一份kTkT/2/2的能量。的能量。kT21kTmx21212v即在即在 x x 方向的自由度上平均方向的自由度上平均分配了分配了 kTkT /2/2 的能量的能量。由于分子的激烈碰撞（几亿次由于分子的激烈碰撞（几亿次/秒），秒），使平动动能使平动动能与转动动能不断转换，使平动动能与转动动能达到相同，与转动动能不断转换，使平动动能与转动动能达到相同，即即每个转动自由度上也平均分配了每个转动自由度上也平均分配了kT/2能量能量。第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体
11、的内能理想气体的内能10由此可知，分子有由此可知，分子有 i i 个自由度，其平均动能就有个自由度，其平均动能就有i i 份份 kT/kT/2 2 的能量的能量。分子平均动能分子平均动能kTik2在温度为在温度为 T T 的平衡态下，气体分子每个自由度的平的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，均为均动能都相等，均为kTkT/2/2能量按自由度均分定理（能能量按自由度均分定理（能量均分定理）。量均分定理）。单原子分子单原子分子kTk23刚性双原子分子刚性双原子分子kTk25刚性多原子分子刚性多原子分子kTk3 二、分子平均动能按自由度均分的统计规律二、分子平均动能按自由度均分的统计规律
12、第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能111.实际气体的内能实际气体的内能:所有分子各种形式的动能、振动势所有分子各种形式的动能、振动势能以及分子间相互作用势能的总和。能以及分子间相互作用势能的总和。2.理想气体的内能：理想气体的内能：对理想气体，分子间的作用力忽略不计，分子与分对理想气体，分子间的作用力忽略不计，分子与分子间的势能为子间的势能为 0。因此，理想气体的内能就是所有分子的动能总和。因此，理想气体的内能就是所有分子的动能总和。kNEkTiN2NN为定质量理想气体为定质量理想气体的分子总数。的分子总数。三三 理想气体的
13、内能理想气体的内能第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能12kTiNE2 设设 1 mol 理想气体分子的分子数为理想气体分子的分子数为NNA A，气体质量为，气体质量为mm，摩尔质量为，摩尔质量为M.M.有有ANRk MmNNA 气体摩尔数气体摩尔数则则RTiE2单原子分子单原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子刚性多原子分子RTE23RTE25RTE3三三 理想气体的内能理想气体的内能第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能13l可以看出，理想可以看
14、出，理想气体的气体的内内能能不仅与温度有关，还与不仅与温度有关，还与分子的自由度有关。分子的自由度有关。l对给定的理想对给定的理想气体气体，其内，其内能能仅是与温度的单值函数，仅是与温度的单值函数，即即E EE E（T T）。）。RTiE2l注意：用自由度模型（经典统计物理方法）描写气注意：用自由度模型（经典统计物理方法）描写气体能量是有局限性的，对少原子分子气体，在常温下体能量是有局限性的，对少原子分子气体，在常温下理论值与实验值符合得较好，但对多原子分子或在高理论值与实验值符合得较好，但对多原子分子或在高温情况下，理论值与实验值相差较大。这得用量子物温情况下，理论值与实验值相差较大。这得用
15、量子物理方法进行研究。理方法进行研究。三三 理想气体的内能理想气体的内能第七章第七章 气体动理论气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能14单原子分子单原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子刚性多原子分子不考虑振动不考虑振动能量均分定理：能量均分定理：在温度为在温度为 T T 的平衡态下，的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，气体分子每个自由度的平均动能都相等，均为均为kTkT/2/2。本节小结：本节小结：RTE23RTE25RTE3RTiE2kTik2理想气体内能。理想气体内能。kTk23kTk25kTk3第七章第七章 气体动理论
16、气体动理论7-5 7-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能15表示理想气体分子每一自由度所具有的表示理想气体分子每一自由度所具有的平均能量。平均能量。补充例题：补充例题：指出下列各式所表示的物理意义。指出下列各式所表示的物理意义。,21)1(kT,23)2(kT,2)3(kTi,2)4(RTi.2)5(RTiMm,21)1(kT,23)2(kT表示单原子分子的平均动能或分子的平表示单原子分子的平均动能或分子的平均平动动能。均平动动能。,2)3(kTi表示自由度为表示自由度为 i i 的分子的平均能量。的分子的平均能量。,2)4(RTi表示自由度为表示自由度为 i i 的的1 mol1 mol理想气体的内能。理想气体的内能。.2)5(RTiMm表示质量为表示质量为 mm的理想气体的内能。的理想气体的内能。本节本节结束结束
